弱链对角占优矩阵的的新界

李艳艳，蒋建新

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

0 引言及预备知识

如果J(A)=N，称A为严格对角占优矩阵(SDD)；如果A不可约，di≤1，且J(A)≠Φ，称A为不可约对角占优矩阵(IDD)；如果di≤1，J(A)≠Φ，对任意的i∉J(A)，一定有aii1ai1i2…airik≠0，i1≠i≠i2,…,ir≠ik，0≤r≤k-1,ik∈J(A)， 称A为弱链对角占优矩阵(WCDD).

如果aij≤0，A非奇异且A-1≥0(A-1是非负矩阵)，则称A是非奇异M矩阵.

A是非奇异H矩阵当且仅当A的比较矩阵是M矩阵, 其中

由上面定义知此关系式成立SDD⟹IDD ⟹WCDD⟹H

将去掉A的前n1行，前n1列的主子矩阵用A(n1,n)表示.

引理1[1]若A=(aij)∈Rn×n是WCDD的M矩阵，则B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)仍是WCDD的M矩阵，B可逆且逆矩阵非负.

引理2[3]若A=(aij)∈Rn×n是WCDD的M矩阵，B=A(2，n)∈R(n-1)×(n-1)，

A-1=(αij)，B-1=(βij).则

当J(A)=N时,Δ≥a11(1-d1l1)≥a11(1-d1).

引理3[4]设A,B∈Cn×n，若是非奇异M矩阵，则|A-1B|≤-1B.

给出下列符号表示

引理4[4]设A=(aij)∈Rn×n是SDD,IDD, 或WCDD，则A-1=(αij)存在且下列不等式成立：

任意i∈N有

定理1设A=(aij)∈Rn×n是SDD,IDD, 或WCDD，则A-1=(αij)存在且下列不等式成立

任意i∈N有

证明由于证明情况的类似，下面仅给出定理对WCDD成立，

对AA-1的非对角元素由AA-1=I有

此式两边取绝对值并应用引理4

移项取绝对值并应用引理4得

则右端得证，左端的证明相仿.

定理2设A=(aij)∈Rn×n是WCDD矩阵，B=A(1，n)，A-1=(αij)，B-1=(βij)，则

则由以上知我们假设A是非奇异的WCDD的M矩阵.

2)当2≤i≤n时，由定理1得αi1≤f(1)α11.

对于h1与hi(2≤i≤n)的大小关系分情况讨论

情况1h1≤f(1)h1+MB.

情况2h1>f(1)h1+MB.

综上2种情况，

对定理2应用迭代法得下面定理.

定理3设A是WCDD矩阵，则

2 数值算例

此例说明本文的定理一定情况下提高了现有的结果，并且将其他学者给出的严格对角占优M矩阵或弱链对角占优M矩阵[2-6]的条件放宽为弱链对角占优矩阵.

参考文献:

[1] SHIVAKUMAR P N，CHEW K H. A sufficient condition for nonvanishing of determinants [J]. Proc Amer Math Soc，1974, 43：63-66.

[4] LI Y T，LI Y Y. Some new bounds on eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Linear Algebra Appl，2010, 432：536-545.

[5] 李艳艳，李耀堂. 严格对角占优M矩阵的逆矩阵的无穷大范数上界的估计[J]. 云南民族大学学报:自然科学版，2012, 21(1)：52-56.