考虑不确定测量的惯性平台剩余寿命自适应预测

李 瑞， 汪立新， 刘 刚

（第二炮兵工程大学，陕西西安 710025）

0 引 言

惯性平台是导弹控制系统的关键设备，其性能好坏直接关系到导弹武器系统的可靠性和制导精度，因此，需要对惯性平台进行实时准确的健康状态预测和管理［1］。工程实践表明，预测与健康管理（Prognostics and Health Management，PHM）是提高设备可靠性和安全性、减小失效风险、降低维护费用的一项重要新兴技术［2］。PHM包括两层含义：一是预测，通过对设备的故障诊断和健康状态监测，预测设备的剩余寿命；二是健康管理，根据诊断／预测信息、可用资源、使用要求等信息，做出最优的维护决策。其中，基于状态监测的剩余寿命预测是后期确定最优维护时机、优化监测间隔、制定备件订购策略以及提供延寿依据的关键［3］。因此，通过对惯性平台的健康状态监测，及时准确地预测剩余寿命，对提高整个导弹武器系统的可靠性、安全性和打击精度具有十分重要的意义。

鉴于惯性平台价格昂贵的特点，难以得到足够多的失效数据，使得传统的以历史失效数据为基础的方法不再适用。因此，依据设备的退化机理（如机械零件磨损、疲劳裂纹扩展、绝缘材料老化等）建立退化规律模型，进而估计其剩余寿命成为一条经济可行的途径［4－5］。由于陀螺漂移是惯性平台的主要失效形式，占整个惯性平台失效的70%左右，因此通常采用陀螺漂移系数表征惯性平台的健康状态［1］。漂移系数的测试值越大，平台系统的工作性能越坏，健康状态越差，当超过规定的技术指标后，惯性平台失效，不能继续使用。由于漂移系数的增长过程具有增加或减小的非单调特性，而现有的退化建模方法，如Wiener过程、Gamma过程、Markov链、隐含马氏过程等，只有Wiener过程具有非单调的特性［6］。因此，现有针对惯性平台的退化建模和剩余寿命预测都采用了基于Wiener过程的方法［7－9］。

Wiener过程的非单调和无穷可分特性，使其能够更好地描述系统的动态特性，并在多种设备的退化建模和剩余寿命预测中有着广泛的应用［7－18，19］，如惯性平台［7－9］、激光发生器［11］、锂电池［12］、梁桥［13］、滚动轴承［14－16］、连续搅拌器［17］。基于Wiener过程的离线剩余寿命预测方法已经相对成熟，研究热点主要集中在剩余寿命的在线预测。文献［14-16］首次采用贝叶斯方法实现了基于Wiener过程方法的实时剩余寿命预测，该方法需要较多的历史退化数据作为先验信息，不适用于惯性平台这种小子样场合。文献［17］将Kalman算法与期望最大化算法结合起来实时更新Wiener过程中的漂移参数，并考虑了Wiener过程首达时间的概念，然而该方法同样需要较多的先验信息。文献［18］在此基础上考虑了漂移参数估计不确定性对剩余寿命预测的影响，并采用强跟踪滤波算法和期望最大化算法实现了所有参数的在线更新，从而减小了对先验信息的依赖。然而，现有的这些方法没有考虑测量误差对剩余寿命预测的影响，而测量误差普遍存在于退化过程的状态检测中，需要在建模过程中加以考虑［9－12］。从文中分析可知，考虑测量误差能够降低预测的不确定性，因此，文中将测量误差引入到对惯性平台的退化建模中，得出了考虑测量误差时剩余寿命的解析解，建立了性能退化的状态空间预测模型，并采用Kalman算法与期望最大化算法结合，实时更新模型参数。最后通过惯性平台的退化测量数据验证了文中提出的方法。

1 基于Wiener过程的退化建模

文中主要考虑线性退化过程的剩余寿命预测问题。令X（t）表示某设备的实际退化过程，则基于Wiener过程的退化模型可表示为

式中：λ——漂移系数；

σB——扩散系数；

x0——初始状态；

B（t）——标准布朗运动，表征衰退过程的动态特性。

从式（1）可得

可以看出，退化过程的速度与漂移系数λ密切相关，退化过程的不确定性随着时间的增长而增长，可以描述设备失效产生机理和动态运行环境的变化。由于退化过程主要受漂移系数λ的影响，在离线预测中，通常假设λ为随机变量，用来表示不同设备之间的个体差异［14－16］。对于在线预测，漂移系数λ也是影响预测结果的主要因素，因而有必要考虑漂移系数λ参数估计的不确定性对评估结果的影响。类似于文献［8，18］，文中也把漂移系数λ看成随机变量，以表示参数估计过程中的不确定性。

在状态测试过程中，由于受到仪器或环境噪声的影响，真实的退化过程往往不能精确测量，观测得到的测量值不可避免地存在测量误差。考虑测量是离散的，则在时间ti时的测量值可以表示为：

式中：yi——测量值；

εi——测量误差，假设是独立同分布，服从N（0，）；

εi——测量过程中的不确定性，可以由仪器标定数据和历史数据统计得出。

为了减小实时预测对先验信息的依赖，有必要通过实际的状态监测值实时更新模型参数。为此，构建如下状态空间模型：

其中，t0＝0，ζi～N（0，ti－ti－1），η服从正态分布，表示漂移参数随着时间的变化特征。

然而，由于实际数据经常出现xi＜xi－1的情况，容易造成漂移系数λ出现负值，从而导致预测性能变差。针对这些不足，文中将状态空间模型修正如下：

其中，εi～N（0，σ2），η～N（0，Q），λi表示给定状态真实值X0：i下的漂移系数，X0：i＝｛x0，x1，x2，…，xi｝。

显然，以上模型为线性状态空间模型，可以通过Kalman滤波在线估计参数，具体如下：

1）初始化参数：

2）状态预测：

3）方差更新：

可以得出，在时刻ti，λi～N，Pi｜i）。

2 剩余寿命预测

考虑测量误差情况下剩余寿命分布的求解。基于Wiener过程进行寿命分析时，通常将寿命T定义为状态监测值首次到达失效阈值w的时间，即T＝inf｛t：X（t）≥w｜x0＜w｝。剩余寿命Lt则定义为Lt＝｛lt：T－t｜T＞t｝表示在使用一段时间t后的剩余寿命。对于进行定期状态检测的设备，剩余寿命的预测还需要利用当前时刻的状态监测值。设某个测试点的监测数据为xi，则

显然，随着测试点的增多，系统动态特性的不确定性也会越来越小。在时刻ti，设xi＜w，剩余寿命可以表示为衰退过程首次达到w的剩余时间，即

式中：w——失效阈值。

为了得到考虑测量误差情况下的剩余寿命分布，需要给出以下引理。

引理1 设截止当前时刻的历史状态真实值为X0：i，在时刻ti，漂移系数λi～N，Pi｜i），相应的剩余寿命分布可表示为

上述定理的证明可以参考文献［8］的定理5和文献［18］的定理1，这里不再赘述。假设λi为一确定值，即Pi｜i＝0，则上述定理转化为一般Wiener过程首达时间的逆高斯分布形式。由于引理1将漂移参数的不确定性考虑进来，预测精度得以进一步提高［8，18］。为推导文中模型下的剩余寿命分布，先给出以下引理，具体证明可以参考文献［8］的定理4和文献［12］的引理2。

引理2 设Z～N（μ，σ2），A，B，C为常数，则有

式中：E（）——表示求期望。

然而，由于真实的退化过程往往不能精确测量，只能得到观测值，由式（2）可得xi＝yi－εi，则xi～N（yi，σ2），即只能得到真实状态量的概率分布。据此，可以得到如下结论。

定理1 设截止当前时刻的历史状态观测值为Y0：i，Y0：i＝｛y0，y1，y2，…，yi｝。在当前时刻ti，漂移系数λi～N，Pi｜i），相应的剩余寿命分布可表示为

证明 由上文分析可知：

那么令

根据引理2对式（7）计算关于xi的期望就可得式（9）。证毕。

可以看出，当不存在测量误差，即σ2＝0时，式（9）转变为式（7），则文中结果是现有基于Wiener过程的在线剩余寿命预测方法的一般化推广。

3 模型参数在线估计

考虑到部分设备具有价格昂贵、寿命长的特点，往往难以获得足够多的先验信息，那么先验参数Θ＝（a0，P0，Q，，σ2）会存在较大的不确定性。再者，先验参数也包含了不同样本的差异性，因而需要在线更新先验参数，即出现新的状态观测值后，在更新漂移参数的同时，也实现先验参数的在线更新。目前主要通过极大似然估计法在线更新先验参数，在当前时刻ti，Y0：i对数似然函数为

式中：p（Y0：i｜Θ）——在给定Θ情况下Y0：i的概率分布函数。

由式（1）～式（3）可知：

又因为λ0～N（a0，P0），式（10）可以转化为

可以通过最大化对数似然函数估计未知参数Θ的值，即

由于漂移参数Υ0：i＝｛λ0，λ1，λ2，…，λi｝是隐含的随机变量，难以直接最大化对数似然函数来估计Θ。然而，期望最大化（Expectation Maximization，EM）算法是计算包含隐性变量概率模型中参数极大似然估计的常用迭代算法［21］。初始化参数Θ＝Θ（0）后，EM算法主要包括以下两步：

1）E步，计算包含隐含变量的对数似然函数期望值，即计算式（11）关于漂移参数Υ0：i的期望值。从式（11）可知，计算式（11）期望值之前，首先需要计算λi，λi－1λi，的期望值，这些期望值可以通过Kalman平滑的方法计算［17－18，20］，即

其向后平滑步骤如下：

其中协方差Mj｜i的初始化值为Mi｜i＝（1－Kiti）Pi－1｜i－1。令Cj－1，j｜i＝E（λj－1λj｜Y0：i，Θ），Cj｜i＝E（｜Y0：i，Θ），则由式（13）可得对数似然函数关于漂移参数Υ0：i的期望

2）M步，极大化估计后的对数似然函数。先验参数Θ中，与设备性能退化个体差异密切相关的是（a0，P0，Q，），而σ2表示测量过程当中的不确定性，可由仪器标定数据和历史数据统计得出，因此在参数迭代过程中，只需要更新参数（a0，P0，Q，）。最大化式（14）得

将式（16）和式（17）计算得到的Θ（k）值重新代入到E步中，继续重复E步和M步，直到求得似然函数的最大值。

4 惯性平台剩余寿命预测实验

4.1 惯性平台陀螺漂移退化数据

惯性平台在使用中，由于陀螺转子的高速旋转造成转轴的磨损，以及随着贮存时间的延长平台系统自身性能的退化［1，9］，引起陀螺漂移系数的增长，进而影响整个导航系统的可靠性和精度。文中使用文献［18］提供的某型号惯性平台漂移系数退化数据进行算法比较研究。该平台共进行了73次周期性工作测试，采样间隔为2.5 h，具体的漂移监测数据如图1所示。

图1 惯性平台陀螺漂移退化数据

根据技术指标规定，失效阈值为0.37°／（h·g）。对于该惯性平台，在时刻t73的监测数据为0.356 6°／（h·g），在该时刻的剩余寿命估计为6 h，则实际剩余寿命估计为186 h。

4.2 实验比较分析

从文献［18］中的惯性平台寿命预测试验可以看出，文献［14-16］提出的方法极大地依赖于先验信息，然而惯性平台性能退化的先验信息相对较少，因而文中主要与文献［17-18］提出的方法进行比较，记文中方法为M0，文献［17］的方法为M1，文献［18］的方法为M2。为了比较这些方法的优劣，引入AIC准则和关于剩余寿命预测的总均方误差（TMSE）作为评价方法好坏的比较。AIC准则用来评价模型拟合的优良性，TMSE用来评价对剩余寿命预测的准确性，二者的计算公式如下：

式中：k——参数数量；

依据惯性平台历史退化信息，取先验参数＝（2e－3，1e－4，1e－4，2e－4，3e－5），可得采用方法M0，M1和M2预测的剩余寿命概率密度函数，分别如图2和图3所示。

图2 M0，M1的剩余寿命概率密度估计结果比较

图3 M0，M2的剩余寿命概率密度估计结果比较

从图2和图3可以看出，3种方法的剩余寿命分布都能够覆盖实际剩余寿命，而文中方法计算的剩余寿命概率密度函数更窄，也更集中于实际剩余寿命。

为了进一步比较3种方法的效果，计算3种方法的95%置信区间，如图4所示。

可以看出，得出的剩余寿命置信区间最窄，说明文中方法的不确定小，精度高。原因是方法M1只更新了漂移参数，没有实时更新其它参数，而方法M2由于没有考虑测量误差的影响，使得退化过程的不确定性（σ2B）增大，从而增加了预测的不确定性。

图4 M0，M1，M2的剩余寿命预测置信区间结果比较

文中方法与文献方法的比较见表1。

表1 文中方法与文献方法的比较

从表1可以看出，考虑测量误差后，表示退化过程不确定性的σ2B值有所降低，预测不确定性也随之降低。比较TMSE可知，文中算法的准确性都显著优于方法M1和M2。综上所述，文中算法能够降低剩余寿命预测的不确定性，提高预测精度，进而提高维护决策的置信度。

5 结 语

1）建立了考虑测量误差情况下基于Wiener过程的线性退化模型，修正了用于漂移系数递归估计的状态空间模型，并推导出了剩余寿命分布的解析表达式。

2）为了实现所提模型的参数实时更新，通过Kalman滤波算法实时估计Wiener过程中的漂移系数，并通过期望最大化算法实现了其它相关参数实时估计。

3）基于惯性平台陀螺漂移退化数据的剩余寿命预测实验表明，文中算法具有更好的建模能力和更高的剩余寿命预测准确性，具有一定的工程应用价值。

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