Logistic映射及其混沌序列特性分析

曹书豪， 徐红梅

( 延边大学工学院 电子信息工程系， 吉林 延吉 133002 )

混沌信号是由确定的非线性系统产生的具有伪随机性、不可逆性和动态特性的信号.由于混沌信号在传输过程中不易受其他外界因素的影响，因此混沌通信和混沌加密技术成为国际电子通信领域重要的研究方向，其研究成果已经被应用到数据安全和保密通信等领域[1-4].Logistic映射是典型的一维非线性映射.现有数学理论研究证明，在一维非线性映射中得到的分岔序列和临界点附近的标度性质对于高维映射也同样适用[5].文献[6]研究了Logistic混沌系统的信息熵特性，论证了信息熵值能够区分系统的周期态和混沌态.文献[7]对Logistic模型的均值突变时间序列临界状态进行了研究，其结果表明系统状态突变的速度和程度与映射的控制参数有关.文献[8]研究了噪声相互关联时间对Logistic系统亚稳态稳定性的影响.文献[9]研究了基于Logistic映射混沌扩频序列的产生方法.基于上述研究，本文提出了基于Logistic映射频谱特性，分析系统周期态和混沌态的方法.

1 Logistic映射

经典的Logistic映射描述为

xn+1=f(μ,xn)=μxn(1-xn),

(1)

其中参数μ∈(0,4]， 对所有的x∈[0,1].

在给定参数μ以及系统初值x0的情况下，通过对(1)式的迭代计算可以获得任意长度的Logistic序列.当参数μ取不同值时，Logistic映射经过多次迭代以后会出现以下情况：

1) 当μ∈(0,1)时，系统稳定于x=0；

4) 当μ∈(3.449,3.544)时，系统存在4个周期点；

5) 当μ∈(3.544,3.564)时，系统存在8个周期点；

2 Logistic映射混沌序列

分岔图能从总体上反映系统的倍周期运动过程.根据倍周期分岔定理，以参数μ为横坐标、迭代函数值为纵坐标，由(1)式可得到处于不同参数区间的Logistic映射分岔图.

1) 当0<μ≤1时，由(1)式得到的Logistic系统动力学行为很简单，只存在不动点x0=0， 且x0为吸引不动点，此时系统处于静止状态，如图1所示.

2) 当1<μ<3时，由(1)式得到的Logistic系统动力学行为相对较为简单，存在两个不动点0和1-1/μ， 且0为排斥不动点， 1-1/μ为吸引不动点，如图2 (a)所示.对于每一个确定的参数μ值，系统只有一个稳定状态，即系统处于稳定的周期1状态，而且稳定点的数值随着参数μ的增大而增大.此时Logistic映射的分岔图如图2 (b)所示.

3) 当3≤μ≤4时,由(1)式得到的Logistic系统动力学行为变得十分复杂——由倍周期进入弱混沌状态后再进入完全混沌状态，如图3所示.

图1 Logistic映射分布图

图2 Logistic映射分布图

图3 Logistic映射分布图

在图3的混沌区域内有一些由若干曲线段组成的空白带,称做混沌区域中的周期窗口，即当参数μ=3.836时，Logistic映射迭代序列出现了周期3的循环，这表明Logistic映射自此进入了完全混沌状态，系统的动力学行为由此变得更加复杂.

3 Logistic映射功率谱特性

图4 Logistic映射功率谱(μ=1)

图5 Logistic映射功率谱(μ=3.56)

图6 Logistic映射功率谱(μ=3.6)

图7 Logistic映射功率谱(μ=3.98)

从图4—图7可以看到：当功率谱是单峰或多峰时，Logistic映射对应于周期态或拟周期态；当μ>3.569时，功率谱无明显的峰(连成一片)，Logistic映射处于弱混沌状态，且随着参数μ的增大功率谱变得更稠密，其对应的Logistic映射处于强混沌状态.

由以上分析可以得出，由单一Logistic映射产生的混沌序列处于完全混沌状态时，频谱比较平滑，并且对序列长度具有鲁棒性，与保密通信领域所要求的混沌信号具有宽带、连续频谱、对初始条件敏感依赖性的特点相吻合，说明处于混沌状态的Logistic映射的部分序列适用于混沌系统的通信领域.

参考文献：

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[2] 许刚,田立新.Logistic方程中的孤立子及其控制[J].江苏大学学报,2004,25(3):228-231.

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[4] 邱跃洪,何晨,诸鸿文.一种无限折叠混沌映射及其量化序列[J].上海交通大学学报,2002,36(12):1788-1790.

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[7] 颜鹏程,侯威,胡经国.基于Logistic模型的均值突变时间序列临界预警研究[J].物理学报,2012，61(18):189202-1-189202-8.

[8] 杨林静,戴祖诚.噪声相互关联时间对Logistic系统亚稳态稳定性的影响[J].物理学报,2012,61(10):100509-1-100509-4.

[9] 柳平,闫川,黄高显.改进的基于Logistic映射混沌扩频序列的产生方法[J].通信学报,2007,28(2):130-140.