中继信道相位响应模型及其估计算法研究

黄春文

摘 要： 中继能够提高信息传输质量及覆盖区域，是一种近年来得到迅速发展且前景广阔的无线通信技术。而性能优良的中继信道估计构成了改善通信环境的其他技术的基础前提。针对中继信道估计中的相位响应部分，首先建立了在任意信噪比条件下的相位噪声模型。考虑到估计过程快速的现实要求，通过将模型中原有复杂的表达噪声形式用高斯的方法近似化，得到了较为简洁的结果，并根据不同的简化形式给出对应的若干相位响应估计算法。为了比较这些算法之间的性能，重点推导了估计算法所能达到的CRLB。最后结合计算机数值仿真验证了结论的正确性。

关键词： 中继信道； 相位响应； 估计算法； 相位噪声模型

中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）04?0013?04

Model of relay channel phase response and its estimation algorithms

HUANG Chun?wen

（Jiangxi Yuchuang Network Technology Co.， Ltd， China Comservice， Nanchang 330096， China）

Abstract： Recently， Relay has become a booming and promising wireless communication technology， which can improve the information transmission quality and enlarge the service coverage area. Meanwhile， effective relay channel estimation makes up a foundation of other technologies for improving communication invironment， such as relay beamforming and relay selection. Focusing on the phase response in relay channel estimation， the model of phase noise in arbitrary SNR was build up. In order to decrease the amount of estimator calculation， the complicated formula of original noise model is approximated by the relatively simple Gaussian counterpart to get relatively succinct result. According on the different simplified form， several phase estimation algorithms are given. The CRLB （Cramer?Rao Lower Bound） is also derived with the purpose of comparing the performance of the algorithms. The conclusion correctness was verified by computer numerical simulation.

Keyword： relay channel； phase response； estimation algorithm； phase noise model

0 引 言

中继通信作为一种有效对抗无线信道衰落特性的手段，具有广阔的应用前景[1]。但是，采用中继波束成形和中继选择等主要技术的前提为完全获知信道状态信息，现实中通过发送各方已知的训练序列进行估计。信道对发送信号的影响包括幅度改变和相位改变两部分，目前文献[2?6]讨论较多集中在幅度改变影响方面，而相位改变方面考虑不足。然而，在信道相位响应未知条件下，仅仅对幅度相应进行估计是没有意义的。因此，研究性能较好的相位响应估计方法对于降低整体信道估计误差具有重要意义。

针对相位估计，文献[7]提出将接收到的信号进行频谱分析，找出频域峰值所在位置对应的频率值作为估计结果，思路较为直观，其不足之处在于运算量巨大，难于在实时环境下采用。文献[8]对上述方法有所改进，应用最大似然算法估计出频谱中的峰值处，较为适合进行频率估计。同时，在运算量和估计性能上进行了折中，但并未完全改变在运算形式复杂的弊端。文献[9]在高信噪比环境下，将噪声线性叠加造成的影响近似为相位上摆动，将非线性估计问题转化为线性估计问题。文献[10]受此启发，给出了准确的相位关系模型，并对比了几种相位估计方法性能表现。然而，上面文献讨论时均需已知信道的幅度相应，不能直接用于中继信道幅度相应未知情况。

基于这一问题，本文根据文献的思想，提出了改进的中继信道相位响应估计算法，与此同时推导了在高信噪比条件下的CRLB表达式，可以作为衡量几种算法性能的标准，从理论推导和仿真验证两个方面说明了改进算法的性能优势。

1 相位响应模型

在进行分析之前，首先对中继通信进行模型建立。令[U1]和[U2]分别代表进行通信的两个用户，由于他们之间严重的无线衰落，不存在直接的通信线路，此时需要中继[R]协助建立连接，如图1所示。在[U1]和[U2]进行数据交换之前要首先完成信道估计，而中继[R]对于接收信号只是实现线性放大，并不加入任何其他信息。

图1 中继通信系统模型

在第一个时隙，发送端[U1]向中继[R]发送训练序列[t11]。[R]将接收到的信号经过简单的放大处理后在第二个时隙转发向接收端[U2]。由于发送内容[t11]均为双方已知，故[U2]进行信道估计后即可获知与[U1]间的信道状态信息，即CSI。与此相似，[U2]通过反向发送[t21]，使[U1]亦得到此时的CSI。在假定估计阶段信道系数保持不变的前提下，通常为了提高信道估计的准确性，将训练序列长度设定为[N][N>1]，即[t1=t11，t12，…，t1NT]、[t2=t21，t22，…，t2NT]，因此，进行完整的信道估计总共占用[4N]个时隙。将整个过程用向量形式表示，有：

[r=ht+n1] （1）

[y=αgr+n0=αght+αgn1+n0] （2）

式中：[α]为中继放大系数，[α=Prσ2hP1+σ2n]，[Pr]和[P1]为中继和用户[U1]的发送功率；[r]和[y]分别为中继和用户[U1]的接收信号向量。以第[k]个时隙为例，对式（2）处理得到：

[yTk?tk=αghP1+αg+1?tk?n0k] （3）

[1αP1yTk?tk=gh+1αP1αg+1?tk?n0k] （4）

从用户的角度看来，由于联合信道等效于分段信道[h]和[g]的相乘叠加，没有必要分别估计，只需对[gh]进行整体研究即可。因此，为了表述简洁，可令[gh=A?expjθ]，其中[A]和[θ]分别为整体中继信道的幅度响应和相位响应，而[nk=1αP1αg+1?tk?n0k]表示加性高斯白噪声，[zk=1αP1yTk?tk]，式（4）化简为：

[zk=A?expjθ+nk] （5）

由于本文只关注相位响应[θ]，将[A]看作未知的常数，进一步有：

[∠zk=θ+εk， k=1，2，…，N] （6）

式中[εk]表示第[k]个时隙由加性白噪声[nk]引入的相位偏差。

式（5）和式（6）中各分量可通过图2所示的几何关系直观表示。图中的[nIk]和[nQk]分别为相对于真实的信道系数[gh]的同向噪声分量和正交噪声分量，两者相互独立且同分布。本文的重点在于根据[εk]具有的统计特性，从式出发来讨论能够得到较好的相位响应估计值[θ]的几种算法。

图2 中继信道相位响应几何关系示意

2 相位响应估计算法

在信噪比较大的情况下，有如下数学近似成立：

[εk≈tanεk=nQkrk] （7）

由于[nQk]的统计特性和[rk]均已知，故而式转化为高斯白噪声方差已知条件下的未知常数估计问题。需要说明的是，当[x→0]时，虽然近似[x≈sinx]相对[x≈tanx]具有更高的准确度，然而，式（7）变为：

[εk≈sinεk≈nQkA+nIk≈nQkA] （8）

与文献[10]的应用环境不同，此时的信道幅度响应[A]未知，因此不能采用式（8）的估计方法。

根据概率论知识，在[A]保持不变的条件下，式（5）中的[zk]服从Rice分布[11]，可以得到幅度[zk]和相位偏差[εk]的联合分布，有：

[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （9）

对相应的变量进行积分，可以分别得到[zk]和[εk]的分布表达式，有：[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （10）

[pεk=0∞pzk，εkdzk=Acosεkπσ2exp-A2sin2εkσ2?1-QAcosεkσ22+ 12πexp-A2σ2] （11）

式中[Qx=12πx∞exp-y22dy]，表示高斯[Q]函数。由文献[12]可知，在高信噪比环境，即[A2σ2→∞]且[σ2→0]时，式（11）表示的[εk]可以近似为Tikhonov分布，有：

[pεk≈expA2σ22cosεk2πI0A2σ22， -πεk<π] （12）

式中[I0?]表示第一类修正贝塞尔函数。

另外，从式（10）和式（11）可以得到相位偏差[εk]的条件概率分布，有：

[pεkzk=pzk，εkpzk=expzkAσ22cosεk2πI0zkAσ22， -πεk<π] （13）

可见，式（13）亦具有Tikhonov分布的形式。

从式（12）和式（13）可直观看出Tikhonov分布表达关系式复杂而难以处理，文献[11]提出可采用标准高斯分布进行很好的近似。此时，式（12）和式（13）可以简化为：

[pεk=Aπσ2exp-A2ε2kσ2] （14）

[pεkzk=1πσ2zkAexp-ε2kσ2zkA] （15）

随着信噪比[A2σ2]的增大，式（11）、式（12）和式（14）之间的差异迅速减小，即采用高斯近似是简化运算的合理选择方式。为了表达上的简洁，进一步将式（16）扩展为向量形式，令：

[∠z=∠z1，…，∠zNT，θ=θ?1，1，…，1︸NT、]

[ε=ε1，…，εNT]

此时有：

[∠z=θ+ε] （16）

根据最小二乘算法，结合式（8）、式（14）和式（15），可以得出如下几种相位响应[θ]估计算法：

[θ1=1Nk=1N∠zk] （17）

[θ2=k=1Nzk2∠zkk=1Nzk2] （18）

[θ3=k=1Nzk∠zkk=1Nzk] （19）

3 相位响应估计的[CRLB]

众所周知，[CRLB]（Cramer?Rao Lower Bound）表示无偏的未知参数估计算法所能达到的最低误差限，对于衡量估计算法性能具有重要意义。下面从式（13）开始推导[CRLB]。

[p∠zA，θ=k=1NexpzkAσ22cos∠zk-θ2πI0zkAσ22] （20）

[lnp∠zA，θ= k=1NzkAσ22cos∠zk-θ-ln2πI0zkAσ22] （21）

[?lnp∠zA，θ?A=k=1Nzkσ22cos∠zk-θ-zkσ22?I1zkAσ22I0zkAσ22]（22） [?2lnp∠zA，θ?A2= k=1N1-I21zkAσ22I20zkAσ22-σ22zkA?I1zkAσ22I0zkAσ22?zkσ222] （23）

当信噪比[A2σ2]较大时，采用相应的数学近似可以化简式（23），由此得到：

[?2lnp∠zA，θ?A2=-k=1Nzkσ22?1A] （24）

另一方面，有如下关系式成立：

[?2lnp∠zA，θ?θ2=-k=1NzkAσ22cos∠zk-θ]（25）

[?2lnp∠zA，θ?A?θ=?2lnp∠zA，θ?θ?A =k=1Nzkσ22sin∠zk-θ] （26）

结合式（24）、式（25）和式（26），得到费舍信息矩阵（FIM）：

[J=-E?2lnp∠zA，θ?A2-E?2lnp∠zA，θ?A?θ-E?2lnp∠zA，θ?θ?A-E?2lnp∠zA，θ?θ2] （27）

其中相位响应[∠zk]的CRLB大小为矩阵[J-1]对角线右下角相应元素值，有：

[CRLBθ=σ22NA2=12N?SNR] （28）

4 数值仿真及结果分析

本节通过计算机仿真的方式来比较上述提出的几种算法在进行相位响应估计时所能达到的性能。分别将式（17）～式（19）中的估计算法。定义信噪比[SNR]为中继信道幅度响应值的平方[A]同加性高斯白噪声方差[σ2]的比值。训练序列[t]为单位幅度、相位于[0，2π]内均匀分布的复数形式信号组成。在仿真的过程中，随机选取5个相位值保持不变。采用蒙特卡罗的方式进行，针对每个相位值进行了5 000次仿真运算，通过求取各个估计算法所得结果和真实值之间的平均均方误差和的方式获得了相应的性能曲线。为了做出对比，同样绘制得出了[CRLB]曲线，最后的仿真结果如图3所示。

图3 几种相位响应估计算法性能对比

分别将训练序列[t]的长度设定为6位和12位。由图4可以直观看出，随着训练序列长度的增加，各个算法所能达到的性能限均有所改善。在高信噪比的情况下（图中10 dB以上部分）几乎同相应条件下的[CRLB]曲线重合。在信噪比较低（图中5 dB以下部分）的条件下，算法2和算法3所达到的性能均明显优于算法1，这是因为这两种算法在考虑了接收到的训练序列信号相位信息的同时，也参考了幅度信息。即对于不同的相位，根据其幅度的大小进行加权，认为当接收到的信号幅度较大时，造成的原因为此刻混入的加性高斯白噪声较小，其相位值相对来说更加逼近于真实值。在对这两种算法对比时可以看出算法2同算法3相比，仅有极小的性能优势，几乎可以忽略不计。但是从数值运算的角度出发来分析，由于算法3直接利用信号的幅度信息，相对算法2的模值平方运算来说，更加适用于需要快速获得中继信道相位响应的实用环境。

5 结 语

本文针对中继信道估计中的相位响应估计问题，首先将服从表达形式复杂的Tikhonov分布的相位噪声干扰在不同情况下近似为高斯形式，并由此得出了若干渐进无偏的相位估计算法。为了比较几种估计算法所能达到的性能，推导了在较高信噪比环境下相位响应估计误差的[CRLB]表达式，最后通过数值仿真的方式验证了理论的正确性。

参考文献

[1] 殷勤业，张莹，丁乐，等.协作分集：一种新的空域分集技术[J]. 西安交通大学学报，2005，39（6）：551?557.

[2] GAO Fei?fei， CUI Tao， NALLANATHAN A. On channel estimation and optimal training design for amplify and forward relay networks [J]. IEEE Transactions on Wireless Communications， 2008， 7（5）： 1907?1916.

[3] GAO Fei?fei， ZANG Rui， LIANG Ying?chang. On channel estimation for amplify?and?forward two?way relay networks [C]// Proceedings of 2008 IEEE Global Telecommunications Conference. New Orleans， LO： IEEE， 2008： 1?5.

[4] JIANG Bin， GAO Fei?fei， GAO Xi?qi， et al. Channel estimation for amplify?and?forward two?way relay network with power allocation [C]// Proceedings of 2009 IEEE International Conference on Communications. Dresden， Germany： IEEE， 2009： 1?5.

[5] ABU HANIF M， LEE Moon Ho， SHIN TaeChol， et al. Pilot?based channel estimation in two?way amplify?and?forward relay networks [C]// Proceedings of 2012 International Conference on Informatics， Electronics & Vision. Dhaka： ICIEV， 2012： 996?999.

[6] ROEMER F， HAARDT M. Tensor?based channel estimation and iterative refinements for two?way relaying with multiple antennas and spatial reuse [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（11）： 5720?5735.

[7] PALMER L. Coarse frequency estimation using the discrete Fourier transform [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（1）： 104?109.

[8] RIFE D， BOORSTYN R R. Single tone parameter estimation from discrete?time observations [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（5）： 591?598.

[9] TRETTER S. Estimating the frequency of a noisy sinusoid by linear regression [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1985， 31（6）： 832?835.

[10] FU Hua， KAM Pooi Yuen. Exact phase noise model and its application to linear minimum variance estimation of frequency and phase of a noisy sinusoid [C]// Proceedings of 2008 IEEE 19th International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications. Cannes： PIMRC， 2008： 1?5.

[11] LEIB H， PASUPATHY S. The phase of a vector perturbed by Gaussian noise and differentially coherent receivers [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1988， 34（6）： 1491?1501.

[12] DE ABREU G T F. On the generation of Tikhonov variates [J]. IEEE Transactions on Communications， 2008， 56（7）： 1157?1168.

[5] ABU HANIF M， LEE Moon Ho， SHIN TaeChol， et al. Pilot?based channel estimation in two?way amplify?and?forward relay networks [C]// Proceedings of 2012 International Conference on Informatics， Electronics & Vision. Dhaka： ICIEV， 2012： 996?999.

[6] ROEMER F， HAARDT M. Tensor?based channel estimation and iterative refinements for two?way relaying with multiple antennas and spatial reuse [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（11）： 5720?5735.

[7] PALMER L. Coarse frequency estimation using the discrete Fourier transform [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（1）： 104?109.

[8] RIFE D， BOORSTYN R R. Single tone parameter estimation from discrete?time observations [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（5）： 591?598.

[9] TRETTER S. Estimating the frequency of a noisy sinusoid by linear regression [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1985， 31（6）： 832?835.

[10] FU Hua， KAM Pooi Yuen. Exact phase noise model and its application to linear minimum variance estimation of frequency and phase of a noisy sinusoid [C]// Proceedings of 2008 IEEE 19th International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications. Cannes： PIMRC， 2008： 1?5.

[11] LEIB H， PASUPATHY S. The phase of a vector perturbed by Gaussian noise and differentially coherent receivers [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1988， 34（6）： 1491?1501.

[12] DE ABREU G T F. On the generation of Tikhonov variates [J]. IEEE Transactions on Communications， 2008， 56（7）： 1157?1168.

[5] ABU HANIF M， LEE Moon Ho， SHIN TaeChol， et al. Pilot?based channel estimation in two?way amplify?and?forward relay networks [C]// Proceedings of 2012 International Conference on Informatics， Electronics & Vision. Dhaka： ICIEV， 2012： 996?999.

[6] ROEMER F， HAARDT M. Tensor?based channel estimation and iterative refinements for two?way relaying with multiple antennas and spatial reuse [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（11）： 5720?5735.

[7] PALMER L. Coarse frequency estimation using the discrete Fourier transform [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（1）： 104?109.

[8] RIFE D， BOORSTYN R R. Single tone parameter estimation from discrete?time observations [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1974， 20（5）： 591?598.

[9] TRETTER S. Estimating the frequency of a noisy sinusoid by linear regression [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1985， 31（6）： 832?835.

[10] FU Hua， KAM Pooi Yuen. Exact phase noise model and its application to linear minimum variance estimation of frequency and phase of a noisy sinusoid [C]// Proceedings of 2008 IEEE 19th International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications. Cannes： PIMRC， 2008： 1?5.

[11] LEIB H， PASUPATHY S. The phase of a vector perturbed by Gaussian noise and differentially coherent receivers [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 1988， 34（6）： 1491?1501.

[12] DE ABREU G T F. On the generation of Tikhonov variates [J]. IEEE Transactions on Communications， 2008， 56（7）： 1157?1168.