贵阳市城市独立坐标系与国家坐标系的平面转换

胡 君， 崔文刚 ， 张玉彪

（1.贵州师范大学 地理与环境科学学院，贵州 贵阳550001）

贵阳市位于贵州省中部，东经106° 07′E ～107°17′E，北纬26°11′N～27°22′N，属于高原山地地形，平均高程1 175 m。根据高斯投影的长度变形原理可以发现，其投影变形超过2.5 cm/km[1,2]，因此建立了以北京54为基础，取108°E经线为中央子午线，将椭球面抬升至1 175 m的贵阳市城市独立坐标系。建立独立坐标系后，坐标值不再与国家坐标重合。由于各种需要，往往需要将贵阳市城市独立坐标转换成北京54等国家坐标系。平面坐标转换模型较多，本文以同时具有城市独立坐标系和北京54坐标系成果的某市政道路GPS控制网为例，分别采用3种常见的平面坐标转换方法将贵阳市城市独立坐标转换为北京54坐标。将控制网的北京54坐标当成真值，将得到的坐标转换成果与之进行比较，希望从中总结出不同平面坐标转换模型的优点与不足，作为平面坐标转换工作的借鉴。

1 常见的平面坐标转换方法

1.1 直接参数法

直接参数法是将已知公共点中的某点作为基准点，再通过已知公共点计算两套坐标系之间的平移参数、尺度因子以及方位角旋转参数，将其他待转换的坐标转换到新坐标。设X，Y为原坐标系，x，y为目标坐标系，其转换模型如下[3]：

根据以上模型可以看出，直接参数法需要求两个已知公共点，当有多余的公共点时，一般以其他公共点作为检核条件，通过最小二乘法求取最合适的转换参数。

1.2 相似变换法

相似变换是坐标转换中最常用的一种方法 。三维坐标可以采用7参数模型，平面坐标则一般采用4参数模型。二维平面相似变换模型如下[4]：

式中，x0、y0为平移参数；α为旋转参数；k为尺度参数；x、y表示转换后所得坐标；X、Y表示原坐标系坐标。

相似变换能较好地解决不同坐标系之间定义上的差异。坐标系统局部形变系统性误差往往未能反映到转换模型中，相似变换法是将原坐标系经过平移、旋转及伸缩而变换到新的坐标系统中，能保持原有坐标网的几何形状，避免转换过程中因原坐标网变形而产生的网中坐标点的相对位置变化[5]。

1.3 多项式逼近法

设X、Y表示原坐标系坐标，x、y表示新坐标系坐标。为了便于计算，选取中央位置某点（x0，y0）作为坐标转换的基点，以方便多项式计算与系数求解。

式（3）为2阶多项式，有a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5共12个待定系数，至少需要6个已知公共点才能求解。当坐标转换区域较大、已知公共点数量较多时，可以选择阶数较高的多项式进行拟合。对于式（1），若有m个公共点，可以列出误差方程：

通过误差方程可以解出待定系数a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5，代入式（1）即可列出坐标转换多项式。当已知公共点数量超过必要公共点数量时，可采用最小二乘多项式拟合公共点。

多项式逼近法在于选取多项式逼近待求的新旧坐标变换函数。多项式逼近任意连续函数时，从理论上讲，选择适当的多项式阶数和系数，可以逼近到任意程度，并保证点与点之间一一对应、连续变换的特性[7]。

2 算例分析

贵阳市某市政道路施工控制网的等级为公路4等，采用GPS进行布设，并与贵阳市城市CORS网及项目区附近国家B级点和C级点各1个进行联测。严格按照交通部JTJ/T 066—98《公路全球定位系统（GPS）测量规范》进行内外业操作，最终平差获得贵阳市城市独立坐标系及北京54坐标系成果，如表1。

表1 某市政道路施工控制网贵阳市城市独立坐标与北京54部分公共点坐标

现将该成果中部分点作为已知点，分别采用“直接参数法”、“相似变换法”及“多项式逼近法”将贵阳市城市独立坐标转换成北京54坐标。假设GPS控制网北京54坐标成果是真值，用剩余公共点作为检核条件，以分析坐标转换精度。3种坐标转换方法分别得到的坐标转换成果及坐标转换误差如表2、表3所示（表中加粗数字为坐标转换采用已知点，其余点为检核点）。

表2 3种不同转换方法转换北京54坐标成果

表3 3种不同坐标转换方法转换误差分析

3 结 语

经过以上分析比较不难发现：

1）对于直接参数法，在坐标转换已知点上其转换成果与已知点重合。通过检核点可以发现，小区域内（一般指不大于20 km范围）能够满足一般坐标转换的精度需要。同时发现，其转换误差随距离的增加而变大，当超过一定距离时误差会成比例递增，所以不适合大范围的坐标转换。

2）对于相似变换，2个坐标转换已知点上都存在一定的间隙。同时，随着距离的增加，坐标转换精度呈现上升趋势，但在小区域内（一般指小于20 km）能够满足一般坐标转换的精度要求。当坐标转换范围较大时，需先进行相似变换，然后对转换结果中存在的间隙进行多项式拟合，减小坐标转换误差。

3）对于多项式逼近法，由于是采用解误差方程获得的结果，6个参与坐标转换的公共点转换成果与已知点都重合。6个公共点控制范围内的坐标转换精度符合精度要求，且精度略高于直接参数法与相似变换成果；但是在转换区域边缘，由于6个公共点过于集中在项目区中央，导致项目区边缘多项式的病态，使1308、9102、H087上误差精度超限。

由前文实验和分析，可以得出以下结论：

1）当坐标转换范围较小时，通过对已知公共点的合适选择，直接参数法、相似变换法与多项式逼近法都能达到0.020 m以内的转换精度。但是，多项式逼近法根据拟合的阶数要求的公共点数量较多，计算也较为复杂，直接参数法与相似变换法计算较为简便。

2）当坐标转换范围较大时（一般指大于20 km），可以先采用相似变换法，解决坐标系统定义上的差异，再通过多项式拟合减小相似变换后存 在的间隙。也可以采用多项式逼近法，选取合适的多项式阶数，同时合理选择公共点的数量与分布。

3）无论采用哪种坐标转换方法，都需要有多余的检核条件，对坐标转换的结果进行检核，才能保证坐标转换的准确性。

[1]姜伟，吴北平，何保国，等. 湖北省大地坐标库与GPS 库坐标转换精度分析[J].测绘与地理空间信息，2011(3)：129-132

[2]李东，毛之琳. 地方坐标系向2000国家大地坐标系转换方法的研究[J]. 测绘与地理空间信息，2010(6)：193-196

[3]何群森，王婷婷，陈绍杰. 七参数坐标转换及C++程序实现[J].测绘通报，2012(增刊)：172-174

[4]王文利，程传录，陈俊英.常用坐标转换模型及其实用性分析[J].测绘信息与工程，2010(5)：37-39

[5]贾雷晓，李志超.北京54与西安80两种坐标转换方法研究[J].山西建筑，2013(11)：203-204

[6]刘经南．坐标系统的建立和变换[M]．武汉:武汉测绘科技大学出版社，1995

[7]丁士俊，张忠明.几种不同坐标变换方法问题的研究[J].四川测绘，2005(1)：16-19

[8]JTJ/T066-98.公路全球定位系统（GPS）测量规范[S].