具乘性白噪声耗散KdV型方程的随机吸引子

蔡东洪, 范小明, 叶建军

(西南交通大学数学学院, 四川 成都 610031)

具乘性白噪声耗散KdV型方程的随机吸引子

蔡东洪, 范小明, 叶建军

(西南交通大学数学学院, 四川 成都 610031)

考虑具乘性噪声的耗散KdV型方程在一维有界区域上的长时间行为.通过变换将该方程化为不含白噪声的随机KdV型方程, 通过讨论新方程所确定动力系统的吸收性与渐近紧性, 从而证明了原方程所确定动力系统随机吸引子的存在性.

随机吸引子;乘性白噪声;耗散KdV方程;随机半径;随机吸收集

引言

耗散KdV方程是描述孤波现象的重要数学模型[1], 在长波小振幅近似情况下, 它可以描述管的下部流体运动,等离子体离子声波液气两种混合态的压力波等物理现象.确定型耗散KdV型方程各方面已经有很好的研究[2-9].文[10-11]证明了具加性白噪声的耗散型KdV型方程随机吸引子的存在性.

本文考虑具乘性白噪声的耗散KdV型方程.通过合适的变换将(1)化为不含白噪声的随机KdV型方程.在新方程中, 样本可视为一个普通参数.利用确定KdV型方程的方法和技巧以及Wiener过程的缓增性, 新方程所确定动力系统的吸收性与渐近紧性能被得到, 从而证明新方程随机吸引子的存在性.由变换的可逆性, 具乘性白噪声的耗散KdV型方程所确定动力系统随机吸引子也是存在的.

下面的记号将在本文中被经常用到:

1 随机动力系统

本节将引进一个可逆变换,消掉(1)中的白噪声,得到一个不含白噪声的新随机微分方程.新方程解是存在的、唯一的且是整体的, 从而其确定一个随机动力系统.既然该变换是可逆的, 则(1)-(3)也确定一个随机动力系统.

引入随机过程:

成为由具有白噪声随机耗散Kdv型方程(1)所确定的随机动力系统.

2 随机吸引子

再由Poincare不等式, 得

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Random attractor for dissipative KdV equation with multiplicative white noise

CAI Dong-hong, FAN Xiao-ming, YE Jian-jun
(Department of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, P.R.C.)

This paper considers the long time behavior of the dissipative KdV equation on one dimension dounded domain D.A process is introduced, which enables us to transform this equation into a stochastic equation without white noise. Then this paper studies the absorbent and asymptotic compactness of the dynamical system generated by the new equation. It proves the existence of random attractor for the dissipative KdV equation finally.

random attractor; multiplicative white noise; dissipative KdV equation; random ridua; random absorting set

O175.2

A

1003-4271(2014)06-0900-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.18

2014-06-05

蔡东洪(1991-), 男, 汉族, 广东人, 硕士研究生; 研究方向: 偏微分方程、随机微分方程以及动力系统.E-mail:cdhswjtu@163.com.

国家自然科学基金面上项目(71273214); 中央高校基本科研业务费创新项目(SWJTU11CX154).