引领学生构建基于数学活动经验的数学模型

张剑

所谓数学模型，是指由字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部或外部联系的模型。在教学实践中，数学模型的建构过程可以渗透于数与代数、空间与图形等教学内容中，尤其是，在数学综合运用中，模型建构有着至关重要的作用。同时，数学模型的建构总是与数学探究活动联系在一起的，如何引导学生构建基于数学活动经验的数学模型，值得我们进行深入的思考。本文以“物体浸没水中的体积问题”的教学为例，谈一谈自己的教学实践与思考。

一、组织探究活动，获得数学活动经验

史宁中教授认为，“基本活动经验是指学生直接或间接经历了活动过程而获得的经验”。在教学“长方体与正方体体积”后，笔者发现，虽然学生掌握了求长方体、正方体体积的方法，但是对体积公式的综合运用（如物体浸没水中的问题），则显得有些力不从心，例如：一个长方体玻璃鱼缸，长25厘米，宽16厘米，高20厘米，在鱼缸中放入一个棱长10厘米的正方体铁块，使它全部浸没在水中，水面会上升多少厘米？学生普遍感觉解决此题有困难，因为在这一问题情境中，正方体浸没水中时存在一个动态变化的过程（即水面上升，总体积的变化），学生由于缺乏相应的数学活动经验，难以把握情境中的各部分数量间的关系。

要让学生真正地理解和掌握物体浸没水中的相关问题，就必须让学生亲历这一变化过程，为此，教师可引导学生开展如下探究活动：

1.给每个小组准备一个长方体容器，一个鸡蛋，引导学生思考，想要测得鸡蛋的体积，可以怎么做？

2.学生分小组进行探究实验，实验结束后进行交流汇报。

在探究活动中，学生通过参与数学活动，经历“做数学”的过程和思考的过程，从而将探究“物体浸没水中”问题的经历变成了数学活动的经验。

二、引领数学思考，提炼构建数学模型

《数学课程标准》指出，教师要引导学生从已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。

在“物体浸没水中的体积问题”的教学中，教师可以引导学生借助图形展开观察、分析、概括、提炼等一系列数学思考活动：1.将鸡蛋浸没于水中后，鸡蛋的体积相当于哪一部分水的体积？2.上升部分水的体积与长方体容器有什么联系，你怎样计算上升水的体积？3.如果放入的物体是一个马铃薯或其他不规则物体，你能用一个公式表示如何计算它的体积吗？4.除了将鸡蛋浸没水中，求上升的水的体积外，我们还可以怎样测得鸡蛋的体积？

通过思考与交流，学生不仅发现鸡蛋体积的测量方法，还在分析思考中发现了这一方法的普遍适用性，抽象出相应的数学模型V鸡蛋=V上升。而“还可以怎样测得鸡蛋的体积”则引导学生实现对数学模型的拓展。

三、变换问题情境，把握模型内在结构

事实上，学生通过对某一个问题情境活动经验的分析概括，初步地建构数学模型，这样的模型显然有一定的局限性。

如在“物体浸没水中的体积问题”的教学中，教师可设计如下两个变式问题，让学生继续探究，进而逐步把握数学模型的内在结构：

1.在一个棱长10厘米的正方体容器中，放入一个长5厘米、宽4厘米的长方体铁块，使其完全浸没后，水面上升0.6厘米，求长方体铁块的高。

2.一个长方体玻璃容器，从里面量，长和宽均为2分米，高是3.5分米。向容器中倒入6升的水，再将一个苹果浸没水中。这时量得水深是1.55分米。这个苹果的体积是多少？

在上述两个变式的问题情境中，学生发现，无论情境中的条件怎样变化，铁块或苹果的体积始终等于上升部分水的体积。这样，学生也就在变式训练中把握了数学模型的内在结构。

总之，在数学教学中，教师要善于引领学生在数学探究活动中获得丰富的数学活动经验，基于数学活动经验建构数学模型，实现课堂教学效益的最大化。

（作者单位：江苏南通市通州区通州小学）