CDO定价影响要素的蒙特卡洛模拟研究

刘 平

(四川银监局，四川成都 610042)

CDO定价影响要素的蒙特卡洛模拟研究

刘 平

(四川银监局，四川成都 610042)

CDO是目前国内外非常关注的也是定价很复杂的一类信用衍生产品，其定价的关键就是违约概率和违约相关性的估计。文章在Merton扩展模型的基础上，采用蒙特卡洛方法，并结合copula函数来生成具有相关性的违约时间分布，然后计算出各个违约时点，进而求出标的资产组合的违约损失。在此基础上分别计算收益面和损失面的期望值，最终对各种要素对CDO定价的影响进行分析与比较。

债务抵押债券;蒙特卡洛模拟;Merton扩展模型;copula函数

一、文献综述

CDO定价方法主要有结构模型和约化模型。结构模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文着重对这个模型进行梳理和综述。

国外研究方面，Li［1］利用市场中CDS的已知价格来模拟违约时点，用Gaussian copula建立多元联合损失分布。Li模型的主要贡献在于用Gaussian copula将过去某一时期内违约事件、相关性等离散变量的估算，扩展到具有连续时间的相关性违约时点的度量。Frey等［2］进一步改进了Li的模型，提出了student-t copula。这个模型是Gaussian copula的极值形式，能更好地解释金融变量的肥尾特征。Schonbucher等［3］将违约相关性纳入违约强度模型中，发展出一套最一般化的copula函数分析及一致性的个别违约强度动态模式。Rogge［4］延续了 Schonbucher等的研究，发现 Clayton copula相较于市场上常使用的 Gaussian copula或student-t copula，可产生较为真实的信用价差变化过程。然而，这一模型的最大缺点是模拟过程复杂，不易执行。Burtschell［5］等对不同的copula函数在CDO定价中的应用作了总结性的比较分析，表明Student－t和Clayton copula比Gaussian copula能更好地拟合市场数据，但Marshall－Olkin copula能进一步提升模型的准确性。Totouom［6－7］将动态相关copula模型运用到CDO定价中，提出了动态copula模型。

国内研究方面，朱世武［8］讨论了如何利用copula函数来进行资产组合的违约相关性度量，并进一步探讨了信用衍生品的定价以及资产组合的信用风险管理问题，但其研究对象只针对2种资产的简单组合，对于copula函数及其参数的选择也不够深入。冯谦等［9］等使用非参数方法从市场数据中推导出一个合理的copula函数，然后提出利用蒙特卡洛计算CDO分券合理价差的方法，但没有具体的实证分析。袁子甲等［10］在因素模型中引入NIG分布，对正态因素模型进行了3种不同形式的推广应用，并用数值模拟对模型进行了分析，但其模型推广和数值模拟均可进一步深入讨论分析。穆放等［11］以KMV模型和copula函数分别对债务人的违约概率和违约相关性进行估计，并计算在不同样本和回收率下各投资层次的风险溢酬，利用国内市场公开信息，对债务抵押债券定价进行了实证研究，但该模型对样本选择有很高的依赖性。陈田等［12］对CDO定价模型进行了综述，并按照各种定价方法对国内外研究做了很详细的综述。尹占华等［13］在测算CDO损失分布的二项式扩展技术的基础上，提出用蒙特卡洛方法对建设银行120笔贷款模拟了损失分布并计算了VaR。杨瑞成等［14］讨论了基于混合分布单因子模型的CDO定价问题，假设资产价值的市场共同因子和异质因子均服从标准高斯和NIG的混合分布，且相关系数为随机相关系数，通过半解析法给出了CDO分券层的公允价格公式。

综合国内研究，在CDO定价中已经取得了一定的成绩。本文在前人的基础上有两点创新：一是详细模拟了计算违约时间点的过程;二是对各种要素对CDO定价的影响进行了详细的模拟。

二、研究方法

第一步，根据选定的copula函数产生n个服从均匀分布的随机变量U。

第二步，模拟违约时间点：(1)计算违约强度λ;(2)违约时间点。

在不同copula函数产生出随机变量Ui的基础上，由τi=－lnUi/λi求得违约时间点τi。

加快国家畜禽粪污资源化利用试点县项目实施进度，大力推进畜禽粪污、农作物秸秆、废旧农膜、病死畜禽等农业废弃物资源化利用，加强病虫害统防统治和全程绿色防控，加快实施高剧毒农药替代计划，规范限量使用饲料添加剂，规范使用兽用抗菌药物。深入推进化肥、农药使用量零增长行动，推广有机肥替代化肥、测土配方施肥，减少废弃物、化肥、农药对土壤的污染，提升耕地质量，提高农作物产量、质量[2]。

第三步，计算CDO相应的收益面和损失面以及各个层级的溢价。

假设在存续时间会支付w次，B(0，ti)表示的是折现因子，T表示从现在开始合约到期的时间，τi表示违约时间点。CDO分券的上边界为D，下边界为A，EL表示投资者可能支付的违约损失的期望值。I(τi＜t)是一个示性函数，当损失在分券范围内则为1，如果超出分券区间，则为0。S就是本文所求的CDO的溢价。CDO的定价要求合约一开始是公平的，因此CDO的收益面和损失面相等，整个交易不存在套利机会。由上面的分析可以看出，CDO各个分券的溢价S为：

三、实证研究

(一)样本选取和描述性统计

(二)计算各copula函数的相关系数

这里主要选取了正态copula函数、t copula函数以及Clayton copula函数作为代表来刻画资产之间的相关性(表1－表3)。

表1 正态copula函数的Kendall tau

表2 t copula函数的Kendall tau

表3 Clayton copula函数的Kendall tau

横向比较可以看出t copula函数计算出的相关系数比正态copula函数要大，而Clayton copula函数计算的相关系数比正态copula函数总体上要小一些。然后对协方差矩阵Σ进行Cholesky分解，根据选定的copula函数产生n个服从均匀分布的随机变量Ui。

(三)计算违约率和违约强度

按照Merton模型，通过已知的股东权益值VE和前面计算出的股价日波动率，推算出一年的σE=股价日波动率×槡T，就可以推算出VA和σA，各公司的总资产和波动率如表4所示。

表4 各公司的总资产和波动率

由于Merton模型有个前提是违约只在到期日T才发生，而这明显不符合现实。只要资产总值V小于债务总值F，就应该宣布违约。根据Merton扩展模型推导首次离开时间的参数、违约率和违约强度。

表5 各公司的违约率和违约强度

(四)各要素对CDO定价的影响

1．回复率(R)对CDO定价的影响

假设在正态copula函数下，违约强度λ取5个资产中最小的那个，λ =0．006 94，相关系数都为0．3，只改变回复率，看对CDO定价会有什么影响，模拟结果见表6、表7。

表6 R为0．2时各公司的预期损失和溢价

表7 R为0．6时各公司的预期损失和溢价

从不同回复率的比较可以看出，回复率越大，CDO溢价越小。这很好理解，因为贷款回收得越好，投资人的损失越小，价格自然也就越低。

2．相关系数对CDO定价影响

假设在正态copula函数下，违约强度λ取5个资产中最小的那个，λ =0．006 94，回复率都为0．4，只改变相关系数，看对CDO定价会有什么影响，模拟结果见表8、表9。

表8 相关系数为0．1各公司的预期损失和溢价

表9 相关系数为0．5各公司的预期损失和溢价

从上表比较可以看出，相关系数越大，股权类分层(假设为0% ～3%)越小，而最优先类分层(30% ～100%)越大。这是因为相关系数增加，CDO资产组合的联合分布会呈现出比较明显的肥尾状，CDO的极端损失风险会增加;相反，相关系数减少，CDO资产组合的联合损失分布的尾部风险缩小，从而使CDO的极端损失风险减少。所以说，优先类分券的价格和标的资产的违约相关性成正比，相关性越高，其需支付的保险费越高。根据市场上的CDO价格，推导出各分券隐含的违约相关性发现，中间类分券的相关性往往低于权益类及优先类分券，同时优先类分券的相关性又高于权益类分券。

3．违约强度对CDO定价影响

假设在正态copula函数下，回复率都为0．4，相关系数不变都为0．3，只改变违约强度，看λ对CDO定价会有什么影响，模拟结果见表10、表11。

表10 λ为0．006 94时各公司的预期损失和溢价

表11 λ为0．185 27时各公司的预期损失和溢价

从表中比较可以看出，违约强度越大，违约可能性越大，所以CDO价格越高。

4．不同copula函数对CDO定价的影响

假设违约强度λ取5个资产中最小的那个，λ=0．006 94，回复率都为0．4，看不同copula函数对CDO定价会有什么影响，模拟结果见表12、表13、表14。

表12 正态copula函数各公司的预期损失和溢价

表13 t copula函数各公司的预期损失和溢价

表14 Clayton copula函数各公司的预期损失和溢价

从上表比较可以看出，Clayton copula函数下股权类分层(假设为0% ～3%)价格最大;而最优先类分层(30% ～100%)最小，相对误差也较小。t copula函数下股权类分层(假设为0% ～3%)价格最小，相对误差也较小;而最优先类分层(30% ～100%)最大。正态copula函数介于两者之间。这可能跟不同copula函数下的相关关系有关，Clayton copula函数下的相关系数较小，所以股权类分层(假设为0% ～3%)价格最大，而最优先类分层(30% ～100%)最小。而t copula函数下相关系数较大，所以股权类分层(假设为0% ～3%)价格最小，而最优先类分层(30% ～100%)最大。

5．实际情况比较

国际CDO产品都是5个层级，但国内CDO产品分层普遍较少，于是只能选取国开行2005年首次发行的“开元”一期作大致比较。

表15 CDO“开元”一期的分层和溢价

从模拟的结果和实际发行的产品溢价相比较，可以发现模拟的产品在优先A档溢价偏低，而在次级档溢价过高，因此在模拟国内CDO产品时，可以对优先档调低回复率、调高相关系数和违约强度、选取t copula函数;而对次级档调高回复率和相关系数、调低违约强度、依然选取t copula函数。

四、结论

本文分析了CDO定价的4种影响因素，通过实证研究发现：回复率越大，CDO溢价越小;相关系数越大，股权类分层溢价越小，而优先类分层溢价越大;违约强度越大，CDO溢价越大;Clayton copula函数下股权类分层价格最大，而最优先类分层最小，t copula函数下股权类分层价格最小，而最优先类分层最大，正态copula函数介于两者之间。由于本文采用的是蒙特卡罗方法来定价，所以不能产生唯一的解析解，可能得到的结果不够精确，但从多次模拟结果来看标准差不是很大，所以结果还比较满意。

［1］LI D．On default correlation：A copula approach［J］．Journal of Fixed Income，2000，9(4)：43 －54．

［2］FREY R，McNEIL A．Dependent defaults in models of portfolio credit risk［J］．Journal of Risk，2003(6)：59 －92．

［3］SCHONBUCHER J，SCHUBERT D．Copula-dependent default risk in intensity models［R］．Working Paper，Department of Statistics，Bonn University，2003．

［4］ROGGE E，SCHONBUCHER J．Modeling dynamic portfolio credit risk［R］．Working Paper，2003．

［5］BURTSCHELL X，GREGORY X J，LAURENT JP．A comparative analysis of CDO pricing models［R］．Working Paper，BNP Paribas，2005．

［6］TOTOUOM T D，ARMSTRONG M．Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches［R］．Working Paper，2005．

［7］TOTOUOM T D，ARMSTRONG M．Dynamic copula and forward starting credit derivatives［R］．Working Paper，2007．

［8］朱世武．基于 Copula 函数度量违约相关性［J］．统计研究，2005(4)：61－64．

［9］冯谦，杨朝军．担保债权凭证定价——Copula函数的非参数估计与应用［J］．运筹与管理，2006，15(5)：104－107．

［10］袁子甲，李仲飞．基于因子模型的CDO定价研究：正态单因子模型的三种推广［EB/OL］．［2011－10－20］http：//www．ccfr．org．cn/cicff2007/download，2007．

［11］穆放，宋洁，陈治津．债务抵押债券定价模型探讨及实施研究［J］．经济纵横，2007(10)：10－13．

［12］陈田，秦学志．债务抵押债券(CDO)定价模型研究综述［J］．管理学报，2008，7(5)：616 －624．

［13］尹占华，徐昕，高春梅．基于蒙特卡洛模拟的 CDO损失分布测算研究及实证分析［J］．统计信息与论坛，2008，9(23)：13 －16．

［14］杨瑞成，秦学志，陈田．基于混合分布单因子模型的CDO定价问题［J］．数理统计与管理，2009(6)：1082－1090．

The Influence of Factors on CDO Pricing Based on Mote Carlo Simulation

LIU Pin
(The Banking Regulatory Bureau of Sichuan，Chengdu 610042，P．R．China)

CDO is a kind of complex pricing credit derivatives．The key of pricing is the default probability and the default correlation．Based on Monte Carlo method， the paper uses Merton extension model and combines with Copula function to generate default time distribution．And then it calculates the underlying asset portfolios default loss．Based on the premiums and losses of asset portfolios， the paper prices the multiple levels of CDO and analyzes different influence on CDO pricing．

CDO;Monte Carlo simulation;Merton expansion model;Copula function

(责任编辑 傅旭东)

F830.91

A

1008-5831(2014)03-0055-06

2013－01－18

刘平(1978－)，女，四川成都人，四川省银监局博士，主要从事金融衍生品定价与风险管理研究。

10．11835/j．issn．1008 －5831．2014．03．008