夯实思维过程 提升解题能力

张凌云

波利亚有句名言：“掌握数学就意味着善于解题。”培养小学生解决问题的能力，发展数学思维，是课程标准的重要目标。但是，“审题不仔细”、“分析不深入”、“策略不优化”等问题，在小学生中仍有一定的普遍性。如何转变这些不良倾向，提升小学生解题能力，笔者进行了初步的探索与尝试。

一、直观表征，正确把握题意

表征是影响问题解决的一个重要因素，正确表征往往有助于问题的解决；反之，问题表征不精确或不完全，就会造成问题解决的困难。

1.画图明意，图表直观

有些数学问题信息较多，数量关系比较复杂，给学生正确把握题意增添了困难。对于这类问题，教师可以引导学生利用图表直观表征，将抽象复杂的关系变为简明直观的视觉形象。

例1：小猫、小狗和小熊去钓鱼，小猫比小狗多钓6条，小猫钓的鱼是小熊的，小熊比小狗多钓22条。它们各钓了多少条鱼？

通过线段图，我们可以清楚地看出，小猫比小狗多钓6条，小熊比小狗多钓22条，因此可知，小熊比小猫多钓22-6=16（条）。又根据小猫钓的鱼是小熊的，所以得到小熊钓的鱼是16÷（1-）=32（条），小狗钓的鱼是32-22=10（条），小猫钓的鱼是10+6=16（条）。

2.动态演示，情境再现

小学生的思维正处于直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，一些抽象的概念会影响他们对题意的理解。如果能通过做一做、演一演，再现题目中的情境，对学生正确理解题意会有很大的帮助。

例2：甲、乙两人从相距66千米两地同时出发，相向而行。甲每小时行12千米，乙每小时行10千米。几小时后他们相距11千米？

“他们相距11千米”可分两种情况，一种是在相遇前两人还相距11千米；另一种是两人相遇后继续前行相距11千米。教师可以让学生用左右手模拟两人的运动过程，理解“他们相距11千米”两种情形的正确意义。

3.推敲语言，感悟内涵

数学语言具有高度的抽象性和概括性，教师要引导学生在审题时推敲关键字词，对生活用语和数学语言进行联系沟通，更好地感悟数学语言的内涵。

例3：某服装店卖出了两件衣服，每件100元，第一件赚了20%，第二件亏了20%。服装店是赚了还是亏了？

有的学生简单地把“赚了20%”、“亏了20%”相抵消，认为结果是不赚也不亏。实际上，“赚了20%”、“亏了20%”是与各自的成本相比较而言的，对应的标准并不相同。因此，只有当学生正确理解了这两个20%的内涵，才能把问题转化为有关百分数应用题来解答。

二、积极联想，突破思维障碍

所有数学问题都由给定条件和要求的问题构成，但条件和问题之间存在着障碍。为此，教师要鼓励学生积极展开联想，通过一定的方式深入分析，突破思维障碍，逐步接近要求的问题。

1.观察特征，引发猜想

在心理学中，观察被看做是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。观察数学问题的特征是深入分析的前提，在观察的同时，还常常伴有推理和猜测。

例4：已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。

求图中各圆的周长总和，可以先算出各个圆的周长再相加求和，但各圆的直径未知，不能算。经过观察发现，AB的长度正好是各圆直径之和，因此引发了猜想：各圆的周长总和是不是就等于直径50厘米的大圆周长？经过进一步分析推理，证明猜想正确，问题就迎刃而解了。

2.类比模拟，萌生构想

类比模拟是分析阶段的一个重要手段，它通过联想有关知识，从类似事物中得到启发，沟通知识、方法与问题间的联系，把陌生问题构造成熟悉的问题加以解决。

例5：张老师带的钱可以买15本语文书或24本数学书。张老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可以买几本数学书？

这道题初看与我们所学的知识挂不上钩，但仔细一想，如果把总钱数理解为总工作量，把带的钱可买15本语文书或24本数学书理解成甲、乙两人单独完成总工作量各需15天、24天，那么就把这道题类比成工程问题了，可以用解工程问题的方法解决。

3.尝试抉择，大胆畅想

通过对数学问题进行观察、联想，我们已经从整体上把握住问题，形成初步的解题意向。尝试就是将初步意向付诸实施，试探是否可行，选择最容易接近目标的方向入手等等。

例6：已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

尝试一：根据面积公式算出各图形的面积，条件不充分，尝试失败。

尝试二：通过“剪、拼、移”的方法计算阴影部分面积的大小，不仅困难而且繁琐，尝试再次失败 。

尝试三：连接FC，则四边形BCFD为梯形。观察发现，阴影部分处在两平行线之间，根据平行线间高处处相等，可把阴影部分转化为其他图形，寻求巧解。

……

三、运用策略，灵活化归解答

在大多数情况下，数学题并不是标准的模式化问题，而是需要创造性思维才能解决的，这就注定在数学解题活动中必然有策略问题。

1.沟通转化，变难为易

波利亚认为解题就是把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题。在解决非模式化问题时，可以引导学生运用转化的策略，将题中的条件或问题，转化成与其等价的另一种表达形式，从而丰富解题方法，提高解题能力。

例7：甲和乙从相距1200米的两地相向而行，甲每分钟走55米，乙每分钟走65米。甲出发时带一只狗，狗以每分钟240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇时，狗一共跑了多少米？

这道题所叙述的情况相当复杂，因为不能求出狗先向乙跑了几米，再向甲跑了几米，又向乙跑了几米……经过分析发现，狗是与甲一同出发，甲乙相遇时它也停下来，这样狗跑的时间就是甲乙相遇的时间。运用转化的策略将原题变换成两个小问题“甲乙两人经过几分钟相遇？在这段时间里，狗一共跑了几米？”就能轻而易举地求出狗跑的路程。

2.数形结合，优势互补

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”运用数形结合，能将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种语言的优势互补。

例8：计算++++=

这道题可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此类推，然后正负相互抵消，得到答案。如果利用数形结合的策略，将题目赋以几何意义（如下图所示），那么此题就变得非常简单：用单位“1”减去空白部分1-，就得到结果。

3.正难则反，殊途同归

从正面入手有困难，就从反面入手，直接解决不容易，就考虑间接解决。“正难则反”策略巧妙地运用逆反转换来解决问题，常常使人茅塞顿开，突破思维定式，实现殊途同归。

例9：有一篮李子，甲拿了一半多1个，乙拿了剩下的一半多1个，丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，请问这篮李子原来有几个？

此题从正面入手不太简便，采用倒推法，口算就能得出结果。因为丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，则丙拿之前有3×2=6（个）。往上推，乙拿了剩下的一半多1个，还剩下6个，则乙拿之前有（6+1）×2=14（个）。同样，甲拿之前有（14+1）×2=30（个）。

解题的过程是思维的过程，解题的价值也不在答案本身。通过解决问题，让学生学会在错综复杂的情境中做出有条理的分析与预测，进行创造性的思考，发展数学思维，才是我们最终的目标。

（责编 罗 艳）endprint

波利亚有句名言：“掌握数学就意味着善于解题。”培养小学生解决问题的能力，发展数学思维，是课程标准的重要目标。但是，“审题不仔细”、“分析不深入”、“策略不优化”等问题，在小学生中仍有一定的普遍性。如何转变这些不良倾向，提升小学生解题能力，笔者进行了初步的探索与尝试。

一、直观表征，正确把握题意

表征是影响问题解决的一个重要因素，正确表征往往有助于问题的解决；反之，问题表征不精确或不完全，就会造成问题解决的困难。

1.画图明意，图表直观

有些数学问题信息较多，数量关系比较复杂，给学生正确把握题意增添了困难。对于这类问题，教师可以引导学生利用图表直观表征，将抽象复杂的关系变为简明直观的视觉形象。

例1：小猫、小狗和小熊去钓鱼，小猫比小狗多钓6条，小猫钓的鱼是小熊的，小熊比小狗多钓22条。它们各钓了多少条鱼？

通过线段图，我们可以清楚地看出，小猫比小狗多钓6条，小熊比小狗多钓22条，因此可知，小熊比小猫多钓22-6=16（条）。又根据小猫钓的鱼是小熊的，所以得到小熊钓的鱼是16÷（1-）=32（条），小狗钓的鱼是32-22=10（条），小猫钓的鱼是10+6=16（条）。

2.动态演示，情境再现

小学生的思维正处于直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，一些抽象的概念会影响他们对题意的理解。如果能通过做一做、演一演，再现题目中的情境，对学生正确理解题意会有很大的帮助。

例2：甲、乙两人从相距66千米两地同时出发，相向而行。甲每小时行12千米，乙每小时行10千米。几小时后他们相距11千米？

“他们相距11千米”可分两种情况，一种是在相遇前两人还相距11千米；另一种是两人相遇后继续前行相距11千米。教师可以让学生用左右手模拟两人的运动过程，理解“他们相距11千米”两种情形的正确意义。

3.推敲语言，感悟内涵

数学语言具有高度的抽象性和概括性，教师要引导学生在审题时推敲关键字词，对生活用语和数学语言进行联系沟通，更好地感悟数学语言的内涵。

例3：某服装店卖出了两件衣服，每件100元，第一件赚了20%，第二件亏了20%。服装店是赚了还是亏了？

有的学生简单地把“赚了20%”、“亏了20%”相抵消，认为结果是不赚也不亏。实际上，“赚了20%”、“亏了20%”是与各自的成本相比较而言的，对应的标准并不相同。因此，只有当学生正确理解了这两个20%的内涵，才能把问题转化为有关百分数应用题来解答。

二、积极联想，突破思维障碍

所有数学问题都由给定条件和要求的问题构成，但条件和问题之间存在着障碍。为此，教师要鼓励学生积极展开联想，通过一定的方式深入分析，突破思维障碍，逐步接近要求的问题。

1.观察特征，引发猜想

在心理学中，观察被看做是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。观察数学问题的特征是深入分析的前提，在观察的同时，还常常伴有推理和猜测。

例4：已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。

求图中各圆的周长总和，可以先算出各个圆的周长再相加求和，但各圆的直径未知，不能算。经过观察发现，AB的长度正好是各圆直径之和，因此引发了猜想：各圆的周长总和是不是就等于直径50厘米的大圆周长？经过进一步分析推理，证明猜想正确，问题就迎刃而解了。

2.类比模拟，萌生构想

类比模拟是分析阶段的一个重要手段，它通过联想有关知识，从类似事物中得到启发，沟通知识、方法与问题间的联系，把陌生问题构造成熟悉的问题加以解决。

例5：张老师带的钱可以买15本语文书或24本数学书。张老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可以买几本数学书？

这道题初看与我们所学的知识挂不上钩，但仔细一想，如果把总钱数理解为总工作量，把带的钱可买15本语文书或24本数学书理解成甲、乙两人单独完成总工作量各需15天、24天，那么就把这道题类比成工程问题了，可以用解工程问题的方法解决。

3.尝试抉择，大胆畅想

通过对数学问题进行观察、联想，我们已经从整体上把握住问题，形成初步的解题意向。尝试就是将初步意向付诸实施，试探是否可行，选择最容易接近目标的方向入手等等。

例6：已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

尝试一：根据面积公式算出各图形的面积，条件不充分，尝试失败。

尝试二：通过“剪、拼、移”的方法计算阴影部分面积的大小，不仅困难而且繁琐，尝试再次失败 。

尝试三：连接FC，则四边形BCFD为梯形。观察发现，阴影部分处在两平行线之间，根据平行线间高处处相等，可把阴影部分转化为其他图形，寻求巧解。

……

三、运用策略，灵活化归解答

在大多数情况下，数学题并不是标准的模式化问题，而是需要创造性思维才能解决的，这就注定在数学解题活动中必然有策略问题。

1.沟通转化，变难为易

波利亚认为解题就是把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题。在解决非模式化问题时，可以引导学生运用转化的策略，将题中的条件或问题，转化成与其等价的另一种表达形式，从而丰富解题方法，提高解题能力。

例7：甲和乙从相距1200米的两地相向而行，甲每分钟走55米，乙每分钟走65米。甲出发时带一只狗，狗以每分钟240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇时，狗一共跑了多少米？

这道题所叙述的情况相当复杂，因为不能求出狗先向乙跑了几米，再向甲跑了几米，又向乙跑了几米……经过分析发现，狗是与甲一同出发，甲乙相遇时它也停下来，这样狗跑的时间就是甲乙相遇的时间。运用转化的策略将原题变换成两个小问题“甲乙两人经过几分钟相遇？在这段时间里，狗一共跑了几米？”就能轻而易举地求出狗跑的路程。

2.数形结合，优势互补

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”运用数形结合，能将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种语言的优势互补。

例8：计算++++=

这道题可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此类推，然后正负相互抵消，得到答案。如果利用数形结合的策略，将题目赋以几何意义（如下图所示），那么此题就变得非常简单：用单位“1”减去空白部分1-，就得到结果。

3.正难则反，殊途同归

从正面入手有困难，就从反面入手，直接解决不容易，就考虑间接解决。“正难则反”策略巧妙地运用逆反转换来解决问题，常常使人茅塞顿开，突破思维定式，实现殊途同归。

例9：有一篮李子，甲拿了一半多1个，乙拿了剩下的一半多1个，丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，请问这篮李子原来有几个？

此题从正面入手不太简便，采用倒推法，口算就能得出结果。因为丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，则丙拿之前有3×2=6（个）。往上推，乙拿了剩下的一半多1个，还剩下6个，则乙拿之前有（6+1）×2=14（个）。同样，甲拿之前有（14+1）×2=30（个）。

解题的过程是思维的过程，解题的价值也不在答案本身。通过解决问题，让学生学会在错综复杂的情境中做出有条理的分析与预测，进行创造性的思考，发展数学思维，才是我们最终的目标。

（责编 罗 艳）endprint

波利亚有句名言：“掌握数学就意味着善于解题。”培养小学生解决问题的能力，发展数学思维，是课程标准的重要目标。但是，“审题不仔细”、“分析不深入”、“策略不优化”等问题，在小学生中仍有一定的普遍性。如何转变这些不良倾向，提升小学生解题能力，笔者进行了初步的探索与尝试。

一、直观表征，正确把握题意

表征是影响问题解决的一个重要因素，正确表征往往有助于问题的解决；反之，问题表征不精确或不完全，就会造成问题解决的困难。

1.画图明意，图表直观

有些数学问题信息较多，数量关系比较复杂，给学生正确把握题意增添了困难。对于这类问题，教师可以引导学生利用图表直观表征，将抽象复杂的关系变为简明直观的视觉形象。

例1：小猫、小狗和小熊去钓鱼，小猫比小狗多钓6条，小猫钓的鱼是小熊的，小熊比小狗多钓22条。它们各钓了多少条鱼？

通过线段图，我们可以清楚地看出，小猫比小狗多钓6条，小熊比小狗多钓22条，因此可知，小熊比小猫多钓22-6=16（条）。又根据小猫钓的鱼是小熊的，所以得到小熊钓的鱼是16÷（1-）=32（条），小狗钓的鱼是32-22=10（条），小猫钓的鱼是10+6=16（条）。

2.动态演示，情境再现

小学生的思维正处于直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，一些抽象的概念会影响他们对题意的理解。如果能通过做一做、演一演，再现题目中的情境，对学生正确理解题意会有很大的帮助。

例2：甲、乙两人从相距66千米两地同时出发，相向而行。甲每小时行12千米，乙每小时行10千米。几小时后他们相距11千米？

“他们相距11千米”可分两种情况，一种是在相遇前两人还相距11千米；另一种是两人相遇后继续前行相距11千米。教师可以让学生用左右手模拟两人的运动过程，理解“他们相距11千米”两种情形的正确意义。

3.推敲语言，感悟内涵

数学语言具有高度的抽象性和概括性，教师要引导学生在审题时推敲关键字词，对生活用语和数学语言进行联系沟通，更好地感悟数学语言的内涵。

例3：某服装店卖出了两件衣服，每件100元，第一件赚了20%，第二件亏了20%。服装店是赚了还是亏了？

有的学生简单地把“赚了20%”、“亏了20%”相抵消，认为结果是不赚也不亏。实际上，“赚了20%”、“亏了20%”是与各自的成本相比较而言的，对应的标准并不相同。因此，只有当学生正确理解了这两个20%的内涵，才能把问题转化为有关百分数应用题来解答。

二、积极联想，突破思维障碍

所有数学问题都由给定条件和要求的问题构成，但条件和问题之间存在着障碍。为此，教师要鼓励学生积极展开联想，通过一定的方式深入分析，突破思维障碍，逐步接近要求的问题。

1.观察特征，引发猜想

在心理学中，观察被看做是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。观察数学问题的特征是深入分析的前提，在观察的同时，还常常伴有推理和猜测。

例4：已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。

求图中各圆的周长总和，可以先算出各个圆的周长再相加求和，但各圆的直径未知，不能算。经过观察发现，AB的长度正好是各圆直径之和，因此引发了猜想：各圆的周长总和是不是就等于直径50厘米的大圆周长？经过进一步分析推理，证明猜想正确，问题就迎刃而解了。

2.类比模拟，萌生构想

类比模拟是分析阶段的一个重要手段，它通过联想有关知识，从类似事物中得到启发，沟通知识、方法与问题间的联系，把陌生问题构造成熟悉的问题加以解决。

例5：张老师带的钱可以买15本语文书或24本数学书。张老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可以买几本数学书？

这道题初看与我们所学的知识挂不上钩，但仔细一想，如果把总钱数理解为总工作量，把带的钱可买15本语文书或24本数学书理解成甲、乙两人单独完成总工作量各需15天、24天，那么就把这道题类比成工程问题了，可以用解工程问题的方法解决。

3.尝试抉择，大胆畅想

通过对数学问题进行观察、联想，我们已经从整体上把握住问题，形成初步的解题意向。尝试就是将初步意向付诸实施，试探是否可行，选择最容易接近目标的方向入手等等。

例6：已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？

尝试一：根据面积公式算出各图形的面积，条件不充分，尝试失败。

尝试二：通过“剪、拼、移”的方法计算阴影部分面积的大小，不仅困难而且繁琐，尝试再次失败 。

尝试三：连接FC，则四边形BCFD为梯形。观察发现，阴影部分处在两平行线之间，根据平行线间高处处相等，可把阴影部分转化为其他图形，寻求巧解。

……

三、运用策略，灵活化归解答

在大多数情况下，数学题并不是标准的模式化问题，而是需要创造性思维才能解决的，这就注定在数学解题活动中必然有策略问题。

1.沟通转化，变难为易

波利亚认为解题就是把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题。在解决非模式化问题时，可以引导学生运用转化的策略，将题中的条件或问题，转化成与其等价的另一种表达形式，从而丰富解题方法，提高解题能力。

例7：甲和乙从相距1200米的两地相向而行，甲每分钟走55米，乙每分钟走65米。甲出发时带一只狗，狗以每分钟240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇时，狗一共跑了多少米？

这道题所叙述的情况相当复杂，因为不能求出狗先向乙跑了几米，再向甲跑了几米，又向乙跑了几米……经过分析发现，狗是与甲一同出发，甲乙相遇时它也停下来，这样狗跑的时间就是甲乙相遇的时间。运用转化的策略将原题变换成两个小问题“甲乙两人经过几分钟相遇？在这段时间里，狗一共跑了几米？”就能轻而易举地求出狗跑的路程。

2.数形结合，优势互补

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”运用数形结合，能将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种语言的优势互补。

例8：计算++++=

这道题可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此类推，然后正负相互抵消，得到答案。如果利用数形结合的策略，将题目赋以几何意义（如下图所示），那么此题就变得非常简单：用单位“1”减去空白部分1-，就得到结果。

3.正难则反，殊途同归

从正面入手有困难，就从反面入手，直接解决不容易，就考虑间接解决。“正难则反”策略巧妙地运用逆反转换来解决问题，常常使人茅塞顿开，突破思维定式，实现殊途同归。

例9：有一篮李子，甲拿了一半多1个，乙拿了剩下的一半多1个，丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，请问这篮李子原来有几个？

此题从正面入手不太简便，采用倒推法，口算就能得出结果。因为丙拿了剩下的一半多3个，李子正好分完，则丙拿之前有3×2=6（个）。往上推，乙拿了剩下的一半多1个，还剩下6个，则乙拿之前有（6+1）×2=14（个）。同样，甲拿之前有（14+1）×2=30（个）。

解题的过程是思维的过程，解题的价值也不在答案本身。通过解决问题，让学生学会在错综复杂的情境中做出有条理的分析与预测，进行创造性的思考，发展数学思维，才是我们最终的目标。

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