谈计算麦克劳林公式的间接法

张 辉，赵伟舟，敬 斌，李应岐

(第二炮兵工程大学 理学院, 陕西 西安 710025)

由函数的性质可得，这样代换得到的等式(1)是成立的.但等式(1)是否就为ex2的麦克劳林公式呢？事实上，回答是肯定的，这就是所谓的间接法，而此方法现行教材往往并没有给出理论证明.本文基于泰勒定理和高阶导数理论，给出了计算两类复合函数的麦克劳林公式的间接法，得到了一般性的结论，让初学者灵活使用，达到事半功倍、举一反三的效果.

1 预备知识

定理1[2]22-24若y=f(u)，u=φ(x)，其中f，φ具有n阶导数，则

2 间接法

情形一：u=φ(x)=bx，b≠0.

若u=φ(x)=bx，则y=f(bx)，且有

因此，复合函数y=f(bx)的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为

我们知道，函数y=f(x)的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为

因此，y=f(bx)的麦克劳林公式(2)可由将函数y=f(x)的麦克劳林公式(3)中的x换成bx得到.

情形二：u=φ(x)=bxm，b≠0，m>1，m∈Z+.

=[b33m(3m-1)(3m-2)x3(m-1)]|x=0=0.

P2m,3(0)=…=P2m,m(0)=P2m,m+1(0)=…=P2m,2m(0)=0，

P(p+1)m,p+2(0)=P(p+1)m,p+3(0)=…=P(p+1)m,(p+1)m(0)=0，

由泰勒中值定理[3]278-285可得，复合函数y=f(bxm)的带有皮亚诺型余项的(p+1)m(p≥1,p∈Z+)阶麦克劳林公式为

因此，函数y=f(bxm)的麦克劳林公式(4)可由将函数y=f(x)的麦克劳林公式(3)中的x换成bxm得到.

因此，

值得注意的是，对于一些特殊类型的函数，我们往往也可以借助于它的麦克劳林展开式[3]278-285来求解麦克劳林公式.例如，函数arctanx的麦克劳林展开式为

因此，arctanx的带有皮亚诺型余项的2n+1阶麦克劳林公式为

[1] 同济大学数学系.高等数学(上册·6版)[M].北京：高等教育出版社,2007.

[2] 陈世哲，陈仕洲.复合函数的高阶导数公式及其应用[J].南阳师范学院学报，2010，9(12).

[3] 同济大学数学系.高等数学(下册·6版)[M].北京：高等教育出版社,2007.