先验信息可信度在成败型试验中的应用

赵 勇，刘建新，牛青坡

（中国空空导弹研究院 河南 洛阳 471000）

在武器研制各阶段的试验中，几乎所有的产品试验中都能收集到成败型数据[1]，如引信作用可靠性试验中引信的启动成功与失败。鉴于时间和成本的考虑，如何在一定试验量的情况下正确评估武器的性能是人们在武器性能鉴定中急需解决的难题。为此提出了应用Bayes评估的小子样理论，Bayes小子样试验鉴定方法[2]。Bayes显著特点是运用了多种验前信息，特别是大量的仿真信息[3]。由于大量的验前信息的应用，现场试验信息就有被验前信息“淹没”的危险，从而削弱了现场试验信息在武器系统评估中的地位，造成鉴定结果主要由验前信息决定的现象。因此，在应用Bayes方法评估武器性能时，即使验前信息和现场试验信息通过了相容性检验，也不免让人们对Bayes方法心生疑虑[4]。在成败型试验中，如果验前信息本身就是主观设定或者可信度不高，而在运用Bayes方法时又是将验前信息和现场试验信息简单的混合使用，就必然会引起人们上述的担心。所以科学的使用验前信息和现场试验信息就成为消除人们疑虑的关键。

1 可信度的概念

这里，我们利用统计检验法，在一致性检验的基础上，给出严格的验前信息可信度的概念。

记X=(X1, …Xn1)为仿真信息或历史信息；Y=(Y1, …Yn2)为现场试验信息。为了检验这两种信息是否一致或是否属于同一总体，引入竞择假设：

H0：X和Y属于同一总体；

H1：X和Y不属于同一总体。

若已知：当H0为真而拒绝H0的概率为α，即弃真的概率为α；而当H0为真而采纳H0的概率为1- α。

为了引入验前子样（仿真子样）的可信度，记

A:采纳H0的事件；

根据上述内容可得：

定义：当采纳了H0之下，H0成立的概率，即X和Y属于同一总体的概率，称为验前子样X的可信度。即可信度为P(H0|A) 。

2 可信度的计算

依据上述定义，利用Bayes公式可得

式中：

P(A|H1) =β为采伪概率，即当H1为真而采纳了H0的概率。这样验前信息的可信度可表示为：

在应用中，X为验前子样，如仿真所获得的子样；Y为现场（真实）试验所表示的子样。因此所谓X的可信度就是以Y作为比较标准，X和Y吻合的程度。

由可信度的表达式，计算中必须给出P(H0)、α和β。其中P(H0)是验前概率，α是弃真概率，β是采伪概率。上述参数必须在试验之前计算出来，如果在试验之前没有任何信息可以利用，则可以取P(H0)=0.5。当然，这只是一种设想，必须十分慎重，例如X是仿真子样，则经过仿真中的V.V&A处置，不能认为P(H0)=0.5，至少有 P(H0)＞0.5。

如果取 P(H0)=0.5，此时上式简化为

2.1 P(H0)的计算

验前概率P(H0)指的是获得现场信息之前，事件H0成立的概率，它的大小反映的实际上是获取验前信息的方法或过程的可信度[5]。这种可信度受验前信息获取时的试验方法、试验条件、试验数据处理方法以及工程实践经验等多种因素的影响。下面通过引入信息似然比来确定P(H0)，假设由信息I1，可得到一个概率向量:

0111

由于H0和H1是对立假设，所以p1(H0)和p1(H1)满足下列关系：

信息似然比与概率之间的相互确定关系为：

给出信息I1后，再给出信息I2的条件似然比用l01(I2/I1)表示：

于是可以给出：

对于n种相互独立的信息，可以导出：

从一般意义上来说，由于各种信息来自于与之相对应的不同方面，所以在大多数情况下，不同来源的信息是相互独立的。所以有n种信息的情况下，信息似然比与概率之间的相互确定关系为：

需要说明的是如果在实验之前没有验前信息可以利用，则可以取P(H0)=0.5，当然这只是一种设想，必须十分慎重。例如，如果Z0是仿真子样，则经过仿真中的V.V＆A处置，不能认为P(H0)=0.5，至少应有P(H0)＞ 0.5。

2.2 α和β的确定

由于α和β分别代表了生产方的风险（弃真）和使用方的风险（存伪），所以在进行检验方案设计时，应从工程实际情况来确定α和β。需要指出的是，要一般给出β的解析式是很困难的。对于有验前信息可以利用的情况，可以利用上节2.1的方法来计算P(H0)。采用“风险上平等对待的原则”来计算α和β（工程上一般取1%—5%）。此时验前子样的可信度为：

3 可信度在Bayes评估中的应用

在装备试验中，常常会遇到成败型试验产品，这种成败型产品待检参数服从二项分布。例如引信启动的可靠度、导弹的命中概率[6]、雷达目标识别率等，本文以某型号导弹的飞行打靶试验为例进行讨论。设导弹命中率θ的先验分布为Beta分布，即

式中，α0,β0为分布参数，可由验前信息计算。若在打靶试验之前获得验前信息（仿真）经折合得到数据Z0=(m1,n1)，其中m1是经折合后打靶试验命中次数，n1是经折合后打靶试验次数。则

当进行现场打靶试验得到数据Z1=(m2,n2)后，θ的后验分布仍为贝塔分布。其中m2是现场打靶试验命中次数，n2是现场打靶试验次数。θ的后验分布为：

式中分布参数α, β为

从而导弹命中率θ的Bayes估计为

对于导弹命中概率的检验，构造如下统计假设：

λ 为检出比（0 ＜ λ ＜ 1 ）。

运用Bayes检验,如果决策不等式

则采纳H0；如果决策不等式

则采纳H1。其中d为鉴别比，且满足

P(H0)=P(H0|Z1)P(H0|A)为原假设H0的验前概率，由验前信息确定，且

P(H1)为备择假设H1的验前概率。由于H0和H1是对立假设，所以

在上述Bayes估计中，如果不顾验前信息可信度的大小，直接将验前信息简单的用于Bayes统计推断中，在验前信息量（仿真信息）巨大的情况下，必将造成“淹没”现场数据的现象，此时的现场数据在几乎起不到任何作用。

同样在上述的Bayes假设检验中，如果不顾验前信息可信度的大小，此时，如果验前样本巨大（远超出现场样本），则验前信息将作出必然采纳H0或H1的决策。若必然采纳H1，即P(H0)=0。则式（24）的不等式必成立，即不管现场子样如何取值，必将使采纳H1的不等式成立。此时的现场信息不起任何作用，完全被大量的现场信息所“淹没”。所以在使用验前信息时必须考虑其可信度，于是真实的验前概率P(H0)* ：

其中，P(H0)表示在获得现场子样Z1前假设H0成立的概率。P(H0|A)表示验前子样Z0的可信度。在应用中，所谓的验前子样Z0的可信度也就是以现场子样Z1为标准，Z0和Z1的吻合程度。这样即使验前子样的容量很大，提供的信息非常丰富，即

但由于此时真实的验前概率为P(H0)* ：

在计算中就不能将大量的验前子样与现场子样直接简单的混用。

故引入验前信息可信度后不存在大量验前子样（如仿真信息）“淹没”现场子样的情况。不会再出现验前信息在可信度不高的情况下决定试验决策的情况；当然此时在做参数θ 的Bayes推断统计时，同样由于验前子样可信度的存在，不能将验前子样直接与现场子样简单的混合使用，必须将现场子样重新折合后才能使用，这样必将引起权系数γ的变化，就不会在大量验前子样可信度较低的情况下，验前子样决定参数θ 的Bayes推断统计的结果。

4 结 论

事实上，在武器系统成败型试验中，使用Bayes方法评估产品性能的最关键问题是验前信息的收集过程必须真实可靠，也就是说验前信息在使用时其可信度P(H0|A)必须要高。从而才能保证在使用Bayes方法作统计推断时其结果的正确性。

对于成败型试验的Bayes统计推断，如果验前概率高(此时验前子样可信度高，验前子样数据不需要经过折合直接使用，权系数γ较大)，则验前信息对统计推断的结果“贡献”更大。对于Bayes假设检验，如果验前概率高(即验前信息有利于假设H0)，则检验方案容易接受假设H0，也即正确的利用了验前信息，得到了更合理的评估结论。

[1] 游宁，马宝华.成败型可靠性数据点估计与区间估计关系研究[J].探测与控制学报,1999,21(1):3-4.YOU Ning, MA Bao-hua.The research on the relationship between point estimation and interval estimation for success or failure model reliability data[J]. Journal of Detection &Control,1999,21(1):3-4.

[2] 姚志军,王国平,王广伟.验前信息可信度及其在Bayes评估中的应用[J].火力与指挥控制,2007,32(7):51-53.YAO Zhi-jun,WANG Guo-ping,WANG Guang-wei.Confidence level of prior information and its application in bayes method[J].Fire Control and Command Control,2007,32(7):51-53.

[3] 张金槐,张士峰.验前大容量仿真信息“淹没”现场小子样试验信息问题[J].飞行器测控学报.2003,22(3):1-5.ZHANG Jin-huai,ZHANG Shi-feng. Problem of large numbers of prior information obliterating the small numbers of test information[J].Journal of Spacecraft TT&C Technology.2003,22(3):1-5.

[4] 武小悦,刘琦.装备试验与评价[M]. 北京:国防工业出版社，2008.

[5] 张金槐,刘琦,冯静.Bayes试验分析方法[M].长沙:国防科技大学出版社,2007.

[6] 赵建华,王磊,李涛.海上目标雷达回波图像识别系统[J].兵工自动化,2012,31(12):61-65.ZHAO Jian-hua, WANG Lei,LI Tao.Sea target rader echo image indentify syestem[J].Ordnance Industry Automation,2012,31(12):61-65.