自治Lienard系统边缘线性化简化HX表示

杨文光，韩元良

(华北科技学院 基础部，北京 东燕郊 101601)

0 引言

2002年，文献[1]提出了基于模糊推理的HX方法，成为继机理建模法和系统辨识建模法之后的第三种建模方法，该方法通过采样获取的数据，依据插值机理建立了对应系统的变系数非线性微分方程(组)，为解决被控对象难于建模的问题提供了新思路。文献[2]为了方便进行系统的定性或定量分析，提出了“边缘线性化方法”，得到了变系数线性模型。随着时间的推移，模糊推理建模方法不断发展，文献[3]将其推广到时变系统的建模上，同样得到了较好的理论和仿真结果。文献[4]利用文献[1]理论将模糊推理建模法应用到了连续混沌系统的建模中，推导得到了三阶混沌系统的状态空间模型，但随着系统阶数的升高，模型的推导变的越来越复杂，很有必要进行简化。

模糊推理建模法作为处理非线性系统建模的新方法，仅需利用采样数据就较为容易的得到了所研究问题的近似模型，这为其他研究问题提供了重要支撑。自治Lienard系统在大气动力学、物理学、生物学等领域有着广泛的应用[5]，因此有必要对其进行更为简捷的表示和建模，文献[5]相比于文献[1]，进行了简化探索，使得Lienard系统的模糊推理建模表示为二阶变系数非线性常微分方程，但简化后的系统仍为非线性系统。文献[6-7]尝试将模糊推理建模方法应用到实际系统的建模或控制中，收到了较好效果，反映出模糊推理建模方法具有较好的应用前景。本文将在上述文献工作基础上，将边缘线性化模糊推理建模法应用到自治Lienard系统中，使得HX方程表示成为更为简捷的变系数线性微分方程，时空复杂度得到极大简化，进一步丰富模糊推理建模方法。

1 边缘线性化模糊推理建模

现以二阶Lienard系统为例给出相关的基本概念和记号。

(1)

其中i=1,2,…,p,j=1,2,…,q.

定义1.3[2]设Ai的隶属函数为“矩形波”

(2)

设Bj的隶属函数为“三角波”：

(3)

设Cij为单点模糊集，其隶属函数为：

(4)

图1 Ai的“矩形波”隶属函数

图2 Bj的“三角波”隶属函数

引理1.1[2]在上述假定和公式(2)、(3)、(4)作用下，基于(1)式的二阶系统的输入输出模型表示为二阶变系数线性微分方程

(5)

(6)

(7)

(8)

2 自治Lienard系统边缘线性化简化HX表示

边缘线性化模糊推理建模通过将状态y(t)论域上的三角波隶属函数改为矩形波隶属函数，使得原模糊推理模型中的非线性因素消失，达到了线性化目的，但对于(5)式仍需要分片求解，运行时间较长，存在进一步简化的必要。本节将给出自治Lienard系统的简化边缘线性化HX表示。

(9)

(10)

(11)

根据文献[6]，对于满足公式(1)的二阶自治Lienard系统可以表示为一个二元分片插值函数，其处在局部(i,j)片上的函数形式为

(12)

(13)

(14)

定理2.1的建立使得二阶自治Lienard系统建模表示得到极大简化，进行逐段求解p个简化边缘线性化HX方程即可，对于局部表达式(14)，它为常系数线性微分方程，推广到整体，则公式(9)成为变系数线性微分方程，于是可以得到与公式(1)对应的模糊规则形式

(15)

其中i=1,2,…,p,j=1,2,…,q.

3 仿真实验

现选择Vandel Pol方程[1,2,5]，它是特殊的Lienard系统，简述边缘线性化简化HX表示的实现过程

(16)

其中μ=1.

步骤1 以公式(16)作为真实系统，确定y(t)的取值范围，然后确定论域Y=[a1,b1]，其中a1=min(y(t))-0.1abs(min(y(t)))，b1=max(y(t))-0.1abs(max(y(t)))，max(), min(), abs()分别为MATLAB软件中的取大、取小、取绝对值操作。

步骤3 按照公式(10)、(11)计算每段上的系数Pi,Qi，i=1,2,…,p.

(17)

采用MATLAB7.5.0(R2007b)按照上述步骤完成近似模型建模，绘出x1(t),x2(t)与相平面曲线，选择仿真时间T=20s,分布完成了分段数p=6与p=20的仿真，见图3、图4.随之p的增大，获取的系统信息越丰富，建模精度越高，当p=20时，各种曲线基本完全重合，而程序运行总时长仅为0.230903s，该仿真结果表明，相比于参考文献，本文简化边缘线性化HX方法的运行时间得到极大缩短，而逼近精度并没有受到影响。

图3 p=6时系统运行曲线

图4 p=20时系统运行曲线

注：图3、图4中的实线表示真实系统，虚线表示近似模型。

通过把边缘“Y”上的模糊集选为“矩形波”，并将其应用到具体的自治Lienard系统，而得到更为简化的HX表示。以上的仿真实验表明，对于自治Lienard系统完全可以通过采样，获取系统状态取值，就可以通过求解方程完成模糊推理建模，时空复杂度得到极大简化，这是在模糊推理建模方面对于具体的自治Lienard系统建模的很好补充。

[1] 李洪兴,王加银,苗志宏. 模糊控制系统的建模[J]. 中国科学(A辑),2002,32(9):772-781.

[2] 李洪兴,王加银,苗志宏. 模糊控制系统建模中的边缘线性化方法[J]. 自然科学进展,2003,13(5): 466-472.

[3] 李洪兴,宋文彦,袁学海,等. 基于Fuzzy推理的时变系统建模[J]. 系统科学与数学,2009,29(8):1109-1128.

[4] 范丹丹,方建安. 连续混沌系统的模糊建模[J]. 东华大学学报(自然科学版),2005,31(1): 6-10.

[5] 赵纬经,李洪兴. 自治Lienard系统的简化HX方法[J]. 模糊系统与数学,2013,27(1):96-103.

[6] 王志新,谷云东,李洪兴. 单水箱液位控制系统的模糊推理建模及仿真[J]. 模糊系统与数学,2007,21(2):141-147.

[7] 杨文光,赵海良. 一类非线性系统的模糊推理建模与控制仿真[J]. 河北科技大学学报,2008,29(2):165-168.