除半环的分配格问题

吴双权

【摘 要】半环代数理论是较为活跃的代数学研究领域之一本文研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格，讨论了这些半环与它们的乘法半群之间的关系，进一步分析了它们的次直积分解，讨论了纯整的矩形除半环的分配格。

【关键词】半环；分配格；矩形除半环

1.矩形除半环

定义1：半环S叫做乘法矩形带半环，是指它的乘法半群（S，·）是矩形带.我们用 表示所有的乘法矩形带半环类.

命题 1：若S∈Re，则S∈I.

证：设S∈Re，则（S，·）是矩形带，?a，b∈S，S满足aba=a，所以，a+a=a3+a3=a（a+a）a=a，所以S∈I.

定义 2：半环S叫做矩形除半环，是指S同构于乘法矩形带半环和除半环的直积.

用ReG表示所有的矩形除半环类.

推论1：对一个矩形除半环S，我们有

（1）（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半环同余。

（3）S的每一个H-类是S的一个子除半环。

定理1：半环S是知形除半环当且仅当S满足下述条件：

（1）S的乘法半群（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半环同余。

证明：根据推论，必要性是显然的.

充分性：设半环s的乘法半群（S，·）是矩形群且 是半环同余，我们知道y是半环S的最小除半环同余，我们有D=HY是S上的泛关系，H∩Y是S上的恒等关系，我们定义映射

φ：S→×，（?a∈S），aφ=（H，y）很容易验证φ是一个同构，即φ：S≌×，其中∈Re，∈G这就表明了S是矩形除半环.

2.矩形除半环的分配格

我们用ReGD表示所有的矩形除半环的分配格类.

定：2：半环S是矩形除半环的分配格，即S∈ReGD，当且仅当D是S上的最小分配格同余，且每一个D是矩形除半环.

证明：设半环S是矩形除半环的分配格，则存在半环同余ρ，使得 是分配格，每一个ρ类是矩形除半环.因为S的乘法半群（S，·）是矩形群的半格，是完全正则半群，那么D是（S，·）上的最小半格同余，我们有D?ρ.另一方面，对任意的u∈S，由于ρu是矩形除半环，它的乘法半群是半环S的完全单子半群，所以ρ?D.这就证明了ρ=D.也就是说 D是S上的最小分配格同余，且每一个D类是矩形除半环.

反之，若D是S上的最小分配格同余，并且每一个D类是矩形除半环，由定义可知，S显然是矩形除半环的分配格.

定理3：若半环S是矩形除半环的分配格，则s满足：对?a，b∈S，

（ab）0=（ab）0（ba）0（ab）0，

（a+b）0=（a+b）0（b+a）0（a+b）0，

a0=（a+ab）0a0=a0（a+ba）0=（ab+a）0a0=a0（ba+a）0.

证明：设半环S是矩形除半环的分配格，则D是S_上的最小分配格同余，所以对?a，b∈S，abDba，

由于每一个D-类是矩形除半环，它的乘法半群是矩形群，所以

（ab）0=（ab）0（ba）0（ab）0，

（a+b）0=（a+b）0（b+a）0（a+b）0，

a0=（a+ab）0a0=a0（a+ba）0=（ab+a）0a0=a0（ba+a）0.

定理4：若S是矩形群的半格，则S是纯整的.

证明：设S是矩形群的半格，对?a，f∈E（S），根据定理3，我们有

ef=（ef）（ef）0=（ef）2（ef）-1=（ef）2（ef）0（fe）0（ef）0=（ef）2（ef）0=（ef）2，

所以S是纯整的.

定理5：设半环S是矩形除半环的分配格，那么S是矩形除半环的坚固分配格当且仅当s的乘法半群（S，·）是矩形群的坚固半格.

证明：显然分配格D是构架，由于D?St，ReG?MRG，故

ReGD?MRGSt，结沦是显然的.

定理6：设半环S是矩形除半环的分配格，那么S是矩形除半环与分配格的次直积，当且仅当它的乘法半群（S，·）是矩形群和半格的次直积.

定理7：半环S是矩形除半环的坚固分配格当且仅当S是矩形除半环的分配格并且满足：

（1）E*（S）是正规带。

（2）（S，·）是E-酉的。

（3）对任意的e，f，g∈E·（S），e+fgμ（e+f）（e+g），ef+gμ（e+f）（e+g）。

证明：设半环s是矩形除半环的分配格并且满足E*（S）是正规带，

（S，·）是E-酉的，同时，对任意的e，f，g∈E·（S），

e+fgμ（e+f）（e+g），ef+gμ（e+f）（e+g），

由于半环S是矩形除半环的分配格，E*（S）是正规带.根据，E*（S）是矩形群的强半格，我们有：对任意的α≥β∈D和任意的a∈Sa，存在唯一的eβ∈E·（Sβ），使得eβa=aeβ，且a≥eβ，我们有（S，·）=[（D，·）；（Sa，·）；φα，β]；， 其中（D，·）和（Sa，·.）分别表示分配格D=和矩形除半环Sa的乘法半群，其中，Sa是半环的D-类，且φα，β定义为：（?a∈S）aφα，β=eβa=aeβ

下面我们证明φα，β是单射：

对?a，b∈Sa存在eβ，fβ∈E·（Sβ）使得：

aφα，β=eβa=aeβ，a-1φα，β=a-1eβ=eβa-1，bφα，β=fβb=bfβ

如果aφα，β=bφα，β，则aeβ=bfβ，eβa=fβb

若aeβ=bfβ，则

aeβa-1eβ=bfβa-1eβ，（两边右乘a-1eβ）

aa-1eβeβ=ba-1fβeβ，

a0eβ=ba-1a0fβeβ=ba-1eβ，（E·（Sβ）是矩形带，E*（S）是正规带）

由于（S，·）是E-酉的，所以ba-1E·（Sa），根据引理4，我们得到bya

又因为E·（Sa）是矩形带，所以ba-1=b0（ba-1）a0=b0a0，则，

eβ=a0eβ=ba-1eβ=b0a0b0eβ=b0aβ， （E*（S）是正规带）

类似地，可得eβ=eβb0，所以b0≥eβ，fβ=eβ，

由a0eβ=b0aβ，可得：

a0eβ+a0=b0aβ+a0，（两边右加a0）

a0（eβ+a0）a0=a0eβa0+a0=a0eβ+a0=b0aβ+a0=b0aβb0+a0，

a0Ha0（eβ+a0）a0=a0eβa0+a0H（b0+a0）（eβ+a0）（b0+a0），

a0=[（b0+a0）（eβ+a0）（b0+a0）]0

=（b0+a0）0（eβ+a0）0（b0+a0）0

=（b0+a0）0

类似地可得b0=（b0+a0）0，所以a0=（b0+a0）0=b0，即。aHb

因为aHb且ayb，所以a=b，这就证明了φ是单射，也就是说半环S的乘法半群是矩形群的坚固半格，根据定理5，我们得到半环S是矩形除半环的坚固分配格.

反之，设半环S是矩形除半环Sa的坚固分配格D，显然S是矩形除半环的分配格，它的乘法半群是矩形群的坚固半格，根据定理知， E*（S）是正规带.

对任意α，β∈D，e∈E*（Sa），a∈Sβ，若，ea=fαβ∈E*（Sαβ），则ea=eφα，αβaφβ，αβ=fαβ由于（Sαβ，.）是矩形群，是E-酉的，所以aφβ，αβ∈E*（Sαβ），因为φ是单同态，所以a∈E*（Sβ），这就证明了（S，·）是E-酉的.

对任意，e∈E*（Sa），f∈E*（Sβ），g∈E*（Sγ），

（e+fg）2=e+efg+fge+fg （下转第248页）

（上接第231页）=e+eφα，αβγfφγ，αβγgφγαβγ+fφβαβγgφγαβγeφα，αβγ+fφβ，βγgφγ，βγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγfφβαβγgφγαβγ+fφβαβγgφγαβγeφα，αβγ+fφβ，αβγgφγ，αβγ]φαβγ，αβγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγgφγαβγ+fφβαβγeφα，αβγ+fφβαβγgφγαβγ]φαβγ，αβγ.（e+f）（e+g）

=e+eg+fe+fg

=e+eφα，αβgφγαγ+fφβαβeφα，αβγ+fββγgφγβγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγgφγαβγ+fφβαβγeφα，αβγ+fφβαβγgφγαβγ]φαβγ，αβγ

所以（e+f）（e+g）=（e+fg）2

因为Sα+βγ是矩形除半环，根据推论1，每一个H-类是Sα+βγ的子除半环，所以，e+fgH（e+fg）2=（e+f）（e+g），

类似地，我们可以证明ef+gH（e+f）（e+g）.

由定理7，我们直接可得如下定理：

定理8：半环S是矩形除半环和分配格的次直积当且仅当S是矩形除半环的分配格并且满足：

（1）E*（S）是正规带。

（2）（S，·）是E-酉的。

（3）对?a，f，g∈E*（S） e+fgH（e+f）（e+g） ef+gH（e+g）（f+g）

3.纯整的矩形除半环的分配格

下面我们将讨论的半环，其乘法幂等元E*（S）成为其子半环，称这样的半环是纯整的，用O表示所有的纯整的半环类.

我们用ReGD∩O表示所有的纯整的矩形除半环的分配格类.

定理9：若S∈ReGD∩O，则E*（S）∈ROD.

证明：设S∈ReGD∩O，则?a，f∈E*（S），e2=e根据定理3，我们有e=（e+f）0e=（e+ef）e=e+efe，e=（e+f）0e=（e+ef）e=efe+e，从而，E*（S）满足恒等式：x2≈x，x+xyx≈x，xyx+x≈x

我们得到E*（S）∈ROD.

定理10：若半环S∈ReGD∩O，那么S是矩形除半环的坚固分配格当且仅当S满足：

（1）（S，·）是E-酉的。

（2）E*（S）∈ID。

证明：设半环S∈ReGD∩O，（S，·）是E-酉的，E*（S）∈ID.我们有， E*（S）∈ROD，由定理7，我们知道E*（S）的乘法半群是正规带，我们得到S是矩形除半环的坚固分配格.

反之，设半环S∈ReGD∩O，且S是矩形除半环的坚固分配格，我们有（s，·）是E-酉的，对?a，f，g∈E*（S）， e+fgH（e+f）（e+g）ef+gH（e+g）（f+g），

（e+fg）0=[（e+f）（e+g）]0=（e+f）0（e+g）0

（e+fg）0=[（e+f）（e+g）]0=（e+f）0（f+g）0

根据引理有e+fg=（e+f）（e+g） ef+g=（e+g）（f+g）

所以E*（S）∈ID. [科]

【参考文献】

[1]HowieJ.M.FundamentalsofSemigrouPTheory.OxfordSeieneePublieations，Oxford，1995.

[2]HowieJ.M.AnIntroductiontoSemigrouPTheory.AcademiePress，1976.

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PuterSeienee.LongmanScientificandTeehnieal，Harlow，1992.

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