巴特沃斯小波在轴承早期故障诊断中的应用

冯昌林，罗 荣，刘 辉

（1.海军装备研究院，北京 100161；2.海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033；3.海南省军区军械修理所，海南定安 571231）

巴特沃斯小波在轴承早期故障诊断中的应用

冯昌林1，罗 荣2，刘 辉3

（1.海军装备研究院，北京 100161；2.海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033；3.海南省军区军械修理所，海南定安 571231）

设计了基于巴特沃斯数字滤波器的巴特沃斯小波及其滤波器组，并从小波的卷积型定义出发，利用零相位滤波原理实现了没有下抽样环节的具有零相位特性的巴特沃斯小波变换快速算法，成功消除滤波器的非线性相位对分解结果的影响。相对于常用正交小波滤波器组，巴特沃斯小波滤波器组不仅具有更好的频带分离特性，还可通过改变尺度参数来改变对信号的频带划分的方式，从而将原信号高频带分解在更精细的频带范围内，克服了常用正交小波滤波器组频带分离特性不够好，并总按二进方式划分频带、频率分析精度显得不足的固有缺陷。实例分析证明：巴特沃斯小波滤波器组相比于其他常用的正交小波滤波器组具有更好的频带分离特性和更强的微弱故障特征提取能力，非常适合于轴承早期故障诊断。

故障诊断；巴特沃斯小波；包络解调；轴承

小波分析是近些年才广泛应用于振动信号处理的时频分析方法。它能同时提供振动信号的时域和频域的局部化信息，具有多尺度和“数学显微”特性，这使得小波分析非常适合于机械故障特征的提取［1］。在机械故障诊断领域所用的小波变换通常采用经典的离散正交小波变换，并利用著名的Mallat算法实现其快速运算。然而，Mallat算法存在下采样环节，分解的长度随分解层数的增加而依次减半，时间分辨率越来越低，导致信号失真，难以提供准确的频域局部化信息，不利于机械故障信号的特征提取。若用Mallat算法分解之后再对感兴趣的频带进行单支重构，不仅增加了计算量［2］，还会使信号产生畸变；同时，Mallat算法分解后的各个子带的重构信号是存在频率混叠的，并不是原信号的真实分量［3］，这极大地影响了分析结果的可读性，频率混叠严重时还会造成误判；最后，经典离散正交小波对应的滤波器组是共轭正交滤波器组，其对信号的频带总是按二进方式划分，缺乏灵活性，且仅相当于振动和噪声信号分析中的1／1频程分析，对高频段的频带划分非常粗糙，频率分辨率较低，对提取高频段的故障特征很不利。

为了更好地将小波变换应用到机械故障诊断中，首先应该设计幅频特性好（即幅频响应具有陡峭的频率截止特性）且截止频率可以随尺度变化而改变的功率互补小波滤波器组。从理论上讲，与常用的db小波、双正交小波等FIR滤波器相比，IIR滤波器具有更好的阻带衰减，用较低的阶数就可以获得比高阶FIR滤波器更好的幅频特性，可以构造出幅频特性更好的小波滤波器组［4］；另外，使用IIR滤波器可以方便实现对频带划分方式更加灵活的小波变换，克服经典离散小波滤波器组总按1／1频程分析信号的不足。其次应该摒弃经典的Mallat算法，采取没有下抽样环节的离散小波变换算法。文献［5］研究的卷积小波变换快速算法，文献［6-7］研究的非抽样小波变换等均是没有下抽样环节小波变换算法。笔者直接从小波的卷积型定义出发，利用功率互补巴特沃斯滤波器组和零相位滤波原理实现了另外一种没有下抽样环节、具有零相位特性、且频带划分方式更加灵活的巴特沃斯小波变换，并验证了零相位巴特沃斯小波变换在实际故障诊断中的有效性。

1 巴特沃斯小波及其滤波器组的设计

从小波的卷积定义出发，对尺度参数s和时间参数t离散化，得到的离散小波变换的计算公式为

取不同尺度sj的展缩小波ψsj（n）与信号x（n）进行卷积，就可得到信号的各阶小波系数。由于每个展缩小波是一个随尺度增大，中心频率向低频方向移动，频域窗宽减小的带通滤波器，所以小波变换的实质是由展缩小波系｛ψsj（n）｝构成的滤波器组对信号进行多频带分解。又由于｛ψsj（n）｝构成的滤波器组的频率通带是由高至低连续分布的，在实际应用中为减少计算量，小波分解可采用基于滤波器组的递归分解形式实现，如图1所示。实现小波变换的关键是寻找一组截止频率随尺度变化的且功率互补的滤波器组｛Hj（ω），Gj（ω）｝，即满足下列条件的｛Hj（ω），Gj（ω）｝：

｜Hj（ω）｜2＋｜Gj（ω）｜2＝1，且ω＜ωj时，｜Gj（ω）｜2＝0；ω≥ωj时，｜Gj（ω）｜2＝1。

功率互补的巴特沃斯滤波器组设计已有成熟的理论［8］，其与db30小波对频带的划分比较如图2所示。

由图2可知，20阶巴特沃斯小波滤波器组的幅频响应具有更陡峭的频率截止特性，其可以通过改变滤波器组的阶数调整频率截止特性，抑制滤波器组中的频带重叠现象，因此频带分离能力比db30小波好，更适于微弱故障特征的提取；同时巴特沃斯小波还可以根据信号特点灵活选择尺度参数来改变频带划分方式，当尺度参数选为2j／3时，巴特沃斯小波滤波器组对高频段频带的划分比db30小波滤波器组的二进划分更为精细，克服了二进方式划分频带的不足，特别适合于高频段故障特征的提取。

2 零相位巴特沃斯小波变换快速算法

图1是小波分解的递归分解形式，若图1中的滤波器组为巴特沃斯小波滤波器组，则可得巴特沃斯小波变换的快速算法：

式中：Sj（n）为尺度j上的近似信号；Wj（n）为尺度j上的细节信号；hj（n），gj（n）为巴特沃斯小波滤波器组；J为最大分解尺度。递推计算的初值为S0（n）＝x（n）。

由于巴特沃斯滤波器的非线性相位，经巴特沃斯小波变换得到的各级小波分量产生的相移随所处频带不同而不同，给判断各级小波分量中的模极大值点或过零点带来了麻烦；而且即使是同一尺度上的小波分量，由于存在一个带宽，该带宽范围内的不同频率成分也会有不同的相移，从而使小波分量产生一定程度的畸变。对一般的小波变换而言，如果小波函数的形状不是对称的，也会存在这样的问题［9］。解决这一问题的方法是采用零相位滤波。零相位滤波的原理很简单，将一个滤波器H（z）和它的逆滤波器H（z-1）串联就可以形成零相位滤波［10］。为了消除相位延迟对小波分量的影响，利用零相位滤波原理得到的具有零相位巴特沃斯小波变换快速算法为

式中rh（n）、rg（n）分别为hj（n）、gj（n）的自相关函数。

3 巴特沃斯小波与其他小波的频带分离特性比较

用一个故障轴承内圈故障的振动信号（如图3所示）来比较20阶巴特沃斯小波和db30小波对信号的频带分离特性。分别采用20阶巴特沃斯小波（采用零相位滤波快速算法）和db30小波对信号分解至第3层。为便于比较两者的频带分离特性，巴特沃斯小波也采用二进划分的方式进行分解，即尺度参数取为2j。这样巴特沃斯小波和db30小波均得到以下4个频带：W1（理想频率范围：3～6 kHz）、W2（理想频率范围：1.5～3kHz）、W3（理想频率范围：0.75～1.5kHz）和S3（理想频率范围：0～0.75kHz），结果分别如图4和图5所示。

由图可知，db30小波分解得到的相邻频带频率范围均有较大重合，巴特沃斯小波分解得到的各子带频率范围的重叠比db30小波分解得到的各子带要小得多，基本上达到了对频带的理想二进划分，这对微弱故障特征提取是有利的。可见，低阶的巴特沃斯小波频带分离特性明显优于高阶的db系列小波。

图6为采用未进行零相位滤波处理的巴特沃斯小波变换快速算法（见式2）对图3信号进行3层分解的结果。

由图6可知，各频带开始部分有一段值恒为零，且其长度随层数的增加而增加，这表明未进行零相位滤波处理的巴特沃斯小波变换快速算法得到的各频带，均存在较大的相位延迟，且层数越大，相位延迟也越大。由图5可知，采用零相位巴特沃斯小波变换快速算法得到各子带不存在任何相位延迟，因此零相位巴特沃斯小波变换快速算法确实实现了零相位滤波，避免了巴特沃斯小波非线性相位导致的小波分量畸变，可以克服相位延迟给故障特征提取带来的不利影响，较好地解决小波的正交性与对称性不能同时满足的矛盾。

4 巴特沃斯小波在轴承早期故障特征提取中的应用实例

滚动轴承的滚动体既有自转又有公转，并且它的早期故障冲击信号传至传感器的过程中所受的干扰比其他元件多得多，因此滚动体早期故障特征比其他元件更加微弱，提取也更加困难［11］。

笔者就利用滚动轴承滚动体早期故障振动信号来分析比较20阶巴特沃斯小波与db40小波对轴承早期故障特征提取的效果。

实验数据来源于文献［12］中轴承故障模拟实验台，图7为滚动体早期故障的时域振动信号及其频谱，分别用两种小波对该信号进行分解的结果如图8和图9所示。从图中可以看出，巴特沃斯小波分解得到的子带W3中出现了比较清晰的等间隔的冲击特征，其冲击时间发生间隔为8.8ms，即对应于故障特征频率114Hz。

这表明巴特沃斯小波已提取到隐藏在强噪声和其他干扰背景下的滚动体微弱故障特征。但db40小波分解得到的各个子带均没有出现这种现象，这就说明巴特沃斯小波对微弱故障特征的提取能力要强于db40小波。

图10为db40小波分解与巴特沃斯小波分解的各子带的包络谱比较。从图中可以看出，db40小波分解的各子带信号的包络谱中看不见滚动体故障特征频率114Hz的存在，而巴特沃斯小波分解的W3、W4子带信号的包络谱中，可以很清晰的看见滚动体故障特征频率114.3Hz，这进一步说明了巴特沃斯小波对微弱故障特征的提取能力要强于db40小波。

通过以上的滚动体早期故障特征的提取效果比较，可知巴特沃斯小波有非常强的微弱故障特征提取能力，非常适合于机械早期故障诊断。巴特沃斯小波对滚动体早期故障特征的提取效果优于db40小波的原因，除了巴特沃斯小波滤波器拥有优良的频带分离特性外，更主要的是巴特沃斯小波可以根据信号的特点灵活地选择尺度参数来将原信号高频带分解在更精细的频带范围内。在本次故障特征提取效果比较中，db40小波用尺度参数2j进行分解，其分析精度相当于1／1倍频程，而巴特沃斯小波选用尺度参数2j／6进行分解，其分析精度相当于1／6倍频程。对比图8与图9可知，db40对高频频带的分解精度太低，几乎将其全部分解在W1、W2子带中，这样W1、W2子带的包络中必定混入较多的噪声和干扰以致它们包络谱中的滚动体故障特征频率淹没在噪声和干扰中而无法辨识；而巴特沃斯小波将轴承振动信号的高频频带进行了相当高精度的分解，将其分解为W1、W2、W3和W44个频带，这样把含有噪声和干扰较少而含故障冲击信号所调制的高频固有振动信号较多的高频子带W3、W4分离出来，因此W3、W4子带的包络谱中就明显出现滚动体的故障特征频率。

5 结 论

1）设计了基于巴特沃斯数字滤波器的巴特沃斯小波及其滤波器组。该滤波器组可以通过改变其阶数方便地调整其频率截止特性，从而抑制频带重叠现象，还可通过改变尺度参数来改变对信号的频带划分的方式从而将原信号高频带分解在更精细的频带范围，因此巴特沃斯小波克服了通常正交小波幅频特性不好，并且总按二进方式划分频带以致高频带频率分析精度不足的缺陷。

2）提出了零相位巴特沃斯小波快速分解算法，成功消除分解过程中存在相位延迟，克服了非线性相位给故障特征提取带来的不利影响。

3）通过频带分离特性比较实例证实了巴特沃斯小波比其他常用的一些正交小波具有更好的频带分离特性。通过轴承滚动体早期故障特征提取效果的对比分析证明巴特沃斯小波比其他一些常用的正交小波有更强的微弱故障特征提取能力。除了拥有优良的频带分离特性外，更主要的是巴特沃斯小波可以根据信号的特点灵活地选择尺度参数来将原信号分解在更精细的频带范围内，因此，巴特沃斯小波具有更强的微弱特征提取能力，可以广泛应用于机械早期故障诊断。

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Application of Butterworth Wavelet in Bearing Incipient Fault Diagnosis

FENG Changlin1，LUO Rong2，LIU Hui3

（1.Naval Academy of Armament，Beijing 100161，China；2.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；3.Ordnance Repairing Department，Hainan Province Military District，Ding’an 571231，Hainan，China）

The Butterworth wavelet and its filter banks based on Butterworth digital filter were designed.The fast algorithm of the Butterworth wavelet transform was established from the viewpoint of the convolution definition of the wavelet by use of the Butterworth wavelet filter banks and zero-phase filter.The effect of nonlinear phase on the decomposition result was overcome in the fast algorithm.Compared with the other orthogonal wavelets filter banks，Butterworth wavelet filter banks not only have better band separation capability，but also can change band separation mode by means of changing the scale to decompose the signal into the smaller frequency range.As a result，the filter banks overcome the inherent defect that orthogonal wavelets filter banks separate the band only by use of the dyadic mode.The instance analysis to the incipient fault data showed that，compared with the other orthogonal wavelet，the Butterworth wavelet possesses the better band separation characteristics and can extract the weaker fault feature more effectively.Thus the Butterworth wavelet can widely apply to the bearing incipient fault diagnosis.

fault diagnosis；Butterworth wavelet；envelope demodulation；bearing

TH165

A

1673-6524（2014）02-0076-07

2013-08-12；

2013-12-30

冯昌林（1983-），男，博士，工程师，主要从事舰炮弹药武器论证与研究。E-mail：fcl＿325＠126.com