数学复习课“变式教学”的实践与反思

摘 要： 在数学复习课教学中，若能将一个问题或图形从不同的角度进行变换和发散，则可使学生在最近发展区得到发展.变式教学从不同角度，不同层次，不同情形，不同背景展开考虑，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，揭示不同知识间的内在联系，获取课堂效益的最大化，复习方法最优化.

关键词： 数学复习课 变式教学 数学理念 创新意识

能否善于变换问题，既能反映一名教师知识储备量的多少，又能体现一名教师创造能力的高低.善于变换问题，是实现高效教学的一种常用手段，是激发学生问题意识和优化学生思维品质的有效手段.善于变换问题，使学生在问题的跌宕起伏中，不断掀起思维的波澜，荡起思维的涟漪，做到对问题举一反三，触类旁通.

教师在复习课教学中，若能将一个问题或图形从不同的角度进行变换和发散，则可使学生在最近发展区得到发展，思维品质得以优化.数学家波利亚说：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”波利亚的这一思想从理论高度阐述了我们在以传授知识为主的教学转化为培养学生创新能力为核心的教学探索中一直致力研究的“变式教学”思想.

“变式教学”是提高课堂效率的有效途径，是一种行之有效的教学方式，从不同角度，不同层次，不同情形，不同背景展开考虑，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，揭示不同知识间的内在联系，暴露问题本质特征，真正做到“做一题，同一类，会一片、得一法”；把学生从“为解题而解题”的题海误区中解放出来，获取课堂效益的最大化，复习方法最优化.

一、数学概念的变式教学

这里的数学概念主要是指某些字词改动而性质改变，利用变式教学沟通知识的内在联系，促使学生主动建构知识，把分散的知识点串成线，最终形成知识网络.

一字之差，谬以千里.数学语言简洁而精准，也就是说不能随便改动（去掉或增加）句中的关键字、词，否则意义随之就会发生变化.对概念、定理、法则的理解，通常就是透过关键字、词的理解去把握概念的要点，把握定理和法则成立的条件，让学生懂得严谨是做一件事情成功的保障.

[案例1]判断：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例.

[案例2]（人教版《义务教育课程标准实验教科书.数学》八年级上册第27叶第12题）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.

变式1：如果两个三角形有两条边和其中一边上的角平分线对应相等，那么这两个三角形全等.

变式2：判断：有两条边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等吗？若全等，说明理由；若不全等，举出反例.

[设计意图]例1由“边”到“角”只是一个字的变动，而命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”就不一定成立了，如矩形虽满足四个角都相等，有一个外接圆，但不是正方形.

例2的变式1、变式2将原题中的“中线”分别改为“角平分线”和“高线”，前者成立，而后者不一定成立.比如，当一个锐角三角形和一个钝角三角形有两条边和其中一边上的高线对应相等时，就不全等，如图所示.

这对有些审题马虎的学生将是一道“坎”.

在教学中通过原题和变式精心设计一些有坡度、有联系的题组，通过“使一题多用，多题重组”揭示不同知识点间的内在联系.

[案例3]人教版，八年级下册P128活动3：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.它是什么图形？

变式1：依次连接矩形各边中点所得的中点四边形是什么图形？为什么？

变式2：依次连接菱形各边中点所得的中点四边形是什么图形？为什么？

变式3：依次连接正方形各边中点所得的中点四边形是什么图形？为什么？

变式4：若依次连接四边形各边中点所得的中点四边形是菱形，那么该四边形应满足什么条件？

变式5：若依次连接什么四边形各边中点所得的中点四边形是矩形，那么该四边形应满足什么条件？

变式6：若依次连接什么四边形各边中点所得的中点四边形是正方形，那么该四边形应满足什么条件？

[设计意图]通过这样一系列的变式训练，学生能充分掌握四边形所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线等，使学生归纳出：连接四边形各边中点所得到的四边形的形状与原四边形的对角线有关.

二、课本例题和习题的变式教学

在复习课教学中，梳理知识是十分必要的，而数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题和习题之中.要根据教学目标重视对课本例题和习题的“改装”或引申，精心设计例题和变式题组（变式题最好以教材为源，以学生为本，体现“源于课本，高于课本”，最大可能地覆盖知识点）.

[案例4]八上数学（人教版）三角形单元复习中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定方法的运用，设计如下变式教学：

例题：如图（1），△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD.

变式3：如图（3），C是AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证：△ACD≌△CBE.（习题13.2中的复习巩固）

变式4：如图（4），B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠A=∠D.（习题13.2中的综合运用）

变式5：如图（4），B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：△ABC≌△DEF.

[设计意图]本题为开放题，变式3、4中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单推理而得到，难度适当增强；变式5要求学生从条件入手，推导出两个三角形全等的三个条件，对学生是否掌握全等判定方法的要求更高.通过以上梯度层次化的变式训练，让学生通过模仿不仅掌握全等的判定方法，同时还让学生逐步掌握几何说理的基本方法，对学生的逻辑思维能力的培养有着更普遍的意义.

三、增强学生创新意识的变式教学

对例习题的变式不应只是教师的“专利”，在变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”.教师须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能进行变式的，教师绝不包办代替.一开始学生变式题目有困难，教师应进行点拨与启发，调动学生学习的积极性，培养学生的创新意识和创新精神.

[案例5]人教版，八年级上册P58页第11题：如图，A，B，C在同一直线上，以AB，AC为边作等边△ABD与等边△BCE，连接CD，AE，则CD=AE，请说明理由.

分析：本题考查学生对等边三角形的性质与全等三角形知识点的掌握情况，是基础类习题.在复习中，引导学生复习完等边三角形的性质后出示本题，布置变式作业：学生以组为单位，从学习资料中寻找与原题相关的习题，要求：①找到的变式题应包含等边三角形与全等三角形两个知识点；②图形中包含两个等边三角形（可以通过平移、选择、轴对称等多种变换得到）；③本组找到的变式题应先完成解答，明确解答中可能出现的问题，在讲解分析时能给予其他组同学指导.

第二天数学课上，各组学生出示变式题如下：

变式1：如图1，以△ABC的边AB，AC为边向三角形外作等边△ABE与等边△ACD，连接BD，CE，则BD=CE，请说明理由.

变式2：如图2所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，试说明：AE=CD.

变式3：如图3（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由.（2）试说明AE∥BC的理由.

（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形EDC，请问是否仍有AE∥BC？说明你的理由.

变式4：如图4，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8，求PQ的长.

（3）拓展结论，设计新题.

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.

[评析]由于原题对应的变式题组是在教师指导下由学生合作探究编拟完成的，且要求明确、题型多变，然后由教师把同类型的题目按照一定层次、坡度化展现给学生，课堂上学生以组为单位设计的变式题分组展示后让其他组同学解答，再由命题的组员代表进行评价与分析讲解，为学生提供相互展示、相互学习的机会，促进了全体学生积极主动全面地参与教学全过程.而对于学生解答中问题反馈多且有一定难度的变式5，教师和命题组代表合作把题中学生思路受阻处讲解清楚，让学生内化老师的讲解.在实际教学过程中，学生人人参与动脑、动手，学习热情高涨，课堂教学反馈质量较高.

四、数学复习课中“变式教学”的反思

1.多重交互，有效引领.

一般地，教师（学生参与）在复习课设计变式题时，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”，应注意把握以下几方面：①要在原例习题的基础上进行，要自然流畅，不能“拉郎配”；②要有利于学生通过变式题的解答，加深对所学知识的理解和掌握；③变式题组要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”；④题目的数量要有“度”；⑤变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感熟悉，又觉新鲜；⑥所选范例必须具有典型性.把学生自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用引入教学过程，克服思维和心理定势，不断提高解决新问题的能力.

2.用好教材，适度拓展.

变式教学不是为了“变式”而变式：①要根据教学目标或学习需要，切忌随意性和盲目性，复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲.②应立足于学生实际，遵循学生的认知规律设计数学变式，距离太远，学生会“断了念头”；距离太近，又吊不起学生“胃口”，其目的是教师通过富有层次性、探究性的问题，让学生真正能“跳起来摘到桃子吃”.③变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，根据实际需要抓住“思维训练”这条主线进行变式，恰当地变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法，通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性.

数学教师不仅要成为解题的能手，而且要成为变题的巧手.在复习课中教师在加强对课本例、习题和中考数学试题研究的基础上，立足“三基”，力求变化，以变式题组形成问题链，为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间，促进学生学习的内化的机会，达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果.学生获得的不仅是数学知识、基本技能、解决问题的策略、方式方法，而且体验到数学活动充满探索与创造的活力，增强了学生对数学美的主观感受能力，发展了学力.

参考文献：

[1]夏飞.谈谈变式训练的设题方法[J].中国数学教育（初中版），2011（7/8）：57-59.

[2]武岿.数学教学中变式教学的理论探索[J].内蒙古电大学刊，2006（8）.

[3]谢景力.数学变式教学的认识与实践研究[M].长沙：湖南师范大学出版社，2006.

[4]刘家良.中考解题教学中问题变换方法的类别研究[J].中国数学教育（初中版），2013（4）：36-39.