关于方程的根的一些讨论

摘 要： 本文利用闭区间上函数的连续性定理和微分中值定理对方程根的相关问题进行了讨论.

关键词： 方程 根 零点定理 罗尔定理

利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点是比较常见的应用.通常是先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数，罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性.下面将对方程根的存在性、唯一性，以及根的个数分别进行详细讨论.

一、关于方程根的存在性及范围的讨论

问题模型：证明方程f（x）=0在区间（a，b）内存在实根.

解决方法：

二、关于方程根的唯一性的讨论

问题模型：证明方程f（x）=0存在（或在区间（a，b）内存在）唯一实根.

解决方法：先利用零点定理（或罗尔定理）证明方程f（x）=0至少有一个实根；再利用函数的单调性（或用反证法，由罗尔定理导出矛盾）证明方程f（x）=0最多有一个实根.

例3：证明方程xlnx=1在区间（1，e）内有唯一的实根.

证：设函数f（x）=xlnx-1，则f（x）在[1，e]上连续，且f（1）=-1<0，f（e）=e-1>0，由零点定理可知，至少存在一个点ξ∈（1，e），使f（ξ）=0，即方程xlnx=1在区间（1，e）内至少有一实根.

三、关于方程根的个数的讨论

问题模型：讨论方程f（x）=0的根的个数.

解决方法：首先求出函数f（x）的驻点和一阶导数不存在的点，用这些点将f（x）的定义域划分为若干单调增减区间；然后求出f（x）的极值（或最值）；再分析函数的极值（或最值）与轴的位置关系，并借助极限分析函数的变化趋势；最后结合零点定理和函数的单调性可求出函数f（x）的根的个数及各根所在区间.

参考文献：

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