古典概型和几何概型

古典概型和几何概型都是一种特殊的随机事件概率模型，是高考常考的知识点. 试题往往立足于课本，与实际生活相结合，考查学生解决实际问题的能力. 在全国各省的高考卷中，几何概型常以填空题或选择题的形式出现；古典概型常以解答题的形式出现，理科绝大多数与排列组合、分布列、期望、方差等一起考查.

[重点难点]

重点：明确古典概型的等可能性和有限性；明确几何概型的等可能性和无限性. 重点是会灵活应用古典概型和几何概型的概率计算公式.特别是古典概型中，文科学生只需掌握用列举法求解概率，理科学生更应掌握用排列组合、独立重复事件、二项分布、对立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率.

难点：要会区分问题是古典概型或几何概型；慎重对待基本事件的等可能性，注意要恰当的分类，并做到dY0gAdBQnSVToXkBOFk8a5P3amrzNbT53xXBIf6xnnM=试验包含的基本事件不重不漏；选择合适方法和测度解决古典概率问题，特别要分清问题是“放回”还是“不放回”，是“有序”还是“无序”.

[方法突破]

1.古典概型和几何概型共有的一般性质

（1）非负性：0≤P（A）≤1（其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0）. 特别地，若随机事件所在的区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为0，则其概率为0，但它不是不可能事件；若随机事件所在区域是全部扣除一个单点，则其出现的概率为1，但它不是必然事件.

（2）可加性：若事件A、B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），能推广到n个事件.

（3）P（）=1-P（A）（其中与A为对立事件）.

（4）可乘性：若事件A、B相互独立，则P（AB）=P（A）·P（B），能推广到n个事件.

2. 几何概型

几何概型是把每个基本事件理解为从某个特定的可度量的几何区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样，即点在区域D中是均匀分布的.随机事件发生的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的度量有关，即随机事件A的发生则可理解为恰好取到区域D的子区域d内的点，从而得到事件A的概率为P（A）=，其中D的测度不能为零.测度可以是一维图形的长度、二维图形的面积和三维图形的体积.

几何概型问题的处理关键是找准试验所对应的图形，准确把握所求条件所对应的图形区域和测度. 其中区域D有两类情况：

（1）具有明显的几何意义，随机事件A所在的几何区域也明确.

（2）所对应的几何区域没有直接给出，找出它们是解决这类问题的关键，具体步骤如下：①根据题设引入适当变量；②利用所引用的变量，把题设中的有关条件转换成变量所满足的代数条件；③根据所得到的条件画出相应的几何区域.这种转化与化归思想，也是高考重点考查的思想方法之一.

3. 古典概型

古典概型是指试验所有可能出现的基本事件是有限的和等可能的.解决古典概型问题的关键是要分清试验包含的所有基本事件个数n和随机事件A包含的基本事件个数m. 对于问题中所涉及的知识比较简单的、实验结果比较少的，可用树形图、列表法等列举的方法一一列出求m，n；对于试验结果比较多的，可用排列组合的方法求m，n；对于符合独立重复试验、二项分布等的问题，直接用相关知识求m，n；会用对立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式进行概率求解.