平面向量的概念与平面向量基本定理

平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式和几何形式的“双重性”，是高中数学的重要内容.有关平面向量的概念与平面向量的基本定理的试题是高考的“常青树”，它以题目形式类型灵活多样、解法精妙在向量中有着重要地位，但是许多同学由于对这类题“不懂章法”，陷入思维混乱的状态，兜了一大圈子仍空手而归. 本文通过对平面向量的有关概念、加减法的几何意义、线性运算、平面向量基本定理的认识和理解，把相关内容进行归纳整理，希望同学们面对向量问题能做到有的放矢，化解自如.

重点难点

重点：①平面向量的概念；②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则，运算律及其性质；③向量数乘的定义及其运算律；④平面向量基本定理的内4fe3d76fec22f0a0507a3bbf877b71de容及其应用.

难点：①用平面向量共线定理来解决三点共线和两直线平行的问题；②利用平面向量基本定理对一个向量的分解及其表示.

方法突破

1. 饮水思源——运算律法

向量加、减法的运算法则在形式上与实数的加、减法的运算法则相同. 因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项的变形手段在平面向量的线性运算中仍然有效.

2. 借石攻玉——几何意义法

数缺形时少直观，形少数时难入微. 在求解平面向量的线性运算过程中要善于把握“向量几何意义”这一利器，注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则适用的条件：运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

3. 中间桥梁——待定系数法

有关向量共线或三点共线的问题，常利用向量共线定理（向量b与非零向量a共线的充要条件是“有且只有一个实数λ使b=λa”）得到关于相关参数的方程组，通过待定系数这一桥梁，使得这类难题变得平凡. 注意：向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别. 直线平行不包括共线（即重合）的情况，而向量平行则包括共线（重合）的情况.

4. 移花接木——平面向量基本定理

平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过向量的运算来证明. 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.

备考建议

1. 明“概念”：平面向量的概念要理解透彻. 如：

（1）向量是既有大小又有方向的一种量，对任意两个向量只能判断它们是否相等，不能比较它们的大小.

（2）共线向量就是平行向量，这里“共线”不同于平面几何中的“共线”.正确理解共线向量的定义就领会了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.

（3）长度为0的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的，这点在解题中要注意. 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.

2. 思“图形”： 要从几何上理解向量的运算，特别是向量的减法运算，其实质上是加法的逆运算，结果仍为一个向量. 用三角形法则做向量的加法运算时，记住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”.

3. 懂“区别”：要把握好向量的运算法则，如线性运算法则等，搞清楚这些运算法则和实数运算法则的区别. 两个向量的线性运算的结果仍为一个向量，而向量的数量积的结果为一个数.

4. 破“定理”：明确有关平面向量共线定理与基本定理的内容，掌握常规题型的解题方法与技巧.