例谈小学高段数学优化问题教学

数学优化问题，是指在解决问题时面对多种可行的策略、方案或答案，教师要引导学生从中寻找一种最佳的策略、方案或答案。在数学教学活动中，解决数学问题的方法可能很容易找到，且很多时候不止一种，关键要引导学生从中寻找一种最好的解决方法，以达到“事半功倍”的良好效果。下面笔者结合教学实例，来谈谈小学高段数学优化问题的教学。

一、数学优化问题的价值与教材编排

通过数学优化问题的教学，教师可以培养学生的优化意识，从而提高解决实际问题的效能。

在人教版实验教材的编排中，数学优化问题作为专题学习内容，主要有小学低段二年级上册“简单的排列——两位数”、三年级上册“简单的排列——三位数”以及“简单的组合”，小学高段安排了三个典型的活动材料对优化问题进行了充分的学习探究，具体内容如下：

二、现阶段数学优化问题教学中存在的问题

数学优化问题的教学，是以数学知识为载体，引导学生对优化问题进行认知和探索，体验解决问题的优化策略，培养在多种方案中寻找最佳方案的意识。但是在实际教学中，教师往往把它当成一个普通的数学知识点进行教学，以学生掌握知识、解决数学问题为目的，忽视了学生优化意识的培养和优化能力的发展。

下面笔者就高段教材中的三个数学优化专题教学中存在的问题进行探讨。

烙饼问题：为什么烙饼（两张以上）的次数总等于饼的个数？

教学“烙饼问题”时，教师先出示烙饼的方法情境：烙饼的锅一次只能放两个饼，两面都要烙，每面3分钟。于是在烙一个饼和两个饼时，学生能很快说出烙饼的时间（都是6分钟）。但是在烙三个饼时出现了分歧，有的说要12分钟（先烙两个，再烙一个），有的说只要9分钟（先烙1号饼和3号饼的正面，再烙2号饼和3号饼的反面，最后烙2号饼正面和1号饼的反面），然后通过演示和比较，学生认识到后者更优化、更节约时间，教师也只引导启发：烙饼锅一次可烙两个，若只烙一个就浪费时间，要尽量每次烙两个。

进而讨论烙4个、5个…10个，学生始终停留在“尽量每次烙两个就不浪费时间” 上进行探究，虽然能找到烙的方法：如果是双数个饼就两个两个烙，如果是单数个饼就先两个两个烙，最后三个按前面优化的方法烙；也发现了烙饼的次数等于（两个以上）饼的个数。虽然这样的数学问题看似能解决了，那么，为什么烙（两个以上）饼的次数总等于饼的个数呢？

打电话问题：“打电话” 问题的教学重点是为了找到规律吗？

教学“打电话”一课时，教师先让学生围绕着“分组方案”进行不同的设计，在对学生提出的“分成3组、4组和5组”的观点进行逐一否定后，教师引导：要想时间最少，那么应让每个通知到的人都不空闲（参与打电话）。于是在图直观演示这种打电话方式的基础上重点总结出了下面的规律，见下表。

在接下去的时间里，教师针对表格进行大量的分析，甚至总结了计算公式：第n分钟新接到通知人数=2n-1；n分钟所有接到通知的队员和老师总人数=2n；n分钟所有接到通知的队员数=2n-1。然后根据这样的规律和公式，解决打电话的问题就简单了。

试问：“打电话” 问题的教学重点和目的是为了找到这样的规律吗？

找次品问题：“找次品”就意味着每次对物品尽可能平均地分成三份吗？

在“找次品”教学中，例1用天平通过对5件物品中1件次品的寻找，知道寻找策略的多样性，然后通过例2对9件物品中1件次品的寻找，明白要把待测物品平均分成三份，进而发展到对不是3的倍数个数待测物品的研究。让学生发现找次品的最佳策略：尽可能地把待测物品平均分成三份（如27—9、9、9）；不能平均分的每份相差也最多是1个（如8—3、3、2），这样找到其中1件次品的称量次数最少，见下表。

因为把待测物品尽可能平均分成三份，进而教师又引导学生有这样的发现：

当待测物品总数是：

2～3个（31以下）——1次

4～9个（31以上～32）——2次

10～27个（32以上～33）——3次

……以此类推。

那么，为什么要把待测物品这样分呢？“找次品”就意味着每次对物品尽可能平均地分成三份吗？

三、数学优化问题教学要重视引导学生对优化策略的深层探究

（一）数学优化问题教学，应重视深层问题的优化认识

数学优化问题的教学，不应只停留在对知识本身表面的认识，应当认识到这样的优化可以延伸到更深层次的问题。比如在“烙饼问题”教学中，教师不仅要解决烙3个、4个、5个…10个甚至更多饼烙的优化方法，而且要认识到为什么烙饼（两个以上）的次数总等于饼的个数，教师不妨可以用这样的图来表示——

3个饼： 于是，n个饼就有：

（注：线上的表示烙第一次，线下的表示烙第二次）

可见，按照这样的烙法，把第一个饼的第二面空着，总存在这样一个饼——它的第二面与第一个饼的第二面可以同时烙最后一次，也就意味着有几个饼（不少于两个）就可以烙几次。因此，如果一次能烙两个饼，每个饼烙两面，始终有这样的优化方法存在，因为锅子可以同时烙两个饼而每个饼正好都是两面烙。但是，如果锅子一次能烙三个饼或四个饼，情况就不一样了。那么每次可以烙三个饼或四个饼，优化的方法与之前又有什么联系呢？

一次烙三个饼：

一次烙四个饼：

可见，一次烙三个饼，烙饼的个数必须是3的倍数才能达到最优化；一次烙四个饼只要保证饼的个数是大于2的偶数就能达到最优化。

以知识为载体，需要去挖掘更多方面的、更深层次的认识，才能使同一类优化的思维方式、思想方法和优化意识得到形成和发展。

（二）数学优化问题教学，应关注优化结果的形成过程

教学数学优化问题的关键是让学生在思维方式、思想方法和优化意识上得到发展，因此教师的优化问题教学不仅是通过优化过程寻找优化的方法和策略，更应关注通过优化策略的寻找，体验优化的过程。

在“打电话”教学中，教师对于学生提出的分组（3组、4组或5组等）通知方法的否定，不应建立在“还有其他方法使通知时间更少”，而要让学生充分参与探究体验的过程，在参与过程中自主领悟“策略不够优化”的原因——有的队员没有参与打电话，因此，要使打电话通知的策略最优化，必须将接到通知的人都发动起来。基于这样的认识，让学生主动探究“第1分钟、第2分钟、第3分钟…第7分钟”接到通知的人数，教师并不一定要学生牢记有一个规律或公式可以解决这个问题，而要让学生体验参与过程，从中获得感悟、启发和意识——人人参与总能使下一分钟通知到的人数在前一分钟基础上增加1倍，同时在遇到这类情况时，学生解决起来比较快捷。

比如，“发作业本”的情况就比较类似，全班有48名学生，教师如何在最短的时间里把作业本下发到每个学生呢？不妨采用这样的办法让尽可能多的学生参与，见下图。

其中加“。”的表示留给自己的本子数。

可以发现，这样的优化方法只要四五次就能把本子发给每个学生。而实际操作时，教师不可能一边数一边发，这时，教师就可以尽可能掐出一半本子分给别人就可以了。如果学生能在活动中体验到这样的思维方式和意识，那么优化问题教学效果就能在教材知识点以外的其他方面得以施展了。

（三）数学优化问题教学，应突出优化策略背后的原因分析

很多时候，教师和学生往往都只关心“可以怎样优化”，而不去思考“为什么可以这样优化”“优化的根本原因是什么”。事实上，只有把握优化策略背后的根本原因，才能使这样的优化策略研究得更透彻、掌握得更牢固、运用得更广泛。

在“找次品”教学中，到底为什么要把待测物品尽量平均地分成三份呢？——作为教师，要HknkuNcM2n7vB9bOOiMIemDBRCwPtDmQDXs4eoq2oCs=把学生引导到这样的领域去思考，才能有最根本的收获。实际上，“把待测物品尽可能平均分成三份”——这是由天平决定的，因为天平有两个托盘，一次能同时比较两份，于是教师就可以去判断第三份（再加上“次品是唯一的”），这是“物尽所用”而不是“人尽所能”。同时次品在哪一份中又是不明确的，为了公平起见应当三份尽可能分得平均。

丰富的数学知识，要为学生思维方式的发生、发展服务。数学优化问题作为良好的载体平台，教学中教师应当引导学生重视深层问题的优化认识，关注优化策略（结果）的形成过程，突出优化策略背后的原因分析。“优化”是一种思想、一种意识，这种思想、意识的价值不仅仅体现在解决现在的数学问题上，更体现在一个人以后的学习、工作和生活中。

（浙江省嘉兴市海盐县石泉小学 314307）