让学生经历数学化的思考过程

【教学内容】人教版四年级下册第117～119页“植树问题”。

【设计思考】

本节课以学生的操作体验为本，在自主探索活动中经历数学化的过程。通过简单的20米长的路旁植树，迁移到200米、2000米的植树，在这一过程中探索用线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，建立植树问题的数学模型，突显“数形结合”思想，回归思维原点，积累数学活动经验，感悟化繁为简、一一对应思想，再用发现的规律和研究策略解决实际问题，从而培养学生的观察比较能力、分析概括能力及语言表达能力。本节课以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化、数学生活化的全过程，从中感悟数学思想，获得问题解决的策略和方法。

【教学目标】

1.借助探索发现段数与植树棵数之间的关系和变化规律，初步建立植树问题的数学模型。

2.经历探索植树问题规律的过程，突显“数形结合”思想，回归思维的原点，积累数学活动经验。感悟化繁为简、一一对应等数学思想方法。

3.能运用规律和研究策略解决生活中的相关实际问题，感受数学在生活中的广泛应用，体会学习数学的价值。

【教学过程】

一、生活感知，提出问题

师：今天我们来研究植树问题。你们种过树吗？怎么种的？

师：看来大家对种树已经有了一定的经验。在一条公路上，有这样两种植树情况（见下图），你喜欢哪一种？为什么？

师：大家都喜欢排列整齐、美观的第二种种植方法，那你发现第二种有什么特点？

生：距离相等。

师：你们有发现吗？谁能到上面指一指？

师：每2棵树之间的距离，也叫“间距”，间距相等看起来就很整齐。距离相等不仅美观，而且有利于树木的成长。这节课专门来研究距离相等的植树问题。

（设计意图：教学基于学生的认知起点展开，为了充分暴露学生的原有认知，教师一开始就将生活情境抛给了学生：你们种过树吗？怎么种的？结合学生的生活情境展开探究，通过对同一条公路的两种不同种法展开讨论，不仅充分展现了学生的原认知，而且明确了等距离植树的学习要求，为教学的后续展开奠定了扎实的基础。）

二、借助示意图，探求规律

1. 模拟种树实验。

师：现在我们一起来种一种树。假如这是一条20米长的小路，现在路的一旁种树，要求间距相等，你打算怎样种？

师：在种树之前，先请你想一想，种树时你要考虑哪些因素？

生： 间距要相等。

生：每隔几米种一棵。

生：有可能两端都种，也有可能只种一端，或者两端都不种。

师：今天我们就研究两端都种的情况。

2.自主操作探索。

学生根据教师提供的材料自主地种植，呈现了不同间距的情况。

3.反馈。（根据间隔不同有序呈现）

生：我是每隔10米种1棵，共种3棵。

生：我是每隔5米种1棵，共种5棵。

生：我是每隔4米种1棵，共种6棵。

生： 我是每隔2米种1棵，共种11棵。

生： 我种的树多，排不下，就用一条、一条来代替。我是每隔1米种1棵，共种21棵。

师：这是一个很好的方法，我们画树比较麻烦，可以通过画线段的方法来表示，这样的图示，我们称为线段图。

4.合作探究。

师：仔细观察这些植树情况，发现了什么？

生：有的棵数多，有的棵数少。

师：同样是20米长的马路，种的棵数为什么有多有少呢？

生：间距长、棵数少；间距短、棵数多。

师：是啊，当全长一定时，棵数的多少与间距的长短有关。

师：对这些种法你有什么建议？

生：有些种得很多很密，不利于生长，有些种得很疏很少，有些浪费。

师：我们在种树时要考虑到环境的具体情况、树木生长的规律，然后再作出相应的选择。那间距、段数、棵数之间还存在着怎样的关系？同桌互相交流一下。

生：全长÷间距+1=棵数。

师（追问）：真是这样吗？选择一个种法验证一下。

生：我验证的是每隔5米种1棵，种了5棵树。20÷5=4，4+1=5（棵）。

师：为什么要先求20÷5？求得的又是什么？

师：这就是求“段数”的方法，段数都可以用“全长÷间距”得到吗？

进一步引导观察段数与棵数的关系。

师：段数可以用“全长÷间距”来计算，那段数和棵数又有什么联系呢？

生发现依次加1得到棵数。追问：为什么要加1？你是怎么想的？你能指着图来说明吗？

师：其实他的意思就是一段对应一棵，4段对应4棵，最后还要种一棵，所以要加1。

5.学习回顾：我们刚才是怎样学习的？

我们通过画一画、数一数、比一比，从这些图中发现了“全长÷间距+1=棵数”，也理解了段数与间距、棵数与段数的关系。

（设计意图：这部分的教学主要包括合作交流、动手操作、比较探究、寻求规律、总结学法几个环节。学生通过画一画、比一比、找一找参与了探究的全部过程，数形结合，渗透对应思想，积累了数学的基本活动经验。通过对这些图示的观察，用类比的方法沟通了间距与段数、段数与棵数之间的联系，从而真正理解了数量之间的关系。）

三、拓展深化，渗透思想

师：现在你能用刚才发现的规律，解决更长公路上的植树问题吗？

（1）在全长200米的公路一边植树（两端都种）。

（2）在全长2000米的公路一边植树（两端都种）。

（3）在全长20000米的公路一边植树（两端都种）。

每隔10米种一棵，分别种了多少棵？

请每人选择一种情况进行研究并汇报。

1.汇报交流，引导发现规律。

师：说说你是怎么想的，用什么方法解决的。

生：200÷10+1=21（棵）。

生：2000÷10+1=201（棵）。

生：20000÷10+1=2001（棵）。

师（追问）：为什么大家也是用“全长÷间距+1=棵数”的方法来解决呢？我们从20米长的小路种植中发现的规律在200米、2000米、甚至20000米的道路上是不是也适用呢？

生：我是这样想的，我能用图来说吗？这里的一点（一棵树）与一段是一对，这样一对一对，最后还剩下一棵树，所以要加1。

师：听懂他的意思了吗？谁能再来说一说？

师：是啊，这样的对应我们称为一一对应，前面的一棵棵树都与一段段对应起来了，最后还剩一棵树，可见棵数=段数+1，也就是全长÷间距+1=棵数，在任意长的马路上植树都正确的，要注意哦，是两端都要种的情况。

2.小结：在解决较长道路上的植树问题时，运用已建立的棵数与段数的对应关系，就能很好地解决两端都种的植树问题了。像这样研究数学问题的过程，对你们今后学习有什么启发？

生：可以用画图解决问题。

生：从小的数入手去研究确实会比较方便。

生：借助图真正理解数量之间的关系，再大的数据都能用一样的方法解决。

（设计意图：20米路上的植树问题是通过画示意图寻找到规律的，那么在解决较长路时，还需要去画图吗？显然不能用了。当学生真正理解段数与棵数的对应关系时，看到段数就会想到相对应的棵数，在头脑中已经建立起一一对应的思想。新课结束后教师进行学法指导非常有必要，使学生感悟到以后学习遇到困难时，可以用画图寻找规律，从小数入手寻求解决方法比较简单。很好地呈现了此类数学问题探究的范式，展现了一个科学的数学探究历程，对学生学习方法和学习能力的提升具有非常重要的意义。）

3.举例：学习使同学们收获很多，在日常生活中还看到过类似的植树问题吗？学生纷纷举出安装路灯、花坛摆花、排队等情况。

（设计意图： “植树问题”渗透着数学思想方法，在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、挂气球等等，其中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。前期的学习都是围绕植树展开，容易让学生形成思维定势，认为植树问题只在植树中适用。因此在模型建立后，教师要适时打破学生这一认知，将此模型应用于其他情境，既让学生体会到植树问题和生活的联系，感受到数学的实际应用价值，更是让学生对植树问题的本质有了进一步的认识。）

四、实际应用，拓展提升

1.选一选。

（1）为迎接社区活动，要在小区大门口挂灯笼（两端都挂），全长30米，每隔5米挂一个，需要多少个灯笼？

① 30÷5=6（个）； ② 30÷5+1=7（个）；

③ 30÷5-1=5（个）。

师（引导）：可以看作植树问题吗？你是怎么想的？

原来可以把灯笼看作树，间距就是5米，求需要几个灯笼就是在求棵数。

（2）在一条全长500米的街道两旁安装路灯（两端都安装），每隔20米安装一座，一共要安装多少座路灯？正确列式为（ ）；把什么看作了树？

① 500÷20 ；②500÷20+1；③（500÷20+1）×2。

（设计意图：构建植树问题与生活同类问题的联系，建立“树”“间隔”的模型。）

2.题组练习。

校运动会开幕式，402班有25名同学参加彩旗队，排成一列整齐的队形。

（1）如果每两人之间的距离都是1米，这列队伍长多少米？

（2）现在要在每两人之间放1盆花，一共能放多少盆花？

师（引导）：说说你是怎么想的：根据间距怎样求队伍的长？两人中间放花与什么有关？

（设计意图：有效的练习设计，让学生独立思考作业，有利于学生认知的及时巩固和发展。这里安排了两个层次的练习：第一层次“选一选”把植树问题与生活相联系，巩固了知识；第二层次以题组形式出现，同一情境设计了2个阶梯型的问题，帮助学生分散难点，理解求段数和全长的方法。）

五、举例引申，引发思考

师：今天我们主要研究了植树问题中两端都种的情况，但在实际生活中还会出现其他情况。

铺垫孕伏：这些都是生活中的植树问题，有些只种一端，有些两端都不种。这时，棵数、间距与全长会有什么关系呢？下节课将进一步研究。

（设计意图：在全课快要结束时，伴随着轻松欢快的音乐声，欣赏着生活中的数学问题，突破了学生现有的认知，为后续进一步学习其他情况的植树问题做好铺垫。）

【课后反思】

“植树问题”是人教版四年级下册数学广角的内容，修订版把这一内容调整到五年级上册。数学思想方法是数学的灵魂，让学生在寻求解决植树问题的策略和方法过程中，培养学生解决实际问题的实践经验和能力，并感受到一些数学思想方法。通过经历猜想、实验、推理等数学探究的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。在这节课中，主要体现这样几个特点：

一、关注学生的认知起点，体现教学的有效性

教学要体现有效，教师最先要思考的是学生的知识起点在哪里，只有了解了学生的知识起点，才能制定具体的策略方法来有效地引导他们。经过对学生知识起点的调查，结果如下：①学生对生活中的种树现象有一定的认识，有些亲自参加过植树，有些在很多地方看到过别人植树。②低年级学生已经初步感知过植树问题，有些学生已经知道数量关系式，但不能用一一对应的思想去理解棵数为什么加1或减1。基于这样的认知基础，笔者让学生对“植树”这个生活情境展开探究，不仅充分展现了学生的原认知，而且明确了等距离植树的学习要求，为教学的后续展开奠定了扎实的基础。

二、动手操作、自主探索，积累数学活动经验，让学生获得成功的体验

在课的开始，设计了给学生一条总长是20米的路让学生动手“植树”的环节，这样可以充分调动学生手、脑、口等多种感官参与到数学学习活动中来，更大程度地提高学生参与学习的效度。学生在分组合作模拟植树活动中寻找规律的时候表现得很轻松。这样的活动方式不仅是充分展示学生个性思维和了解学生原有生活经验的难得平台，而且学生在活动中建立了植树问题的模型，为学生后面的学习做好直观的铺垫。

三、利用几何直观，引导学生概括数学规律，培养学生借助图形解决问题的意识

几何直观可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在教学中，让学生利用直观手段揭示种树棵数和段数之间内在的对应关系，帮助学生发现规律，建立数学模型，真正明白“种树棵数比间隔数多1”“种树棵数等于间隔数”和“种树棵数比间隔数少1”的道理，沟通了三者的联系，有利于学生从整体上理解、把握解决植树问题的思想方法。

四、关注植树问题模型的拓展和应用，注重反映数学与生活的密切联系

植树问题的模型源于现实，又高于生活，在现实中有着广泛的应用价值。所以我们要引导学生把与数学有关的知识引入数学学习，抽象提炼出数学模型。为了让学生理解这一建模的意义，加强模型应用功能的练习，在学生已经自主地寻找到植树的规律后，笔者适时提出在生活中有没有类似植树的情况，通过学生的举例，让他们进一步体会现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决，从而感悟数学建模的重要意义。让学生运用所学的数学知识解决生活中的问题，使学生体会到数学的价值与魅力。

（浙江省宁波市海曙中心小学 315000

浙江省宁波市海曙区教育局教研室 315000）