弥补教材缺陷 实现教学“有序”

古希腊著名哲学家亚里士多德指出：“有序和对称是美的重要因素，而这两点都能在数学中找到。”

“有序”是什么？有序就是考虑问题、处理事情时，必须遵循一定的顺序。遵循这种顺序，能使思维有条不紊，操作井然有序，也便于找到解决问题的规律。

在数学中最讲究有序。例如，当学生学习数数（shǔshù）时，要数完100以内的所有非零自然数，总是以1开始，按照1、2、3、4、5……的顺序，从小到大地往下数，直到100。而不会“5、8、3、9、4……”地乱数。

再如，在线段A1A6上，设置了A2、A3、A4、A5四个内点，要求你数一数，共有多少条线段？

A2 A3 A4 A5

A1 A6

这时，可以用下列两种办法：

（1）先数以A1为左端点的线段，有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、A1A6共计5条；再数以A2为左端点的线段，有A2A3、A2A4、A2A5、A2A6共计4条；接下来，以A3为左端点的线段共计3条；以A4为左端点的线段共计2条；而以A5为左端点的线段只有A5A6这1条。所以总共有线段5+4+3+2+1=15（条）。

（2）把A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6这些以相邻两点为端点的线段称为“基本线段”，这些基本线段共有5条；再数由相邻两条基本线段组成的“二阶线段”，共有4条；由相邻三条基本线段组成的“三阶线段”共计3条；由相邻四条基本线段组成的“四阶线段”共计2条；而由相邻五条基本线段组成的“五阶线段”只有A1A6这1条。于是线段的总条数仍是5+4+3+2+1=15（条）。

在学习了“三角形任意两边之和必大于第三边”的性质后，如果教师给出了如下题目：“用长度分别为2、3、4、5、6、7厘米的小棒，一共能摆成多少个不同形状的三角形？”这也难不倒学会了有序思考的学生，他们会按照由小到大的顺序来试摆。

（1）“2”打头的：（2、3、4）2、3、5，2、3、6，2、3、7，（2、4、5）2、4、6，2、4、7，（2、5、6）2、5、7，（2、6、7）

其中，括号内的表示能摆成三角形的三根小棒长度的厘米数，而下面添了横线的则表示不能摆成三角形的三根小棒长度的厘米数。

（2）“3”打头的：（3、4、5）（3、4、6）3、4、7，（3、5、6）（3、5、7）（3、6、7）

（3）“4”打头的：（4、5、6）（4、5、7）（4、6、7）

（4）“5”打头的：（5、6、7）

故能摆成13种不同形状的三角形。

这一结果的正确性易用组合知识验证：

从6个不同元素中每次选出3个的组合数为，扣除7种不合条件的，则符合条件的恰为13种。

试想，面对这样的题目，如果学生没有学会有序思考，而只是零敲碎打地去尝试，要算出正确答案会有多么困难！因为无序的试验极易出现遗漏和重复。遗漏是“失真”，重复属“采伪”，这两种都是学生易犯的错误。

再后来，要学习“多项式”，多项式的各项排列也是有序的，通常是从高次项排起，一直排到不含字母的常数项，称之为“降幂排列”。到高中学习“数列”时，更是明文规定：“按一定顺序排列的一列数称为数列”。到大学学习“级数”时仍讲究有序。

事实上，在生活中，有序无处不在：农业栽培的环节有序，工业生产的流程有序，音乐的结构有序，舞蹈的编排有序，建筑群的安排错落有致也是一种序，……因此，在数学中学好了“有序”，就能一通百能，受用无穷。

下面笔者选取人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》三年级上册第113页“数学广角”中的例2进行研讨，先看看这段教材在有序性上存在哪些问题，再探究如何处理教材做好“有序”教育。

这是一道渗透“排列”知识的题目，只可惜在解答中学生存在着诸多顺序混乱的毛病。

第一，题中所给的三个数字是无序的，“7、3、9”既不是从小到大，也不是从大到小，欠妥当。

第二，即使是按原题给出的“7、3、9”来排三位数，那么在百位数字的选取时，也应按“7、3、9”的顺序，然而在教科书的“树图”中，却又是按“9、7、3”来排的，不合适。

第三，倘若百位上的数字是按“9、7、3”来排的，则十位上的数字也应照此办理。但在教科书的“树图”中却又没有完全理顺：前两个位数的十位上数字依次为“7、3”，中间两个三位数的十位上数字依次为“9、3”但最后两个三位数的十位上数字依次为“7、9”，对于“9、7、3”来说，构成了一个“反序”。

第四，在教科书左上方的黑板上，已填的表格为：

由此看来，三个数字的顺序又变成了“9、3、7”。这还不算，若按“9、3、7”的顺序，第三个三位数的百位上数字就应该是“3”，而表格中的第三个三位数的百位上数字却填的是“7”。

第五，在教科书左下方的黑板上，那位小男生所填的第一个数是 ：

其三个数字的顺序又独树一帜，与众不同。

总之，教科书上的排法五花八门、凌乱无序。这或许是编者出于对“有序”教育的忽视而产生的无心之举；抑或是编者出于排列问题解答时的多种途径，为突出“条条道路通罗马”而有意为之。但无论是无心也好，有意也罢，这样做就坐失了进行“有序”教育之良机。有序才能呈现数学美，有序才能发现规律。有序不仅有着明显的美学意义，也有着深刻的方法论的意义。

其实，尽管解答排列题的具体方法多种多样，但教师教给学生的应是最基本的路子，以免喧宾夺主，让学生无所适从。对此，笔者建议这样来进行例2的教学：先把题中的“7、3、9”改成“3、7、9”，再按顺序来排百位上的数字和十位上的数字，并利用“树图”来完成所有三位数的排列（如下图）。

其中第一个数字为379，最末一个数字为973。第一个数中三个数位上的数字由小到大，最末一个数中三个数位上的数字由大到小，顺序正好完全相反。

总之，一线小学教师应不断提高自身素质，用创造性的教学弥补教材的缺陷，扎扎实实把好基础教育这一关，把学生教育得更聪明，也圆自己的育才报国之梦。