路在脚下，法由“线”定

应用题是初中数学的一个重要部分，也是难点所在. 列方程解应用题一般步骤为：（1） 审题：理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的相等关系；（2） 设未知数：用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；（3） 列方程；（4） 解方程；（5） 答：检查所求的解是否使方程成立，是否使实际问题有意义，写出答案.

列方程解应用题时，应根据题意灵活设未知数. 一般情况用直接设元法设出未知数，但有时为了解题的方便，采取间接设元法；要注意检验方程的解是否符合实际情况，对于不符合题意的解，一定要写明舍去的理由；还要注意答案的书写要明确完整，不能过于简单或省略不写.

现在就常见的行程问题与大家一起探讨.

1. 基本量是：路程、速度和时间.

2. 基本关系是：

①路程= 速度×时间；

②时间=■；

③速度=■.

3. 基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题.

4. 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，常常借助画线段图进行分析，理解行程问题.

5. 行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；

②逆水（风）速度=静水（无风）速度-水流速度（风速）.

下面就让我们一起进入行程问题的世界：

例1 A、B两地相距1 260千米，慢车以50千米/小时的速度从A地出发，同时一列快车以70千米/小时的速度从B地出发相向而行，当两车相距60千米时，两车行驶了（ ）.

A. 9.5小时 B. 10小时

C. 11小时 D. 10小时或11小时

【分析】题中两车相距60 km，没有说明是在两车相遇前相距60 km，还是在两车相遇后背向行驶时相距60 km，所以此题有两种情况. 可以借助线段图理清情况，并列出方程解答.

解：设当两车相距60 km时，两车行驶的时间为x小时，1 260-60=50x+70x或1 260+60=50x+70x.

得到两种情况的结果分别是10小时和11小时，答案选择D.

例2 如图所示， 两人沿着边长为90 m的正方形， 按A→B→C→D→A……的方向行走. 甲从A点以65 m/min的速度、乙从B点以74 m/min的速度行走， 当乙第一次追上甲时， 将在正方形的______边上.

【分析】此题类似于环形跑道问题，也是一个追及问题. 要充分把握好两者出发时的相距路程以及追及过程中路程与时间的关系. 虽说是环正方形的行程问题，但我们也可以在线段图中体现出等量关系. 值得注意的是，本题不适合直接设元，应间接设乙从出发到追上甲所用的时间为x min . 求出时间后再解决问题.

解：设当乙从出发到追上甲所用时间为x min，74x-65x=270，x=30，30×74÷360=■，相当于乙走了6圈多60 m，从解答可知当乙第一次追上甲时，将在正方形的BC边上.

例3 汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒. 设听到回响时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）.

A. 2x+4×20=4×340

B. 2x-4×72=4×340

C. 2x+4×72=4×340

D. 2x-4×20=4×340

【分析】此题相当于是一个相遇问题，揿喇叭后汽车还在向前行驶，而声音的速度快，声音到达山谷后又“回来”与汽车“相遇”. 可以从线段图中这样理解，在4 s的时间内，声音“所走的路程”与汽车行驶的路程总和等于汽车揿喇叭时离山谷的距离的二倍. 但这里也有要注意的地方：第一，问题中的x米是听到回响时汽车离山谷的路程；第二，条件中两个单位不统一，要化为一致后才能列方程.

72千米/时=20米/秒

解：设听到回响时，汽车离山谷x米.

2x=4×340-4×20.

通过比较可以得到答案应该选择A.

例4 张老师骑摩托车的速度为每小时45千米，学生步行的速度是每小时5千米，学校与车站相距15千米. 如果2名学生要在55分钟内从学校到车站，请张老师用摩托车送，但摩托车后座只能坐一人，学生不能驾车，请你设计一个方案（学生只能步行或乘摩托车，上下摩托车的时间不计），使2名学生能在55分钟内全部到达车站，并用方程的有关知识说明理由. （如果方案能使2名学生在规定时间内全部到达车站，时间少于47分钟可得7分，时间在47～55分钟的可得5分. ）

你的方案是：_____________________

理由及解答：_____________________

【分析】完成这题时，可能有同学会觉得应该把第一名同学送到车站后再去接第二名同学，但这样做的时间是不符合要求的；也有同学会想到把第一名同学送到中途再去接第二名同学，但估计在计算时会遇到困难. 我们可以这样考虑：一人先步行，一人乘车，然后乘车的人中途下车，车回来接步行的人，最后二人一同到达车站. 完成本题的关键在于，要使二人同时到达车站，则二人步行的距离相同，乘车的距离也相同.

可以设张老师将第一名学生送到距离学校x千米的地方返回，接另外一位步行的学生，张老师带后来的学生与先送的学生同时到车站.

解：设张老师将第一名学生送到距离学校x千米的地方返回，接另外一位步行的学生，张老师带后来的学生与先送的学生同时到车站. 张老师从开始到接到第二名同学的时间与第二名同学步行的时间是一样的，这样就可以列出方程了.

■=■，x=12.5.

所以两名同学同时到达车站的时间为：■+■=■（小时），相当于46分钟40秒.

通过以上几道例题的讲解，我们能够看出解行程问题的主要方法就是画出线段图，分析其中的等量关系，如果同学们在解应用问题时都能找到合适的方法梳理出等量关系，应用问题就会迎刃而解.