超常中学生数学观的调查研究

〔摘要〕本研究采用焦点访谈、问卷等方式，对188名初一、初二、高一、高二年级超常学生的数学观进行调查，结果表明：1.超常中学生对数学喜爱的程度较高，且对自身的数学能力较有信心。这种积极的态度在高二、初一年级显著高于高一年级。2.超常中学生对数学知识性质观是倾向于建构的，但随着年级的升高呈现降低趋势，在高二又回升，初一年级显著高于高一年级。3.超常中学生数学学习过程较明确，更多的是较灵活、较主动、较深入的参与学习，即通过主动建构来学习数学。4.超常中学生对数学学习的意义了解比较深入、全面，但随着年级的升高而逐步降低，高二年级与初一年级均数接近，初一年级显著高于高一年级。

〔关键词〕超常；中学生；数学观；调查研究

〔中图分类号〕G44 〔文献标识码〕A

〔文章编号〕1671-2684（2013）17-0018-04

我国的数学教学改革多年来已取得了很好的成绩，但同时也存在一些问题，数学观的转变就是国内外教育家、研究者们非常重视的一个问题，也是目前数学教学改革面临的首要问题。数学教学改革的重点是要求教师变传统的“知识传授型”教学为探索型教学和发展型教学；变传统的计算、应答教学为真正的数学教育，即培养学生用数学的眼光、数学的思想、数学的方法去观察世界和解决实际问题，培养学生的公正精神、理性精神、创造能力、科学态度和审美情趣等[1]。学生的数学学习观作为一种元认知知识，是学生先前经验重要的组成部分，涉及学生对数学知识的性质与数学学习过程的认知[2]。此外，还涉及学生对数学学习的态度及意义的认知。数学学习内容不仅包括结构性知识，还包括非结构性的背景经验。学习者总是以其自身的经验来理解和建构新的知识或信息[3]。这种认知方式对学生的数学学习动机、行为策略及成绩产生了很大影响[4]。

Schommer（1997）等对美国中学生的数学观进行的调查表明，大部分中学生的数学观是朴素的、不正确的[5]。黄毅英（2002）等研究发现，学生的解题取向与策略极受其数学观所影响[6]。刘儒德等（2002）对小学生数学学习观的调查研究表明，小学生的数学学习态度是积极的，数学学习性质观是朴素的、直观的、肤浅的，学习过程是不明确的[7]。那么，中国中学生的数学观是怎样的？其中参加国际、国内中学生奥林匹克数学竞赛取得优异成绩的超常中学生的数学观又是怎样的？本研究旨在对超常中学生的数学观进行调查，试图了解超常中学生的数学学习态度、数学知识性质观、数学学习过程观和数学学习意义观的现状、特点及年级发展趋势，从中获得一些启示，以期为我国中学数学教学改革提供点滴有价值的参考。

一、研究方法

1.被试

被试为北京市某中学188名初一、初二、高一、高二年级数学成绩好的超常学生，其中初一年级49人，初二年级48人，高一年级50人，高二年级41人；男生138人，女生50人。被试年龄为13～17岁。

2.调查工具

调查问卷的编制是在对优秀数学教师和学生进行焦点访谈、开放式问卷调查以及根据国内外大量有关数学观、学习观测量的问卷基础上进行编制的。并在本校初一、初二、高一、高二年级随机抽取10人进行初步测试的基础上，通过北京师范大学教育心理学专家审阅后加以完善。问卷共35个项目，分为四个维度，每个项目分五级，即“完全符合、比较符合、一般符合、较不符合、完全不符合”，分别赋值为“1、2、3、4、5”。维度一为中学生数学学习态度，有5个项目，如“学好数学需要持之以恒”“我对数学没有兴趣”等；高分者倾向于积极地、主动地、有趣味地学习数学。维度二为中学生对数学知识的性质的认识，有11个项目，如“数学知识与其他知识关系不大”“数学是严谨的”等，旨在考察学生对数学知识性质的认知，具体涉及对数学知识的精确性、严谨性、简单性、联系性等方面的认识。高分者倾向于认知是主动建构的、相对的、开放的、非简单的、来源于生活的和具有实用价值的。维度三为中学生对数学学习过程的认识，有12个项目，如“数学难题可以运用猜测的方法”“学数学需要寻找数学知识之间的关系”等，旨在考察对数学知识学习过程的认知，具体涉及对数学知识的来源、学习方法及学习流程的认知。高分者倾向于认为学习是通过建构获得的、没有固定程序、需要运用各种方法积极主动进行自学；而低分者倾向于迷信权威、严格按固定程序学习、死记硬背、套用书上公式及法则等。维度四为中学生对数学学习意义的认知，有8个项目，如“学好数学可以为学好其他学科打好基础”“学好数学就是为了升学”等。高分者倾向于认为学习数学可以提高学习其他学科的能力、为将来工作打好基础等；而低分者倾向于认为学习数学只是应付考试、升学等。

3.调查过程

问卷施测是在班主任的协助下，在学年期末考试前的复习阶段对初一、初二、高一、高二年级超常中学生进行的，施测前对班主任进行了指导语的培训，以确保他们不对学生进行任何暗示，完成时间在15分钟内。用EXCEL、SPSS11.0对数据进行统计分析。

二、结果分析

1.各年级超常中学生数学观四个维度的比较

对四个年级超常学生在数学观的四个维度上的得分进行ANOVA统计分析得出平均分、标准差及四个维度的差异检验。超常中学生数学观在四个维度上总的均数由高到低依次为态度3.74分、过程3.48分、意义3.45分、性质3.13分。态度维度得分最高，说明超常中学生学习数学的态度很好、自信心较强。初一年级学生在数学观四个维度上的均分很高，说明初一学生具有较科学、先进的数学观。从初一到高一，态度、性质、意义这三个维度的平均分随着年级的增长而呈降低趋势，高一年级得分相对其他三个年级均较低，但有趣的是高二年级在四个维度上均反弹，均分较高。四个年级超常中学生在数学观的态度、性质及意义三个维度上存在显著差异。而四个年级超常中学生在数学学习过程这个维度上的均分高于3.36，得分较高，且四个年级无显著差异，说明四个年级超常中学生对数学学习过程的建构一致良好。

进一步检验表明，男女生在数学知识性质观、学习过程及学习意义之间无显著差异。只在数学学习态度上二者有显著差异。女生均数为3.83分，男生的均数为3.54分，表明女生学习数学比男生更加努力。

2.超常中学生对数学学习的态度

四个年级学生在数学学习态度上的平均得分都在3.50分以上，其中，高二、初一的均数较高，都超过3.90分，高二平均分最高，为3.93分，这表明四个年级超常中学生对数学的喜爱程度都较高，且对自身的数学能力较有信心，对自己学习数学持积极肯定的态度。但从初一到高一随着年级的增长，超常中学生数学学习态度出现降低趋势。对四个年级在态度维度进行差异性检验，结果表明，四个年级超常中学生对数学学习态度的认识存在显著差异。对四个年级学生的得分进行事后检验，可知高二年级和初一年级分别与均分最低的高一年级有显著差异。高二超常中学生对数学学习态度又有大幅度提高，认识更加成熟、更加自信。

3.超常中学生对数学知识性质的认识

四个年级中学生在数学学习性质上的平均得分都在3.01分以上，为中等偏上，与其他三个维度相比得分最低，均分为3.13分，这表明四个年级超常中学生的数学知识性质观总的来说是倾向于建构的，但建构程度不深，总体上还是比较朴素、直观和肤浅的，且从初一到高一随着年级的增长，超常中学生数学知识性质观出现降低趋势，得分从高到低依次为初一、初二、高二、高一。对四个年级在态度维度进行差异检验，结果表明，四个年级的学生对数学知识性质观存在显著差异。对四个年级得分进行事后检验，可知初一年级与高一年级存在显著差异。

4.超常中学生对数学学习过程的认识

四个年级学生在数学学习过程上的平均得分都在3.35分以上，得分较高，说明超常中学生对数学学习过程较明确，更多的不是表层的接收学习，而是较灵活、较主动、较深入的参与学习，即通过主动建构来学习数学。不同年级得分由高到低依次为初一、高二、高一、初二，四个年级间无显著差异，这说明四个年级超常中学生对数学学习过程的建构一致良好。

5.超常中学生对数学学习意义的认识

四个年级的超常中学生在数学学习意义上的平均得分为3.45分，得分较高。四个年级超常中学生在数学学习意义上的均数从低到高依次为初一、高二、初二、高一，即从初一到高一随着年级的增长，超常中学生数学学习意义的认识出现降低趋势。对四个年级学生在态度维度进行差异检验，结果表明，四个年级实验班学生对数学学习意义的认识存在显著差异。对四个年级的得分进行事后检验，可知初一年级与高一年级存在显著差异。

三、讨论与建议

1.超常中学生数学学习态度及其发展

从结果可知，超常中学生普遍喜欢数学，并且对自身的数学学习能力很有信心，初中生的数学学习态度随着年级的升高而下降，但无显著差异，与初一年级超常中学生数学学习态度相比，高一年级超常中学生数学学习态度显著下降，这一点与刘儒德对小学生数学学习观的研究发现相似[7]；高中生随着年级的增长，态度越来越积极，且这种上升的趋势达到了显著。这种现象可能与初中数学和高中数学的以下特点有关。

第一，初中数学知识具有很强的结构性和层次性，年级越高，内容越复杂、越抽象，要求学生的逆向思维（如代数由方程到因式分解）、逻辑思维及独立解决问题的能力越强（如几何由线到形的变化），因而也就越难学，因此，高一、初二年级学习数学的态度比初一年级学习数学的态度要低一些。

第二，学习数学具有很强的累积性和内在逻辑性，前一阶段的学习直接影响后一阶段的学习。由于初一学生已提前学习了部分内容，对知识有一定了解，具有一定的基础，因此对初一的学习内容充满自信，稍加努力便可能获得很好的成绩；到了初二，即使初一基础好，并保持积极的心理努力和思维参与也不一定获得良好的学习效果，如果初一基础稍差一点，初二的学习就显得困难一些，长此积累，越往后差得越远，学生对数学的学习态度也越来越下降，对数学学习的焦虑也越来越升高，直到高一这种加速度进行的变化就达到了显著。高一数学知识点（如函数）的数量比初中增加很多，而且内容难度也比初中高，有些学生的自信心受到很大打击。高二的知识点对于大多数超常学生来说并不比高一多，难度有可能使学生觉得反而下降。因此，高二的学生的学习态度显著好于高一学生。

第三，学习数学具有一定的适应性，从初中到高中从学习内容的难度到学习方法，学生都存在着重新适应的问题。如高中数学的学习速度比初中快很多，用初中的方法学习高中的内容，即使积极努力也不一定能获得良好的学习效果。对于高二学生来说，经过高一的学习，对高中的学习内容（如立体几何）和学习方法已逐步了解和适应了，因此，高二学生自信心有所反弹，升高，而且显著地高于高一学生。

2.超常中学生数学知识性质观及其发展

由结果可知，超常中学生对数学知识性质观总的来说是倾向于建构的，但建构程度不深，即认为数学是非确定性的、相对的、与其他学科知识相关联的、具有能带来快乐的美。但他们的数学知识性质观在有些方面还是比较朴素的、直观的和肤浅的，且从初一到高一，随着年级的增长，超常中学生数学知识性质观出现降低趋势，且初一与高一差异达到了显著。这一点与Schommer等人对高中生学习观的研究发现[5]及刘儒德小学生数学学习观[6]的研究不完全一致。

超常中学生数学知识性质观得分较低的项目主要有“数学是严谨的”（1.68），“数学是精确的”（2.46）等。由此可见，超常中学生数学知识性质观受到柏拉图主义的影响，即把数学看成是一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科[7]。这种观点影响了超常中学生数学知识观的建构。这与黄毅英等对中国内地中学教师的数学观的研究发现相一致。此外，通过对数学教师的访谈，发现教师也认为“数学是精确的、严谨的”，且认为我国数学课程目标、内容和教学活动也对超常中学生数学知识性质观造成不良影响，这对于高一的学生影响尤为突出。这种过于强调数学严谨性、精确性的观念，带给人们的亦是古板、僵化的数学。过多的运算活动剥夺了超常学生交流、思考的活动，从而忽视了数学的归纳、猜想、合情推理、想像等解决数学问题中更为本质和重要的方面，尤其是会淡化数学探索精神、数学创造精神的培养。

3.超常中学生数学学习过程及其发展

超常中学生对数学学习过程较明确，更多的不是表层的接收学习而是较灵活、较主动、较深入的参与学习，即通过主动建构来学习数学。四个年级间无显著性差异，四个年级超常中学生对数学学习过程的建构一致良好，主要表现通过对学生和教师的焦点访谈和问卷可知：超常中学生不拘泥于书上已有的公式和方法，会主动运用猜测的方法来解题（项目16的均分为4.34分，属较高水平）；寻找数学知识前后之间的联系（项目20的均分为4.30分）；学习数学并非是主要记忆书本上的内容（项目18的均分为4.20分）；数学知识不是只能通过课堂听讲和练习获得（项目6的均分为3.90分）；数学没有人教也能学会（项目7的均分为4.0分）；等等。可见，超常中学生敢于向教师和权威挑战，他们并不认为教师或权威是评判学习内容、学习效果的依据；认为学习数学没有固定程式，不必按照课本编排或教师安排的程序学习；认为学习数学需要思考数学知识的内在联系，可以积极主动自学。这可能是超常中学生数学学习效果很好的一致原因之一。这同时也反映了优秀数学教师培养超常学生数学学习过程的方法正确、有效。

4.超常中学生数学学习意义及其发展

超常中学生对数学学习意义的认识较为深入、全面。通过对学生和教师的焦点访谈和问卷可知，超常中学生认为学好数学可以为其他学科打好基础（项目8的均分为4.20分）；数学可以提高逻辑思维能力（项目30的均分为4.3分）；学好数学可以为将来的职业打好基础（项目33的均分为3.82分）；数学课上学到的知识可以应用到生活中（除了高一学生）；等等。高一数学知识内容是函数，而大多数学生认为函数在现实生活中没有使用价值（高一学生项目8的均分为2.94分）；同时，高一学生认为学好数学就是为了升学（项目32的均分2.82分），这两点也是导致初一年级与高一年级超常中学生存在显著性差异的原因。

四、结论

1.超常中学生对数学喜爱的程度较高，且对自身的数学能力较有信心。这种积极的态度在高二、初一年级显著高于高一年级。

2.超常中学生对数学知识性质观是倾向于建构的，但随着年级的升高呈现降低趋势，初一年级得分显著高于高一年级，高二又回升。

3.超常中学生数学学习过程较明确，更多的不是表层的接收学习而是较灵活、较主动、较深入的参与学习，即通过主动建构来学习数学。

4.超常中学生对数学学习的意义了解比较深入、全面，但随着年级的升高而逐步降低，高二年级与初一年级均数接近，初一年级显著高于高一年级。

主要参考文献：

[1]刘朝辉.当前数学教学改革中必须注意的几个问题[J].课程·教材·教法，2001，9.

[2]Hofer B K，Pintrich P R.The development of epistemological theories：Beliefs about knowledge and knowing and their relation to learning[J].Review of Educational Research，1997，6（7）：88-140.

[3]詹明道.建构主义与数学教学[J].课程·教材·教法，2001，10.

[4]Schoenfeld A.Explorations of students’mathematical beliefs and behavior[J].Journal for Research in Mathematics Educations，1989，20（4）：338-355.

[5]Schommer M.The development of epistemological beliefs among secondary students：A longitudinal study[J].Journal of Educational Psychology，1997，89（1）：37-40.

[6]刘儒德，陈红艳.小学生数学学习观调查研究[J].心理科学.2002（2）：25.

[7]黄毅英.中国内地中学教师的数学观[J].课程·教材·教法，2002，1.

（作者单位：中国人民大学附属中学，北京，100080）

编辑 / 王晶晶 终校 / 杨 怡