从美学角度赏析带电粒子在磁场中的运动轨迹

从美学角度看，带电粒子在磁场中的运动轨迹具有一定美感。本文旨在通过六个实例赏析带电粒子在磁场中的运动轨迹。

一、一颗红心

例1：如图1所示，MN为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小的关系为B1=2B2，一带电荷量为+q、质量为m的粒子从O点垂直MN进入B1磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O点？

分析：粒子垂直进入磁场，作匀速圆周运动，半径r=，粒子在两个磁场中半径之比为1：2，画出轨迹，如图2所示。

根据周期求出时间。

解答：粒子垂直进入磁场，由洛伦兹力提供向心力，则根据牛顿第二定律得，得轨迹半径r= ，周期。

根据条件，可知r1：r2=1：2。画出轨迹，如图2所示。

粒子在磁场B1中运动时间为T1，在磁场B2中运动时间为T2，粒子向下再一次通过O点所经历的时间为t=T1+ T2=。

点评：由带电粒子所形成的运动轨迹多像一颗红心！

二、一片绿叶

例2：如图3所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电量为+q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可在粒子流的有侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种（其中B0=mv0/qL，A、C、D选项中曲线均为半径是L的1/4圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆弧）？

分析：带电粒子流水平向右飞入匀强磁场做匀速圆周运动，虽然位置不同，但速度大小、方向均相同，所以它们运动轨迹的半径相同。由于它们的圆弧长度不同，所以飞行时间不同。

解答：如图4所示，由于带电粒子流的速度相同，所以A、B、C这三个选项中的磁场的轨迹对应的半径相同。因为D选项的磁场是2B0，所以它的半径是之前半径的2倍。当粒子射入B、C这两个选项时，均不可能汇聚于同一点。虽然D选项粒子向上偏转，但仍不能汇聚一点。所以，只有A选项能汇聚于一点。

点评：由两条弧线所围成的磁场区域多像一片青翠欲滴的绿叶！

三、一朵鲜花

例3：如图5所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0。在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少（不计重力，整个装置在真空中）？

分析：带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d。只要穿过d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。

解答：带电粒子的运动轨迹如图6所示。设粒子射入磁场区的速度为v，根据动能定理，有①。设粒子在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得②。由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到b必须经过3/4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r0，即R=r0③。由①②③，解得。

点评：本题中考查了带电粒子的周期性。粒子的轨迹多像一朵盛开的鲜花！

四、一个哑铃

例4：如图7所示，在真空中，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在此区域外围空间有垂直纸面向内的磁感应强度大小也为B的匀强磁场。一个带电粒子从边界上的P点沿半径向外，以速度v0进入外围磁场，已知带电粒子质量m=2×10-10kg，带电荷量q=+5×10-6C，不计重力，磁感应强度B=1T，粒子运动速度v0=5×103m/s，圆形区域半径r=0.2m，试画出粒子的运动轨迹并求粒子第一次回到P点所需的时间（结果用π表示）。

分析：粒子从P点出发，在洛伦兹力的作用下作匀速圆周运动，运动3/4周期进入圆形磁场区域。继续在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，最终将从原方向经过P点。

解析：首先，由洛伦兹力提供向心力有：，解得：r=0.2m=R，轨迹如图8所示。

其次，粒子做圆周运动的周期为T==8π×10-5s粒子的轨迹组合起来，正好为2个圆周，则粒子第一次回到P点所需时间为t=2T=16π×10-5s。

点评：粒子在磁场中的运动轨迹真的很像一个哑铃！

五、 一颗明星

例5：如图9所示，一个质量为m、电荷量为+q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v0射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的最短时间t（设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电荷量损失，不计粒子的重力）。

分析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电荷量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图10所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n次（n≥2），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n+1）。

由几何知识可知，离子运动的半径为，离子运动的周期为，又因为，所以离子在磁场中运动的时间为。

最短时间的运动轨迹如图10所示，每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为120°，由几何知识可知，离子运动的半径为：r=Rtan60°=R，运动的周期为：。又因，所以离子在磁场中运动的时间为。

点评：粒子在磁场中的运动轨迹是闪闪发光的三角星、四角星、五角星和多角星。

六、一串露珠

例6：在xoy坐标系内存在周期性变化的电场和磁场，电场沿y轴正方向；磁场垂直纸面（以向里为正），电场和磁场的变化规律如图11所示。一带负电粒子质量m=3.2×10-13kg，电荷量q=1.6×10-10C，在t=0时刻，以V0=8m/s的速度沿x轴正向运动，不计粒子重力。求粒子在磁场中运动的周期；当t=24×10-3s时，求粒子在坐标系内的位置坐标。

分析：粒子在电场中由于受到与速度方向垂直的电场力的作用而作类平抛运动，在4×10-3s至8×10-3s的时间内，粒子将处在磁场中，受洛伦兹力而作匀速圆周运动，刚好运动一个周期。后以同方向进入电场继续作类平抛运动，接着进入磁场作匀速圆周运动，轨迹如图12所示。

解析：首先，粒子在磁场中运动时，得，

得轨迹半径r=，周期，带入数据解得：T=4×10-3s。

其次，t=24×10-3s时，粒子在坐标系内运动了三段类平抛运动和三个圆周运动。

水平方向的位移x=3v0T=9.6×10-2m，竖直方向的位移y=a（3T）2。

由于在电场中，qE=ma，带入数据的y=3.6×10-2m，所以，当t=24×10-3s时，粒子在坐标系内的位置坐标为（9.6×10-2m，-3.6×10-2m）。

点评：粒子在电磁场中的轨迹多像清晨草叶上的一串露珠！

带电粒子在电磁场中运动的轨迹美是普遍现象，教师应引导学生善于将物理与生活相联系，从美学角度看待物理问题，以增强学习物理的乐趣。

（作者单位：山东省寿光市寿光中学）

（责任编辑：梁金）