贝叶斯信度理论下VaR计算的新方法

摘要：传统的VaR方法通过方差—协方差法或者历史数据法进行测算，但是这两种方法都有显著的缺点。文章通过贝叶斯信度理论（Bayes Credibility Theorem）针对传统VaR方法的一些缺点，建立新的模型。

关键词：贝叶斯信度理论；VaR方法；normal/normalmodel；连续复利

一、VaR模型及其两种计算方法

风险价值VaR作为一个概念，最先起源于20世纪80年代末交易商对金融资产风险测量的需要，作为一种市场风险测定和管理的新工具，则是由J.P.Morgan最先提出的。VaR是一种应用标准数理统计技术来测定金融风险的方法，是通过密度函数或累积函数来表示风险的。在金融风险估计中，借助于投资组合市场价值变化概率分布的密度函数或累积函数来表示投资的风险属性，将各种市场因素所引起的风险整合为一个一维的度量值——最大潜在损失值，就形成了金融市场风险度量的VaR方法。VaR的对象是某一金融资产或证券组合，它们可以包括股票、债券及其他的各种金融衍生工具。严格的说，VaR描述了在一定的目标期间内收益和损失的预期分布的分位数。

例如，持有期为1天，置信区间为90%的某一证券组合的VaR是1万元，根据VaR的定义，其含义是，我们有90%的把握，该证券组合在未来的24小时内组合价值的最大损失不会超过1万元。

在传统的精算中，贝叶斯理论是用于测算保费的一种方法。他采用历史数据和模拟参数共同估计未来保费。一般来说，保险费的精算采用Poisson/gamma模型，或者采用Buhrmann模型，不会采用normal/normal模型。因为normal/normal会使得保费出现负数的情况，与实际情况大相径庭。但是在其他的一些领域中，normal/normal假设却是十分有效且有科学依据的假设。

将这种方法应用于保险公司或其他金融机构的资产管理笔者认为将十分合适，因为金融机构管理资产的收益率可以用连续复利来完全表示，恰好与这里贝叶斯信度理论的normal/normal模型相吻合。

我认为的贝叶斯的信度理论能够很好运用于资产风险中的市场风险管理中去。中国正面临金融开放加速和市场爆炸性发展的阶段，这个情况不符合历史模拟法的前提条件，但是即便如此，也要充分利用已有的数据，才能纠正有误差的参数。另外蒙特卡洛模拟法对人员素质的要求太高，同时开发成本也较高，因此使用方差—协方差法成为目前计量VaR的主流方法。下面笔者简单介绍一下方差—协方差法和历史模拟法。

首先，方差-协方差法。方差-协方差法是VaR计算中最为常用的方法。它假定风险因子收益的变化服从特定的分布（通常是正态分布），然后通过历史数据分析和估计该风险因子收益分布的参数值，如方差、相关系数等，从而根据得出整个投资组合的VaR值。

其次，历史模拟法。历史模拟法假定回报分布为独立同分布，市场因子的未来波动与历史波动完全一样。其核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益分布，利用分位数给出一定置信水平下的VaR估计。具体来讲，它是根据每种资产的历史损益数据计算当前组合的“历史”损益数据，将这种数据从小到大排列，按照置信度c的水平找到相应的分位点，从而计算出VaR值。

方差-协方差法有一个重要的假设——正态分布假设。从统计学的角度来讲，正态假设是建立在中心极限定理这个基础上的。中心极限定理的原理是：一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。但是很显然，这个条件在现实中较难达到，特别是在行政干预较多的中国市场上。因为，政府的调控产生的影响并不能看作“微小”。这也解释了实证研究发现：中国市场收益率的厚尾现象比较严重，用正态分布的假设可能还不能完全解决问题。由于收益率要使用有厚尾分布，所以需要估计的参数较为复杂，可信度较低。

历史模拟法直观有效，利用现实的数据来确定概率分布，从而省去了很多假设。比如，方差—协方差法一般采用正态或厚尾分布假设。历史模拟法除了以上这些优势，它也避免了模型参数错误导致预计概率分布错误的可能性。但这种方法没有考虑到未来的不断变化，有其局限性。

总的来说，方差—协方差法中的参数难以确定，历史数据法难以把对未来的经济形势的估计在VaR中体现出来。针对方差—协方差法和历史模拟法的劣势，本文采用贝叶斯的信度理论来重新建立模型。

二、贝叶斯信度理论方法

本文采用的方法是：假设interestforce（连续复利也就是收益率）为随机变量x，x服从（θ，σ21）的分布，其中θ为一随机变量，σ21表示由的样本方差估计的方差。xi是独立同分布的随机变量x的观测值，观测值数量为n。

θ：N（μ，σ22），其中μ表示期望值σ22表示方差，σ22通过类似方差协方差法得到：σ22=yiyjρi，jσiσj，

σiσj表示风险因子i和j的标准差，ρi，j表示风险因子i和j的相关系数，ρi，j表示整个投资组合对风险因子i变化的敏感度，有时被称为Delta。

这里采用连续复利为随机变量，而不用一般的单利计算，是因为笔者认为连续复利更具有正态分布的特征：多种因素影响随机变量，而且每种影响的效果较小。并且利用连续复利更容易累加计算，不需要用到差分和微分。

这种方法的思路是：在θ给定时，假设连续复利x服从正态分布，正态分布的方差是从历史数据中获得的。X的期望θ则是一个随机变量，也服从正态分布，这个正态分布的两个参数是采用类似方差—协方差法的方法得到的。

这样，本文提出的这种方法就克服了历史数据法不能通过参数来对未来进行估计的缺点，也克服了方差—协方差法参数不准的特点。又因为这里x的实际分布不是的正态分布，将会增大VaR值，克服了历史数据法VaR值偏小的缺点，使之能够运用于较为波动的市场行情。

方法的具体使用：

注：这里的exp指的是exponential（指数函数在英国精算体系中的表示方法）

首先表示出的先验分布：

f（θ）（Prior）∝exp-舍去exp中常数项后有

f（θ）（Prior）∝exp-+

然后表示出θ在观测值下的极大似然函数：

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-

舍去exp中的常数项后有

∏f（xi）（Likelihood）∝exp-+θ

将prior（先验分布）与likelihood（似然估计）相乘后得到后验分布的正相关量，也就是θ在已知观测值x1x2……xi（用x表示）情况下的密度函数（时间间隔为Δt）：

f（θ|x）（Posterior）∝exp

-++θ+

可以发现这是一个正态分布，其中只有θ是随机变量，这样得到：

θ|x：N，

那么得到

μx==+-aX+（1-a）μ

σ2x=

注：μx=E（θ|x）σ2x=var（θ|x）

在给定θ的情况下，我认为未来一段时间内xi+1，xi+2…xi+m的服从独立同分布的特征（时间间隔为Δt，mΔt=1），根据连续复利积累值的特征，我们现在要讨论的是xp=（xi+1，xi+2…xi+m）Δt的分布情况。

有：（xi+1，xi+2…xi+m）：（mθ，mσ21）

可得：（xi+1，xi+2…xi+m）Δt：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

即：xp：N（mΔtθ，mΔt2σ21）

利用卷积和条件概率的思想，有：

p（x）=f（θ）Fdθ=α…………？茌

其中，θ是积分变量，f（θ）是θ分布的密度函数，α是置信度。F（Z）表示标准正态分布的概率累积函数F（Z）=？覬（X≤x）。是正态分布中的分位数

通过这个等式可以求出分位数，在α置信度下x出现损失的区间为（xp，μX）

其中，μX表示E（x|x）根据统计学的公式有E（（x|x））=E[E（x|θ）|X]

由于x在给定θ的时候是正态分布，则有E（x|x）=E[E（x|θ）|X]=E[θ|X]

E[θ|X]在前面已经算出，即为μ。

所以单位资产单位时间内期望与在α置信度下可能值相差（事实上，单位时间内资产的分布在给定参数的情况下为对数正态分布）：exp-exp（xp）

根据前面的假设x表示的是interestforce（连续复利），那么在置信区间里单位资产单位时间内可能出现的损失为VaR=exp-exp（xp）

这种方法既吸收了历史模拟法的充分利用数据的优点，也解决了历史模拟法不能有效运用参数来估计未来的缺点。另外，我提出的这种方法延续了方差—协方差法采用多种风险因子来估计随机变量θ方差的特点。

采用这种贝叶斯信度理论的估计方法有一个缺点，那就是？茌式需要计算机采用数值解法才能解决。因为其中的f（θ）表示正态分布的密度函数，而F表示标准正态分布的概率累积概率函数，这个函数是不能用基本运算公式表示的。但是这种方法与蒙特卡洛模拟法相比，已经简便了许多。

本方法除了可以应用于指数连接债券等非固定收益的稳定金融产品VaR测算之外，还可以运用于股票等波动性较大的金融资产的VaR测定。但是由于这里采用的是连续复利服从正态分布的假设，如果波动较为频繁，那么连续复利的时间段有可能难以确定，样本观测值的确定需要用一些特殊的手段。

笔者将在以后的学习研究中，利用数据对模型进行实证研究。

三、结论

综合全文，normal/normalmodel在精算中一直不被重视，因为其现实意义有限，有可能出现与现实情况不符的负保费的情形。另外，贝叶斯模型一般用于保费期望的计算，本文着重讨论了贝叶斯模型概率分位数的应用，并将此与VaR值相联系。我将这种思想融入投资中去，建立新的有充分科学依据的理论模型。此模型可以综合历史数据法和方差—协方差法的优点，建立关于连续复利（interestforce）的分布函数，求得更为准确的VaR值。

参考文献：

1.Statistical Method[M].The Actuarial Education Company，2010.

2.马玉林，周林.沪市VaR估计误差及其实证[J].统计与决策，2005（11）.

3.黄宗远，阳太林.ARCH模型在证券市场风险计量中的应用[J].经济与社会发展，2004（8）.

4.龙朝阳，李伟.基于FIGARCH模型的中国股市VaR测量[J].财经论坛，2006（12）.

5.黄雄艳.上证指数的VaR风险测量及有效性研究[J].长沙大学学报，2005（6）.

6.刘星，金占明.VaR方法及其在我国证券市场风险管理中的应用[J].特区经济，2005（10）.

（作者单位：中国建设银行总行国际业务部）