双变量度量理论及引力的量子化

邵 丹，邵 亮，谢 勇

（1.江汉大学 光电信息研究所，湖北 武汉 430056； 2.武汉科技大学 理学院，湖北 武汉 430081；3.江汉大学 研究生院，湖北 武汉 430056）

0 引言

圈量子引力（LQG）出现之前，引力量子化大体有两种途径。一种是利用引入其他场、延展体、超对称等方法，企图使引力量子化。这些方法中除超弦M－理论外，其余皆因解决可重整性问题无望而无法发展。而M－理论中，关于引力相互作用的核心问题，目前也欠全面和具体的阐明，完成引力的最终量子化，还需长期的过程。另一种是在引力体制内进行引力的量子化。这种方法历史上提出的具体模式很多，其中最被推崇的是4－导数引力。这种理论是把General Relativity（GR）中的微分同胚变换当作规范变换［1］，将模式中的引力场用Faddeev 规范场量子化的方式量子化。其优点是可以用（引力）曲率平方项的引入消去引力的发散，理论在表现上具有可重整性。它需要解决的问题是，理论中存在负能量的粒子；若解决负能量问题，可能破坏S 矩阵的么正性。尽管如此，这一理论仍是协变方法实现引力量子化进行得最为彻底的一种理论。这一方法在引力量子化历史上曾引起不小的关注，如Rovelli 在文献［2］中回顾引力量子化简史时，曾例举过对Stelle［3］提出的4－导数引力量子化的评述。他指出，尽管4－导数引力存在需要进一步解决的问题，它仍被认为是解决量子引力问题的一种可行选择。Gambini 和Pullin 在文献［4］中谈到引力量子化的可重整性时，也指出了4－导数引力在作用量中引入高次项的方法可以用于治疗引力发散，不过应当去掉它为理论带来的非物理性质。同时，在论述空时性质时还指出，空时几何应具有非交换性质，这种性质与微观不确定性原理应相容。

利用量子化空时与引力的关系探讨引力的量子化，是LQG 发展出的一种新方法。这方面的一个例子就是Rovelli 的用空时4 单形剖分方法所做的引力子散射理论［5－6］。该理论把Regge 计算和量子场论中的连续场的量子化方法，利用空时的微观离散性质和四面体的量子特性，做了明确的推广。这开启了用量子化的空时研究引力量子化的先例。不过，理论中仍然存在自旋网顶角结网算子以及低能极限等的不确定性，需要进一步研究，目前还远非是理论上无需质疑的结果。

笔者认为，引力量子化与空时量子化及其微观性质有关。把空时量子化后的信息引入到引力量子化中来，可去掉或改善引力量子化遇到的困难，甚至如上困难。Rovelli 的上述工作，就是借用空时的量子剖分特性表述的一种引力的量子化。

针对如上现实，本文仍用作用量中的曲率平方项来抵消引力发散，不过曲率平方项并不取决于引力扰动，而是由量子化后空时的度量决定。从而理论中将不出现负能粒子，也不存在为了消去负能粒子而可能破坏么正性的问题。而且与其他高导数理论不同，它的引力部分保持与GR 相同，量子化后也不存在其他非物理结果。

1 空时与引力的双变量度量统一理论

1.1 双变量度量

本文中的空时与引力是在LQG 中发展出的两个完全不同的概念，空时并不指引力，引力也不指空时。Minkowski 空时M′ 是本文空时的平坦极限，一般空时可以弯曲，记以M 。 M 的弯曲是自身独立的弯曲，与其中引力的存在与否无关。GR 是把平坦Minkowski 空时M′ 的度规ημν和引力扰动hμν(x)结合在一起的空时与引力的统一理论。LQG 对空时量子化的研究表明，量子化空时M 自身的度量将允许有量子起伏，这里记为ημν(x)，从而M 可具有与引力存在与否无关的弯曲，即空时弯曲。 M 中有引力扰动hμν(x)存在时，得到的流形记为M，即M 是空时与引力的二元世界。熟知，M′是M 的抽象平坦特例，M′中存在引力扰动hμν(x)时，得到的流形则记为M′。M′在本文中是空时M′与引力混成的4 维流形，而在GR 中被称为“弯曲时空”。

由于空时和引力都可使流形M 弯曲，据文献［7］，M 的度量将由如下双变量度量构成：

式中重复相乘指标不求和，ημν(x)=εμν(x)ημν，εμν(x)为空时度量演变参量。当εμν(x)≡1 时，（1）式为GR 中的度规表达式。（1）式中的εμν(x)与hμν(x)分别是空时度量扰动与引力扰动，二者是独立的，都对组合度量ℊμν(x)有贡献。

1.2 双变量度量空时与引力统一理论的作用量与场方程

该理论研究的对象为空时与其中的引力，二者形成的二元世界M 的本体是空时M ，M 上的织绣是引力扰动hμν(x)。流形M 的度量为合成度量ℊμν(x)，它的作用量为

将二元世界的作用量（2）式分别对引力扰动hμν(x)和空时度量扰动ημν(x)求变分，可得该统一理论的两组场方程。

将作用量（2）式利用通常变分原理

式中ℊμν为时空度规，Tμν为GR 的质量张量，将得到该统一理论的引力场方程

式中Gμν(hλσ)为统一理论的引力爱因斯坦张量，其表达式为

把作用量（2）式对空时度量扰动ημν(x) 变分，即

该统一理论的空时度量方程如下：

式中不同形式的曲率以及统一理论的空时爱因斯坦张量Gμν(ελσ)，皆由组合度量（1）式中的ημν(x)规定，且皆作为基本变量εμν(x)的泛函。对于统一理论的空时爱因斯坦张量，它的表达式如下：

（7）式的意义在于，在该模式中，空时与引力虽然可以进行统一描述，但空时自身具有独立的演化机制，它是空时理论中的一组新方程。对空时M 这种演化机制的刻划，是该双变量理论的重要结果，也是它与GR 的重要区别。作为特例易知，Minkowski 空时M′ 是（7）式的一个特解；另外，Rμν=0 的空时也是（7）式的特解，而后者是可以弯曲的。

2 双变量度量空时与引力统一理论的引力量子化

根据作用量（2）式，利用通常的规范场协变量子化方法，可把该统一理论中的引力进行量子化。为此，选量子化Green 函数生成泛函Z 的规范固定项

式中λ 为规范固定参数，

鬼项与外场项分别为

式中ξ 为空时任意无穷小矢量。

利用（2）、（9）、（10）和（11）各式定义的拉氏量Lgr、Lst、Lgf、Lgh和Lef，可得到用于引力量子化的约简有效作用量为

式中Leff为该理论引力量子化的有效作用量，且有

求出该理论引力子自由传播子和各种散射传播子。这里把引力自由传播子和引力相互作用3 顶角给出于后。

对于引力子自由传播子，可将（2）式中的Lgr对hμν(x)完（引力扰动）展开，展开式中h2项将贡献这一传播子，同时规范固定项Lgf也将贡献这种传播子。现将结果直接给出如下：

类似地，将Lgr的展式中的h3项收集齐全，通过下式

可得该双变量统一理论中的引力子3 顶角，现将如此得到的一结果列出如下：

该理论中鬼与反鬼粒子的引入，是为了使理论具有最大完备性（对称性），这种粒子将参与相互作用描述，但并无观测效应，对其要求是保证理论自恰。

3 重整化

3.1 发散分析

该理论存在的引力自身的传播子，有2 点、3点、4 点、……散射传播子，由这些传播子按Feynman 规则编织出的相互作用图，将不可避免地出现由粒子动量标定的圈图，这些圈图在积分中的无穷大贡献必须用正规化和重整化手续消去。文献［3］已经用协变手段为4－导数引力的量子化得到了正规化结果，现直接给出如下：

式中Pμν为引力子的反对易外场。在LQG 体制下，解（20）和（21）这两组方程，将有［3］

式中Sμν和Tτσ是引力场hμν的任意Lorentz 协变函数。这里需要指出的是，该理论中虽然存在两个独立变量，但二者构成的仍是一个统一的度量。同时，由于Gauss－Bonnet（G－B）定理的存在，将使得（22）式中的泛函I(hμν)是hμν以及它的0、2、4 导数的任意规范不变的定域泛函。

3.2 发散消除

3.2.1 双变量度量理论的引力重整化Ⅰ——曲率0、1 次方型发散的消除 从发散表达式（23）和（24）可知，这一理论有关引力的发散共有4 种。我们先给出（23）式右侧第一项

对于I(n)中的第二项和第三项

与文献［3］不同，由于（2）式中的曲率平方项不是引力扰动hμν的泛函，而是εμνημν的泛函，利用εμνημν作为函数变量，并采取如上直接构成符号相反结构相同的抵消项来抵消（26）式中的曲率平方型发散，并不能保障数量上真正抵消。这是因为，与4－导数引力不同，这里的hμν和εμν是两个相互间独立的变量，而4－导数理论只具有hμν作为变量。从而，需要进一步使用不同的重整化技术。

3.2.2 双变量度量理论的引力重整化Ⅱ——曲率2 次方型发散的消除

1）组合度量的重整

首先从如下形式的组合度量

开始讨论。前面曾指出，组合度量（27）式是在微观Planck 尺度用等价类手段得到的结果。GR 是在宏观利用Riemann 几何，并通过等效原理，使这一组合度量中的引力扰动hμν(x)，写在了平坦Minkowski 空时背景之上，从而有了GR 中的组合度规表式

这样一来，在GR 中便引入了平直度规ημν。同时，也把狭义相对论作为了它的极限(hμν→0)理论。我们认为，空时作为质地，它的度量εμν(x)ημν具有抵消引力扰动产生发散的作用。为此，它将有与hμν(x)等量的一部分度量被“消耗”。将这一部分记为(εμν(x)ημν)E，则数值上将有等式

这里称(εμν(x)ημν)E为空时重整化折合度量。这里需要指出的是，(εμν(x)ημν)E为εμν(x)ημν中折合出来的一部分，它在数值上与hμν(x)相当，但其本身并非是引力扰动，故而，不贡献引力子。这一性质十分重要，它可用于消除引力相互作用中出现的发散，且不出现负能粒子。另一方面，

中，因用于重整化而剩下的部分

2）作用量的重整

现在考虑作用量。在如上双变量组合度量的重整化方程式下，也将导致作用量（2）式发生改变。（2）式给出的经典作用量S 包括三部分贡献。其中LSO(3，1)在重整化过程中并不发生改变。重整化后的Lgr表达式未改变，不过其中的组合度量ℊμν(x) 需用重整化后的组合度量ℊμν，R(x) 代替。另一发生改变的是空时作用量Lst，现在给出Lst在这一重整化过程中的改变。它的表达式为

式中中间变量 εμν(x) 表征的是空时度量εμν(x)ημν。在考虑了如上组合度量重整化

后，由于组合度量ℊμν(x) 中的空时度量εμν(x)ημν被分解成两部分：

这将导致作用量Lst将分别由如下两个作用量代替：

式中

利用（35）式，把（36）和（37）式代入（2）式，将有考虑了如上重整化前、后的作用量改变

之后的双变量理论的作用量。把得到的这一作用量记为SR，则有

3）引力发散的最终消除

如上用逐阶抵消的方法，消除了（23）和（24）式给出的n 圈阶出现的全部发散。

4 结论

该双变量理论中，认为空时与引力是完全不同的两种概念，它们具有严格区别外，也存在联系［7］。GR 由于自身的体制不能把引力与空时彻底剥离，它的量子化无法找到适当方法得以有效地进行。本文在分别把它们用变量εμν和hμν做彻底的分离表述后，将量子化的空时质地M 提供的信息输入到引力的量子化方程式之中，自恰地克服了以往遇到的困难，完成了一种引力的量子化与重整化的最终研究。

该双变量理论中空时M 的几何以及描述引力激发与跃迁的几何均是LQG 中的非交换几何［9］，从而为引力量子化的研究重新打下了合理的基础。

由于空时M 按G－B 定理提供的拉氏量Lst，与4－导数引力不同，是定义为空时变量εμν的泛函，从而重整化后，它一部分（即Lst，E）将用于抵消引力发散，而另一部分（即Lst，R）将支配空时M 本身的度量演化。这一方面使理论中的引力部分与GR 相同，不出现负能粒子；另一方面，也不再出现与现实物理不相容的多余结果。从而对传统高导数理论引力量子化遇到的问题进行了技术上的解除。解除的关键是把LQG 中空时量子化的信息引入到了引力量子化中来。这说明，引力并不像传递其他相互作用力的粒子那样，只把空时作为背景，即可实现自身的存在与量子化；而是告诉我们，引力与空时既有严格区别，又有相互间的深刻联系。这种区别与联系未阐明之前，引力的量子化不会得到成功。物理学告诉我们，引力场必须与描述空时的度规进行合成，才能得以彻底描述。这是引力的特征，不仅在宏观如此，在微观量子化水平更是如此。这也注定了引力量子化并不排除沿用通常场的量子化方法，但也必须考虑它的特殊之处，最主要的是考虑空时量子化与引力量子化间的关系。否则，按LQG，引力的量子化无法独立地获得与量子化空时自恰的结果。也就是说，要在空时与引力二者量子化的共同研究中，实现引力的量子化。

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