关于静电场中能量概念的讨论

刘克杰

[摘要]本文利用静电场理论分别对静电能、自能、互能以及电势能进行了分析和讨论，从本质上描述出静电能、自能、互能以及电势能的区别和联系，从而使得读者对与静电场能量相关的几个基本概念有了更清晰的认识。

[关键词]静电能 自能 互能 电势能

一、带电体系的静电能与自能

静电能即为电场的能量。移动一个带电体系中的电荷，就要抵抗电荷之间的静电力做一定的功δA从而带电体系的静电能将改变δW，二者的关系是：

δA=δW （1）

这里δA和δW，都是可正可负。例如把同号电荷移近时，δA>0，δW>0即静电能增加；把异号电荷移近时，δA<0 ，δW<0即静电能减少。

上面说的只是静电能的变化，静电能本身的数值是相对的。要谈一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分布在无限远的位置上，通常规定处在这样的状态静电能为零。

设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能W由各带电体之间的相互作用能W互和每个带电体的自能W自组成。即为

W=W自+W互 （2）

把每一个带电体看作一个不可分割的整体，将各个带电体从无限远移到现在的位置所做的功，等于他们之间的相互作用能；把每一个带电体各部分电荷从无限分散的状态聚集起来时所做的功，等于这个带电体的自能。

二、点电荷的相互作用能

电荷之间存在着相互作用的电场力，当电荷之间相互位置发生变化时，电场力要做功，而且，这种功与变化的路径无关，这表明电荷之间有相互作用能（电势能）。带电系统所以具有电势能，是因为任何物体的带电过程都是电荷之间相对迁移的过程，在迁移电荷的过程中，外界必须消耗能量以克服电场力做功。例如，用电池给电容器充电时就消耗电池中的化学能，根究能量守恒和转化定律，外界所提供的能量转化为带电系统的静电能。当带电系统的电荷减少时，或改变他们之间的相对位置时，静电能就转化为其他形式的能量。例如，当以充电的电容器放电时，它储存的电能就会转化为热、光、声等形式的能量。下面先讨论点电荷组中点电荷间的相互作用能.

（一）两个点电荷之间的相互作用能

设带电体系由两个点电荷q1和q2组成，它们之间的距离是r12。在计算功w时，可以有不同的方式。例如可以首先把q1放置在它应在的位置上固定下来，然后再把q2由无穷远处搬来，放到与q1相距r12远的地方，当然也可以反过来进行，结果是一样的。

现在采用第一种方法，在搬用q1时体系中没有其他电荷电场，因而不须做功。搬用q2时，它已经处在q1的电场中，因而须抵抗电场力F12=q2E1做功：

（3）

其中 （4）

它是q1在p2点产生的电势。

同样也可以证明，以第二种方法搬用，须要做的功为

它是q2在p1点产生的电位。

可见两种计算方式所得结果一致：

如上所述，这个A就等于q1，q2之间的相互作用能W互，把它写成对于q1，q2对称的形式，则有

（7）

（二）多个点电荷之间的相互作用能

我们设想把n个点电荷q1，q2......qn依次由无限远的地方搬用到它们应在的位置上根据场强和电势叠加原理不难看出，搬运n个电荷的功用通式来表达

（8）

（9）

Uji代表第j个电荷在第i个电荷所在的位置上产生的电位。因此建立这带电体系的总功为：

（10）

可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功A与搬运电荷的顺序无关。为此只须证明A的表达式可以写成对电荷标号i、j完全对称的形式

（11）

由于式中距离rij与rji显然相等，所以式中qiUji可以写成：

（qiUjt+qjUij） （12）

因而A可以改写成

（13）

其中

三、 连续分部电荷系的静电自能

一个带电体所带的电量Q，可以看成是在无限远处，处于分散状态下的无限多 聚集起来形成的。聚集过程中克服静电斥力作正功，所以“消耗”的能量转化为静电自能 ，式中的u是带电体出dq外，其它电荷在电荷元dq处产生的电势。若这个带电体的体密度是ρ，那么静电自能可以有如下的表示 。显然把带电体Q看作是由无限多的dq所组成，静电自能也叫物体的固有能，其实也是物体相互作用能的一种体现。

四、 电荷在外电场中的电势能

当一个电荷放在外电场中，则这个电荷就有一定的电势能。例如对一个电子加速器两电极产生的电场对电子来说是外电场，则从阴极K到阳极A外电场对电子所做的功为AKA=-eUKA，这就是电子在外电场中的点位能差WKA，普遍的说，一个电荷q在外电场中P、Q两点中的电位能差为WpQ=APQ=qUpQ。若取Q为无穷远点，并令U（∞）=0，W（∞）=0，则电荷q在外电场中的P点的电势能为W（p）=qU。

对于孤立的带电体显然也可以说为互能，但习惯上常把若干个不连续的点电荷组成的体系点电荷之间的相互作用能或若干个不连续的带电体间的相互作用能称为互能，而对于一个孤立带电体常说它的自能，电势能或静电能。

通过上面的讨论，我们对静电场的能量所涉及到静电自能、互能、电势能等概念进行了分析和讨论，描述出它们之间的联系与区别，使初学者对这些概念的本质有更深刻更清晰的理解。

[参考文献]

[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].人民教育出版社，1978年.

[2]张郁.对静电能有关问题的探讨[J].1987年9月.

[3]孙皆宜，刘敏.静电场中的电势能、相互作用能及静电能的联系与区别[J].2005年第6期.

（作者单位：包头师范学院物理科学与技术学院）