利用稳定性解决现实问题

孙彩贤 胡嘉卉

[摘要]常微分方程的平衡点及稳定性在现实中的应用非常广泛，但是如何正确使用这个理论来解决实际问题是有一定难度的.本文主要探索的是稳定性理论服务于军事方面的应用问题，通过具体实例的分析，展示稳定性理论的实用性.

[关键词]常微分方程 稳定性理论 应用数学模型

引言

在数学学科中，稳定性理论是常微分方程中重要的组成部分，一个系统的干扰性因素总是不可避免的，因此稳定性的研究有很重要的理论意义和实用价值，这也是稳定性理论蓬勃发展的原因.平衡点的稳定性特征一般由lyapunov理论确定，lyapunov（李雅普诺夫）是俄国的数学家和工程师，他建立了稳定性的基础理论，本文主要讨论稳定性在军事方面的应用.

一、稳定性理论在军事方面的应用

两个国家或国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量，防御对方可能发动的战争.现在讨论L. F. Richardson1939年提出的一个模型.

为了方便起见，用军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、军事预算等.甲乙双方在时刻t的军备分别记作x（t）和y（t），假设它们的变化只取决于下面3个因素：

1.由于相互不信任及矛盾的发展，一方军备越大，另一方军备增加得越快；

2.由于各方本身经济实力的限制，任一方军备越大，对军备增长的制约作用越大；

3.由于相互敌视或领土争端，每一方都存在着增加军备的固有潜力.

进一步假定前两个因素的影响是线性的，第3个因素的影响是常数，那么x（t）和y（t）的变化过程可用微分方程组

（1）

表示，其中的系数均大于或等于零.k，l是对方军备刺激程度的度量；a，β是己方经济实力制约程度的度量；g，h是己方军备竞赛的固有潜力.

如果我们感兴趣的是军备竞赛的结局由什么因素决定，而不关心竞赛的过程，那么只需用微分方程稳定性理论讨论时间充分长以后x（t），y（t）的变化趋势，即方程（1）的平衡点的稳定情况.

令（1）式右端等于零，容易算出平衡点

为

（2）

方程（1）的系数矩阵为

于是按照判断平衡点稳定性的方法计算

（3）

（4）

由稳定性准则，当

（5）

时，平衡点（x0，y0）是稳定的； 反之，是不稳定的.

这就是说，在（5）式的条件下，时间足够长以后双方的军备将分别趋向一个有限值，军备竞赛是稳定的.

模型的定性解释

根据方程（1）和平衡点稳定性的分析，可以解释几个简单而又重要的现象.

1.条件（5）表明，当双方的经济制约程度βα大于双方的军备刺激程度kb时，军备竞赛才会趋向稳定.反之，（x（t），y（t））将趋向无穷，竞赛无限地进行下去，可能导致战争.

2.由（2）式，如果g=h=o，则x0=0，y0=0是方程（1）的平衡点，并且在条件（5）下它是稳定的.于是如果在某个时候t0有x（t0）=y（t0）=0，x，y就永远保持为零.这种情况可以解释为双方不存在任何敌视和争端，通过裁军可以达到持久和平.两个友好的邻国正是这样.

3.如果g，h≠0即使由于某种原因（如裁军协定）在某个时候双方军备大减，不妨设x（t0）=y（t0）=0，那么因为x`=g，y`=h也将使双方重整军备.这说明未经和解的裁军（即不消除敌视或领土争端）是不会持久的.

4.如果由于某种原因（如战败或协议）在某个时候一方的军备大减，不妨设x（t0）=0，那么因为x`=ky+g也将使该方重整军备.这说明存在不信任（k≠0）或固有争端（g≠0）的单方面裁军也不会持久.

模型参数的估计

为了利用（5）式判断军备竞赛是否会趋于稳定，需要估计α，β，k，l的数值.，下面提出的一种方法.

1.k，l估计

设x（0）=0，当t较小时，忽略g和-αx的作用，并近似地假定y=y1不变，由方程（1）得

x`=ky1（x→ky1t） （6）

如果当t=τ时x=y1，则由（6）式得到

k-1=τ （7）

这说明k-1是甲方军备从0到赶上乙方军备y1所需的时间.

例如德国从1933年开始重整军备，只用了约3年的时间就赶上了它的邻国.假设它增加军备的固有潜力g被制约效应ax所抵消，那么可以认为德国的k-1

≈3年，即k≈0.3.

l可以类似地估计，或者合理地假定它与国家的经济实力成正比.这样若乙国的经济实力是德国的2倍，则可以估计l≈0.6.

2.α，β的估计

设g=0，y=0，由方程（1）可得

x（t）=x（0）e-at

以t=a-1代人算出

这表示a-1是在乙方无军备时甲方军备减少到原来的1/e所需的时间.当t=5时，a≈0.2.

二、结束语

本文主要研究了常微分方程的平衡点稳定性问题，常微分方程的平衡点及稳定性在实际生活中的应用十分广泛，通过本文的讨论，加深了数学在实际中应用的认识，对加强利用常微分方程的平衡点及稳定性知识解决实际问题的能力有一定的参考和指导意义.

[参考文献]

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社出版，1997.6

[2]哈里尔.非线性系统（第三版）[M].北京：电子工业出版社，2005，7.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数教程[M].北京：高等教育出版社，1988.3.

[4]秦元勋，王慕秋，王联.运动稳定性理论与应用[M].北京：科学出版社，1981.6.

（作者单位：河南工业大学理学院 河南郑州）