δ-方法在统计量渐近分布中的应用

周 小 双

(德州学院 数学科学学院，山东 德州 253023)

统计量的分布称抽样分布，它在研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性等方面十分重要. 近代统计学的创始人之一，英国统计学家Fisher R A 曾把抽样分布、参数估计和假设检验列为统计推断的3个中心内容. 因此寻求抽样分布的理论与方法十分重要. 而一些统计量的精确分布我们无从得知，因此寻求统计量的渐近分布成了概率论与数理统计教学内容中的重要内容. δ -方法是概率论与数理统计教学中一个极其重要的结论，将δ -方法与其他结论有效的结合可以简化一些统计量渐近分布的求解与证明. 本文主要通过实例强调说明了δ -方法在统计量渐近分布中的重要应用.

1 主要引理

引理1[1]38-39(Slutsky 引理)设和{Yn}是两个随机变量序列，若( c为常数)，则有：特别地，若则有(去0 律)；若，则有(去1 律).

引理2[1]36(中心极限定理)设随机样本 X1, X2, … ,Xn独立同分布，且 EXi= μ，为样本均值，则有

引理3[2]205-206(辛钦大数定律) 设 X1, X2,… 是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在： EXi= a ，i= 1,2,…则有

引理4[1]38设{ Xn}是随机变量序列， c 为常数，则

引理5[1]41(连续映射定理)设为一随机变量序列，且( c 为常数)，又函数g (·) 在点 c 处连续，则

2 δ -方法的证明

定理1 (δ -方法) 当 n →∞ 时，设数列 an→∞ ，随机变量序列函数 f ( x )在x =b处存在二阶连续导数，则有：

3) 若 f ′( b) = 0,f ′( b) ≠0，则

证明 主要应用Slutsky 引理. 当n →∞时:

3) 对βn进行二阶Taylor 展开可得

3 实例分析

例1 设X1, X2, …,Xn是来自两点分布 b(1,θ )的随机样本，其中求样本均值的函数的渐近分布.

在δ - 方法中取 f ( x )= x(1 - x)，则 f ′ ( x) = 1- 2x 在 (0,1)上连续，取显然 an→∞，则由δ-方法可知

例2 设X1, X2, … ,Xn是来自两点分布 b(1,θ )的随机样本，其中0 ＜ θ＜ 1，证明具有渐近正态分布，并且其方差与参数无关.

证明 易知 EXi= θ，Var ( Xi)= θ( 1 -θ )，故由中心极限定理可知

例3 (样本标准差的渐近分布) 设X1, X2, … ,Xn为独立同分布的样本， E ( Xi)= μ， 0 ＜ Var ( Xi)= σ2＜∞，且v4= E ( Xi- μ)4＜∞ ，i = 1, … ,n，求的渐近分布，其中 γ2= v4- σ4.

例4 设X1, X2, … , Xn为独立同分布的样本， E ( Xi)= μ， Var ( Xi)= σ2＜∞，设函数 h (t )的二阶导数h ′ (t )在t = μ处连续，且 h′ ( μ )= 0.

2) δ -方法中取 f ( x ) = x( 1 - x)，则 f ′( x) = 1 - 2x ， f ′ ( x) =-2 ,有因而有且而其中

[1]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003.