页岩气体积压裂缝网模型分析及应用

程远方 李友志 时 贤 吴百烈 王 欣 邓文彪

1．中国石油大学（华东）石油工程学院 2．中国石油勘探开发研究院廊坊分院

随着北美地区页岩气勘探的巨大成功，页岩气资源的勘探开发在全球范围内持续升温［1－2］。美国页岩气商业开发的经验表明，水平井技术和水力压裂技术是获得页岩气工业气流的关键技术［3］。以体积压裂［4］技术为代表的增产技术将是未来开采页岩一类特低渗透非常规油气藏的核心技术，由于形成了复杂的裂缝网络系统，增大了裂缝壁面与页岩基质的接触面积，进而提高储层整体渗透率，实现了对页岩层整体上的三维压裂改造。

在页岩层进行体积压裂时，由于页岩特殊物理性质及其内部天然裂缝的影响，会产生一个水力裂缝与天然裂缝相互连通的复杂缝网系统［5－7］。而传统水力压裂模型（二维、拟三维、全三维模型）都是基于双翼对称裂缝理论，假设裂缝为单一形态裂缝，不适用于天然裂缝及层理发育、各向异性突出的页岩气体积压裂缝网系统的分析，因此需要建立专门的缝网压裂模型来模拟页岩层缝网几何形态及其扩展规律［8］。

笔者给出了离散化缝网模型和线网模型两种页岩气体积压裂缝网模型的原理、缝网几何形态表征方法以及相应数学方程，分析了两种模型的优缺点，并利用两种模型进行了敏感性因素分析，深化了对页岩气缝网压裂优化设计方法的理解。

1 体积压裂缝网模型

1．1 离散化缝网模型

离散化缝网模型（DFN）最早由 Meyer［9－10］等人提出。该模型基于自相似原理及Warren和Root的双重介质模型，利用网格系统模拟解释裂缝在3个主平面上的拟三维离散化扩展和支撑剂在缝网中的运移及铺砂方式，通过连续性原理及网格计算方法获得压裂后缝网几何形态。

DFN模型基本假设如下：①压裂改造体积为2a×2b×h的椭球体，由直角坐标系XYZ表征，X轴平行于最大水平主应力（σH）方向，Y轴平行于最小水平主应力（σh）方向，Z轴平行于垂向应力（σv）方向；②包含一条主裂缝及多条次生裂缝，主裂缝垂直于σh方向，在X－Z平面内扩展，次生裂缝分别垂直于X、Y、Z轴，缝间距分别为dx、dy、dz；③考虑缝间干扰及压裂液滤失；④地层及流体不可压缩。基于以上假设，作出DFN模型几何模型的示意图（图1）。

DFN模型主要数学方程如下所示。

1）连续性方程

在考虑滤失的情况下，压裂液泵入体积与滤失体积之差等于缝网中所含裂缝的总体积。即

式中q为压裂液流量，m3／min；Vl为滤失量，m3；Vsp为初滤失量，m3；Vf为总裂缝体积，m3。

2）流体流动方程

假设压裂液在裂缝中的流动为层流，遵循幂率流体流动规律，其流动方程为：

式中p为缝内流体压力，MPa；n′为流态指数，无因次；k′为稠度系数，Pa·sn；a、b分布为椭圆长轴半长及短轴半长，m；Φ（n′）为积分函数，无因次。

3）缝宽方程

主裂缝缝宽方程为：

假设所有垂直于ζ轴的次生缝缝宽相同，与主裂缝缝宽之比为λζ，则次生裂缝缝宽方程为：

式中wx为主裂缝缝宽，mm；Γw为功能函数；E为弹性模量，MPa；v为泊松比，无因次；σh为最小水平主应力，MPa；Δσxx为缝间干扰应力，MPa；ζ代表x、y、z；wζ为垂直于ζ轴的次生缝缝宽，mm；λζ为垂直于ζ轴的次生缝缝宽与主裂缝缝宽之比，无因次。

应用离散化缝网模型进行压裂优化设计时，需要首先设定次生裂缝缝宽、缝高、缝长等参数与主裂缝相应参数的关系，假设次生裂缝几何分布参数；然后按设计支撑剂的沉降速度以及铺砂方式，将地层物性，施工条件等参数代入以上数学模型，通过数值分析方法求得主裂缝的几何形态和次生裂缝几何形态；最后得到压裂改造后的复杂缝网几何形态。

DFN模型是目前模拟页岩气体积压裂复杂缝网的成熟模型之一，特别是考虑了缝间干扰和压裂液滤失问题后，更能够准确描述缝网几何形态及其内部压裂液流动规律，对缝网优化设计具有重要意义。其不足之处在于需要人为设定次生裂缝与主裂缝的关系，主观性强，约束条件差，且本质上仍是拟三维模型。

1．2 线网模型

线网模型又称 HFN模型，首先由Xu等人［11－14］提出，该模型基于流体渗流方程及连续性方程，同时考虑了流体与裂缝及裂缝之间的相互作用。

HFN模型基本假设如下：①压裂改造体积为沿井轴对称2a×2b×h的椭柱体，由直角坐标系XYZ表征，X轴平行于σH方向，Y轴平行于σh方向，Z轴平行于σv方向；②将缝网等效成两簇分别垂直于X轴、Y轴的缝宽、缝高均恒定的裂缝，缝间距分别为dx、dy；③考虑流体与裂缝以及裂缝之间的相互作用；④不考虑压裂液滤失。基于以上假设，做出HFN模型的几何模型示意图（图2）。

HFN数学模型如下所示。

1）连续性方程

在不考虑压裂液滤失的情况下，泵入压裂液的体积与所形成裂缝的总体积相等。即

式中q为压裂液流量，m3／min；ti为施工时间，min；h为裂缝缝高，m；Nx、Ny分别为垂直于X轴、Y轴的裂缝的条数，无因次；Lxi、Lyi分别为垂直于于X轴的第i条裂缝和平行于Y轴的第j条裂缝的长度，m；wx、wy分别为垂直于X轴裂缝和垂直于Y轴裂缝的缝宽，mm。

2）流体渗流方程

由于缝网内裂缝宽度很小，因此可以假设流体在裂缝中的流动遵循流体渗流方程，则椭圆渗流方程为：

式中B为第二类椭圆积分，无因次；γ为椭圆纵横比，γ＝b／a；Kfx、Kfy分别为垂直于X轴、Y轴方向的裂缝渗透率，mD；μ为压裂液黏度，mPa·s；φ为裂缝孔隙度，无因次。

3）缝宽方程

假设相互平行的裂缝缝宽相同，则垂直于ζ方向的裂缝缝宽方程为：

式中ζ代表x、y；wζ是垂直于ζ方向的裂缝缝宽，mm；E为弹性模量，MPa，v为泊松比，无因次；p为缝内流体压力，MPa；σc代表垂直于ζ方向的水平主应力σh或σH，MPa；Δσζζ为缝间干扰应力，MPa。

将方程（8）代入方程（5）（6）（7），并联立方程（5）（6）（7）可以获得线网模型的方程组：

其中

方程组（9）含有12个变量，在已知其中9个变量的前提下，即可通过求解该方程组求得另外3个变量。因此在利用HFN模型进行缝网压裂优化设计时，可先通过微地震监测获得缝网几何形态参数（h、a、b），通过岩石力学常规三轴实验获得岩石物性参数（E、v），根据压裂施工方案获得施工参数（p、q、t、μ），然后利用半解析法求解方程组（11），获得缝网分布参数（dx、dy）及差应力（Δσ）。反之，若已知缝网分布及差应力，则通过计算HFN模型，可以获得缝网几何形态参数（h、a、b）。

HFN模型考虑了压裂过程中改造体积的实时扩展以及施工参数的影响，能够对已完成压裂进行缝网分析，同时可以基于该分析对之后的压裂改造方案进行二次优化设计。其不足之处在于模拟缝网几何形态较为简单，需借助于地球物理技术的帮助获取部分参数，同时由于不能模拟水平裂缝的起裂及扩展问题，及忽略了滤失问题，所以使用时具有较大的局限性。

2 缝网模型应用

Marcellus页岩区块是美国成功进行商业化开采的页岩区块之一，Henry等人给出了该区块压裂的基础参数［15］。因为岩石物性、施工参数及缝网分布参数均能对缝网几何形态参数（h、a、b）、压裂改造体积以及缝网导流能力产生影响，因此这里以Marcellus页岩区块压裂水平井A为例，分别利用DFN模型和HFN模型重点分析纵横比、施工排量以及压裂液泵入总量的影响规律，进一步优化压裂施工参数。

A井垂深2 380m，水平井段长1 828m，目标页岩层在2 370～2 397m，层厚27m，基质渗透率为0．002mD，各层岩石物性参数如表1所示；本井共进行了七级清水压裂，每一级有5簇射孔段，每一簇含8个射孔孔眼；选择100目石英砂作为支撑剂，假设支撑剂在所有裂缝中均匀分布，沉降速率为1．27mm／min。两个模型均假设缝网由两簇分别垂直于最大、最小水平主应力的垂直缝组成，不含水平缝。

表1 岩石物性参数表

2．1 纵横比影响规律

纵横比b／a定义了缝网在Y方向和X方向延伸的最大长度之比，可通过微地震直接得到。假设压裂施工参数恒定，排量为16m3／min，总泵入液量为1 600m3，缝间距dx＝dy＝15m；改变纵横比，其变化范围为0．1至1，分别利用DFN模型和HFN模型计算缝网的几何形态参数（h、a、b），得到压裂改造体积（VSRV），然后再确定此缝网的导流能力，最终获得纵横比对缝网几何形态参数、压裂改造体积及缝网导流能力的影响规律。

DFN模型和HFN模型计算所得缝网最大缝高分别为27．9m和27．2m，不随纵横比的变化而变化。在相同压裂施工条件下，随着纵横比的增大，a逐渐降低，b逐渐增大，压裂改造体积逐渐增大；对于DFN模型，a由500m降低至176m，b由50m增大至176 m，压裂改造体积由147×104m3增大至179×104m3；对于 HFN模型，a由435m降低至158m，b由43．5m增大至158m，压裂改造体积由214×104m3增大至264×104m3。在相同纵横比下，利用DFN模型计算的缝网几何参数比HFN计算值大（图3－a）；而利用DFN模型计算的压裂改造体积比HFN模型计算值小（图3－b）。

缝网导流能力为缝网平均缝宽与缝网平均渗透率之积，反映了流体在缝网中的流动能力。由图4可知：随着纵横比的增大，缝网导流能力降低；对于DFN模型，缝网导流能力从181mD·m降低至117mD·m；对于HFN模型，缝网导流能力从167mD·m降低至126mD·m。当纵横比小于0．6时，DFN模型计算得到的缝网导流能力偏大；当纵横比大于0．6时，HFN模型计算值偏大。

纵横比主要受水平地应力差的控制，水平地应力差越小，纵横比越大，压裂改造体积越大而缝网导流能力越小。因此在优选压裂层位时，应该综合考虑目标压裂改造体积与目标缝网导流能力，优选具有合适水平地应力差的地层。

2．2 排量影响规律

图3 缝网几何参数（a）、压裂改造体积（b）与纵横比关系图

图4 缝网导流能力与纵横比关系图

压裂过程中，排量为可控施工参数。假设压裂液总泵入量为1 600m3，dx＝dy＝15m，γ＝0．2；改变压裂液排量，其变化范围为2m3／min到20m3／min，分别利用DFN模型和HFN模型计算缝网的几何形态参数，得到压裂改造体积，然后再确定此缝网的导流能力，最终得到排量对缝网几何形态参数、压裂改造体积及缝网导流能力的影响规律。

DFN模型和HFN模型计算所得缝网最大缝高分别为27．9m和27．2m，不随排量的变化而变化。在其他条件相同的情况下，随着排量的增大，a和b逐渐增大，压裂改造体积逐渐增大；对于DFN模型，a由243m增加至380m，b由49m增大至76m，压裂改造体积由68×104m3增大至169×104m3；对于 HFN模型，a由218m增加至325m，b由44m增大至65 m，压裂改造体积由82×104m3增大至181×104m3。在相同排量下，利用DFN模型预测的缝网几何参数比HFN模型预测值大（图5－a）；而利用DFN模型计算的压裂改造体积比HFN模型计算值小（图5－b）。

图5 缝网几何参数（a）、压裂改造体积（b）与排量关系图

由图6可知，随着排量的增大，缝网导流能力增大；对于DFN模型，缝网导流能力从114mD·m增大至163mD·m；对于HFN模型，缝网导流能力从106mD·m增大至169mD·m。当流量低于14m3／min时，DFN模型计算的缝网导流能力偏大；当流量高于14m3／min时，HFN模型计算值偏大。

因此，在施工条件允许范围内，增大排量，有利于形成具有高导流能力和大压裂改造体积的复杂缝网。

2．3 压裂液泵入总量影响规律

假设压裂施工排量为16m3／min，dx＝dy＝15m，γ＝0．2；改变压裂液泵入总量，变化范围为200～2 000m3，分别利用DFN模型和HFN模型计算缝网的几何形态参数，得到压裂改造体积，然后再确定此缝网的导流能力，最终获得压裂液泵入总量对缝网几何形态参数、压裂改造体积及缝网导流能力的影响规律。

DFN模型和HFN模型计算所得缝网最大缝高分别为27．9m和27．2m，不随压裂液泵入总量的变化而变化。在其他条件相同的情况下，随着压裂液泵入总量的增大，a和b逐渐增大，压裂改造体积逐渐增大；对于DFN模型，a由171m增加至395m，b由34 m增大至79m，压裂改造体积由34×104m3增大至183×104m3；对于 HFN模型，a由153m增加至340 m，b由31m增大至68m，压裂改造体积由40×104m3增大至197×104m3；在泵入相同体积压裂液的情况下，利用DFN模型计算的缝网几何参数比HFN模型计算值大（图7－a）；而利用DFN模型计算的压裂改造体积比HFN模型计算值小（图7－b）。

由图8可知，随着压裂液泵入总量的增大，缝网导流能力增大；对于DFN模型，缝网导流能力从145mD·m增大至158mD·m，且当压裂液泵入总量超过1 200m3后，缝网导流能力基本保持不变；对于HFN模型，缝网导流能力从134mD·m增大至163mD·m。当压裂液泵入总量低于1 400m3时，DFN模型计算得到的缝网导流能力偏大；当压裂液泵入总量高于1 400m3时，HFN模型计算值偏大。

因此，在施工条件允许范围内，适当增大压裂液泵入总量有利于形成具有高导流能力和大压裂改造体积的复杂缝网。

3 结论

1）离散化缝网模型及线网模型均能有效表征复杂缝网几何特征，模拟缝网中压裂液的流动及支撑剂的运移，获得缝网扩展规律及几何形态参数，优选压裂施工方案。

2）离散化缝网模型基于缝内流体流动理论，考虑滤失及支撑剂运移，人为设定次生裂缝分布及与主裂缝几何参数关系，可以对水平井及直井进行参数优化，但人为假设次生缝主观性较强；线网模型基于流体渗流理论，能够模拟裂缝的实时扩展，但需要微地震进行约束，另外由于忽略了滤失问题，且仅能对垂直裂缝进行有效模拟，所以有一定局限性。

3）离散化缝网模型假设压裂改造体积为椭球体，线网模型假设压裂改造体积为椭柱体。对于缝网几何参数（h、a、b），离散化缝网模型计算值比线网模型计算值大；而对于压裂改造体积，离散化缝网模型计算值比线网模型计算值小。

4）地应力差越小，纵横比越大，缝网压裂改造体积越大，导流能力越低。因此在压裂层位优选时，需综合考虑目标压裂改造体积和目标缝网导流能力，选择具有合适水平地应力差的页岩层。

5）在施工条件允许范围内，增大压裂施工排量和压裂液泵入总量，有利于形成具有大压裂改造体积及高导流能力的复杂裂缝网络系统。

［1］蒲泊伶，蒋有录，王毅，等．四川盆地志留统龙马溪组页岩气成藏条件及有利地区分析［J］．石油学报，2010，31（2）：225－231．PU Boling，JIANG Youlu，WANG Yi，et al．Analysis of the reservoir－forming conditions of shale gas potential in Sichuan Basin［J］．Acta Petrolei Sinica，2010，31（2）：225－231．

［2］邹才能，董大忠，杨桦，等．中国页岩气形成条件及勘探实践［J］．天然气工业，2011，31（12）：26－39．ZOU Caineng，DONG Dazhong，YANG Hua，et al．Conditions of shale gas accumulation and exploration practices in China［J］．Natural Gas Industry，2011，31（12）：26－39．

［3］张抗．页岩气发展的中国之鉴——致密油气和煤层气［J］．天然气工业，2013，33（4）：18－25．ZHANG Kang．Lessons for shale oil ＆ gas development from that of tight oil ＆ gas and coalbed methane gas in China［J］．Natural Gas Industry，2013，33（4）：18－25．

［4］王海庆，王勤．体积压裂在超低渗油藏中的开发应用［J］．中国石油和化工标准与质量，2012，32（2）：143．WANG Haiqing，WANG Qin．Application of volume fracturing in ultra－low permeability reservoirs［J］．China Petroleum and Chemical Standard and Quality，2012，32（2）：143．

［5］杜林麟，春兰，王玉艳，等．页岩储层水力压裂优化设计［J］．石油钻采工艺，2010，32（增刊1）：130－132．DU Linlin，CHUN Lan，WANG Yuyan，et al．Hydraulic fracturing optimization for shale reservoirs［J］．Oil Drilling＆ Production Technology，2010，32（S1）：130－132．

［6］雷群，胥云，蒋廷学，等．用于提高低—特低渗油气藏改造效果的缝网压裂技术［J］．石油学报，2009，30（2）：237－241．LEI Qun，XU Yun，JIANG Tingxue，et al．"Fracture network"fracturing technique for improving post－fracturing performance of low and ultra－low permeability reservoirs［J］．Acta Petrolei Sinica，2009，30（2）：237－241．

［7］张小涛，吴建发，冯曦，等．页岩气藏水平井分段压裂渗流特征数值模拟［J］．天然气工业，2013，33（3）：47－52．ZHANG Xiaotao，WU Jianfa，FENG Xi，et al．Numerical simulation of seepage flow characteristics of multi－stage fracturing（MSF）in horizontal shale gas wells［J］．Natural Gas Industry，2013，33（3）：47－52．

［8］张士诚，牟松茹，崔勇．页岩气压裂数值模型分析［J］．天然气工业，2011，31（12）：81－84．ZHANG Shicheng，MU Songru，CUI Yong．Numerical simulation models with hydraulic fracturing in shale gas reservoirs［J］．Natural Gas Industry，2011，31（12）：81－84．

［9］MEYER B R，BAZAN L W．A discrete fracture network model for hydraulically induced fractures：Theory，parametric and case studies［C］∥paper 140514－MS presented at the SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition，24－26January 2011，the Woodlands，Texas，USA．New York：SPE，2011．

［10］MEYER B R，BAZAN L W，JACOT R H，et al．Optimization of multiple transverse hydraulic fractures in horizontal wellbores［C］∥paper 131732－MS presented at the SPE Unconventional Gas Conference，23－25February 2010，Pittsburgh，Pennsylvania，USA．New York：SPE，2009．

［11］XU W X，THIERCELIN M，GANGULY U．Wiremesh：A novel shale fracturing simulator［C］∥paper 140514－MS presented at the CPS／SPE International Oil ＆ Gas Conference and Exhibition，8－10June 2010，Beijing，China．New York：SPE，2010．

［12］XU W X，CALVEZ J L，THIERCELIN M．Characterization of hydraulically－induced fracture network using treatment and microseismic data in a tight－gas sand formation：A geomechanical approach［C］∥paper 125237－MS presented at the SPE Tight Gas Completions Conference，15－17 June 2009，San Antonio，Texas，USA．New York：SPE，2009．

［13］XU W X，THIERCELIN M，WALTON I．Characterization of hydraulically－induced shale fracture network using an analytical／semi－analytical model［C］∥paper 124697－MS presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition，4－7October 2009，New Orleans，Louisiana，USA．New York：SPE，2009．

［14］XU W X，THIERCELIN M，CALVEZ J L，et al．Fracture network development and proppant placement during slickwater fracturing treatment of Barnett Shale laterals［C］∥paper 135484－MS presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition，19－22September 2010，Florence，Italy．New York：SPE，2010．

［15］JACOT R H，BAZAN L W，MEYER B R．Technology integration：A methodology to enhance production and maximize economic in horizontal Marcellus shale wells［C］∥paper 135262－MS presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition，19－22September 2010，Florence，Italy．New York：SPE，2010．