开关磁阻电机伺服系统的L2增益鲁棒控制方法

程 勇，林 辉

（1.西北工业大学 自动化学院，陕西 西安 710072；2.西安科技大学 电气与控制工程学院，陕西 西安 710054）

0 引言

开关磁阻电机SRM（Switched Reluctant Motor）伺服系统要求具有精确的速度跟踪能力和很强的扰动抑制能力，但是其双凸极结构形成了磁场非线性[1]，并由此影响转矩输出形成脉动。虽然SRM结构相对简单，但是很难由一个准确的数学解析表达式来描述，这给SRM的研究带来了一定的困难。在伺服控制过程中，实现对转速跟踪和各类扰动抑制，并且保持电机的工作特性稳定是各国学者研究的热点。

伺服控制中，常见的控制方法是PID算法，由于其控制参数固定，很难在扰动下达到满意的控制效果。L2鲁棒控制器已经被证明是一种在不同的伺服系统中抑制扰动的有效方法[2-6]。结合SRM转矩和磁链的非线性特性和L2鲁棒控制器要求，通过推导转速误差，提出了将转速跟踪和扰动抑制都转化为L2增益鲁棒控制的思想。而且控制系统需要内环控制器跟随鲁棒控制输出转矩指令，实现对SRM的鲁棒控制。常用转矩控制方法是通过神经网络逼近非线性SRM内部转矩模型，然后采用转矩分配法实现转矩的分配控制。转矩分配法需要再次计算控制电流，控制律复杂。本文采用直接瞬时转矩控制（DITC）方法，该方法[7-12]已经被证明是一种算法简单、具有广泛适用性的转矩控制方法。

本文提出了一种结合DITC方法的L2鲁棒控制系统。通过设计存储函数，以数学和仿真实验证明了这种控制方法不仅能够实现对扰动的抑制，而且实现了基于鲁棒控制下的转速跟踪和基于DITC的转矩控制。与文献[13]提出的鲁棒控制系统相比，本文提出的鲁棒控制不是通过标称系统（系统精确建模部分）的稳定性控制，来实现系统在运行时对不确定性引起的初始条件的响应的稳定性控制。因为基于标称系统的控制方法与实际工程中差距较大，而且设计系统时无法事先定量地把握不确定性对系统性能品质的影响[13]。本文通过L2控制器解决了SRM伺服系统的转速跟踪问题和扰动抑制问题。仿真研究的结论证明了这种方法的正确性。

1 问题提出

在SRM中，有：

其中，U为绕组相电压，i为绕组电流，θ为转子位置角，ψ（i，θ）为电机定子的相绕组磁链。

每相绕组磁链ψ（i，θ）是关于绕组相电流和转子位置角的函数：

其中，L为相电感。

按照力学定律可列出在电动机电磁转矩Te和负载转矩TL作用下的转子机械运动方程：

其中，J为开关磁阻电机的转动惯量，kω为摩擦系数，ω为电机角速度。

2 控制律推导

2.1 L2增益鲁棒控制理论概述

假设如下系统：

其中，w为系统中未知干扰，z为罚函数。

在该系统中，定义L2增益为：

由式（5）可见，F越小说明干扰信号对评价信号的影响越小，系统抑制扰动能力越强。干扰抑制等价为设计控制器使闭环系统L2增益尽可能小或者小于某一给定的值，同时保证干扰为零时的闭环系统渐近稳定[2-4]。

给定的正数γ＞0，如果对闭环系统可以找到可微的正定函数V（x）满足

就说明L2增益小于给定的性能指标γ，达到了抑制扰动的目的，这就是L2增益控制。

2.2 L2控制问题的描述

为了实现对速度的准确跟踪，对扰动信号的抑制作如下定义。

定义1 定义速度误差：

其中，ω*为恒定速度的给定量。

定义2 干扰抑制的评价信号为：

其中，p1＞0为加权系数。

由此可见，L2鲁棒控制器的设计问题可以描述为：对给定控制对象求反馈控制律使得闭环系统满足如下条件。

a.当扰动TL=0时，对于任意初始状态系统满足全局渐近稳定。

其中，T＞0为有限时间，γ＞0为给定干扰的抑制度。

2.3 L2鲁棒控制律推导

定义3 对系统定义供给率为：

其中，FL为系统干扰，FL=TL。

如果系统对上述供给率是耗散的，那么存在正定函数 V（x），使得：

其中，V（x）为存储函数。从而将耗散性和L2增益约束条件联系起来。

以e为状态变量，构成如下系统：

定理1 对于式（11）系统有：

其中，K1＞0为给定增益系数，γ＞0为给定干扰抑制度。那么，式（12）就是系统的L2控制器。

a.系统耗散性证明。

b.闭环系统全局渐近稳定性证明。

当TL=0时，将Te代入V˙有：

闭环系统全局渐近稳定。

3 仿真验证

考虑到转矩特性的非线性，常见的转矩分配方法实用性不强。所以系统仿真结构如图1所示，采用转速和转矩双闭环的控制结构。鲁棒控制器根据速度给定ω*、反馈误差e和反馈转速ω，按照式（12）的控制律输出转矩指令Te。由于SRM转矩的非线性，文献[13]采用文献[14]转矩模型实现鲁棒控制。考虑控制对象的通用性，鲁棒控制系统的内环通过DITC实现对L2控制器输出跟踪。直接瞬时转矩的控制滞环策略采用文献[8]的方法。

图1 系统结构图Fig.1 System structure

系统参数为：采用四相8／6式SRM，转动惯量J=0.0035 kg·m2，摩擦系数 kω=0.04 mN·m·s／rad，开通角度 θon和关断角度 θoff分别为 3°和 22°。 取 γ=0.5，K1=100，p1=0.1，系统目标转速是 500 r／min，启动负载为3.5 N·m。0.4 s时，负载跃变为2.5 N·m。图2是速度仿真结果，图3是图2的局部放大图。

图2 速度仿真曲线Fig.2 Simulative speed curve

图3 局部放大图Fig.3 Partial enlarged curve

通过仿真曲线可以看出，L2增益鲁棒控制的方法满足速度跟随给定的要求。电机带载转速在0.15 s附近达到500 r／min。转速经过短暂的速度超调后达到稳态。在0.4 s时，系统负载发生跃变，在L2控制器的作用下，系统迅速地稳定下来。通过式（5）、（6）、（12）可知，在 L2控制器中，p1对 Z 的范数有影响；而γ是扰动抑制度，理论上越小越好，但是过小会产生很大的输出量。

由上可知，L2鲁棒控制器实现了转速的跟踪控制和负载扰动的抑制。

4 结语

文章给出了SRM伺服系统速度跟踪系统的L2鲁棒控制器的设计方法，推导出了鲁棒控制律，并且给出了抑制扰动和渐近稳定相关的数学证明。控制系统的转矩内环采用了基于DITC的转矩控制系统。仿真实验证明，L2鲁棒控制系统能够满足抑制扰动和转速跟踪的控制要求。