解分式方程的教学实践与探究

杨波

人教版九年义务教育数学教材中，解分式方程安排在八年级下期系统学习了分式的四则运算之后，专用一小节学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用，另外在九年级上期一元二次方程一章学习了一元二次方程的解法之后涉及了可化为一元二次方程的分式方程的解法。

分式方程的教学是初中阶段代数方程教学中的重要内容。在分式方程的教学中，要让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的数学模型，解分式方程的基本方法是去分母法，通过这种解法的教学渗透一种重要的数学思想，即转化思想。通过探究，我们总结出了分式方程教学的基本模式：创设问题情境——列出分式方程——归纳得出概念——自主探究解法——合作交流疑点——剖析增根原因——总结验根方法——练习巩固提高。在教学可化为一元一次方程的分式方程时，我们进行了如下教学设计：

（一）确立导学目标

知识技能：了解分式方程定义，理解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。

过程方法：通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的数学模型，发展学生分析和解决实际问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。

情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，增强在数学活动中运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。

（二）确定导学重难点

导学重点：解分式方程的基本思路和方法。

导学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。

（三）导学过程设计

1.创设问题情境，引导列出方程。

数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。为此，我们设置了两个问题情境：

情境一：在一次信息技术课上，老师对同学们进行打字速度测试。在相同时间内，吴龙同学录入了80个字，罗静同学录入了60个字，已知吴龙每分钟比罗静多录入5个字，求罗静同学每分钟录入多少个字？

情境二：暑假期间，乐乐一家从烟台乘船到大连旅游。在船上，乐乐的爸爸给她出了这样一道题：我们这艘船在静水中的最大航速为20千米∕时，它以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间是相等的。乐乐，你能计算出海水的流速是多少吗？看到乐乐眉头紧锁的样子，妈妈给了她一点提示：我们可以考虑用方程的思想来解决这个问题。同学们，你能帮助乐乐列出方程吗？

老师启发学生设适当的未知数，根据题意列出方程。同学们经过思考，不难列出方程。在情境一中，设罗静同学每分钟录入 个字，可列方程为： ；在情境二中，设海水的流速为 千米/时，可列方程为。

老师启发学生观察方程的特点，引导学生归纳得出分式方程的概念，并让学生领会分式方程与以前学过的整式方程的区别。

2.自主探究解法，合作交流疑点。

现代认知学习理论认为：数学学习的过程是学生在教师的引导下，能动的构建数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。所以在课堂中教师不应单纯地讲解知识，应引导学生主动探究。在分式方程教学中，教师要有意识地引导学生主动参与学习，鼓励学生进行自主探索和反思并与同学、老师共同合作交流。在新知识的学习过程中引导学生去体会数学思想，使学生对解分式方程的基本思想方法的认识理解能随着学习内容的扩充而不断深化。让学生主动的获得知识，而且在学习过程中产生积极的学习体验和兴趣，同时提高对新知识与已熟悉知识之间联系的认识。

对于刚才列出的分式方程，启发学生通过与含有分母的一元一次方程的解法进行类比，自主探究其解法。部分学生通过类比，得出了通过去分母转化为整式方程求解的基本方法。教师引导学生反思探究过程，归纳出解分式方程的一般方法，让学生体验到转化这一重要的数学思想，解分式方程的基本思想就是要通过去分母把分式方程转化为整式方程再求解。这也体现了数学上常常要化新知为旧知的基本思路。

此时，教师给出一个会产生增根的分式方程让学生求解，并要求学生验根。例如：解分式方程 。

学生在解出 后进行验根，却发现原方程的分母为0。由此产生疑问，这是怎么回事呢，难道解错了吗？学生合作交流，反思解题过程，未发现错误。教师适时介入，介绍增根的概念。

3.剖析增根原因，总结验根方法。

教师引导学生剖析解分式方程有可能产生增根的原因，是因为在分式方程的两边都乘以一个含有未知数的整式时，这个整式有可能为零，在把分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围就扩大到了全体实数，因而有可能产生使原方程分母为零的根，这就是增根。因为解分式方程有可能产生不适合原方程的增根，因此必须检验。学生由此明确了增根产生的原因，并理解了解分式方程验根的必要性，教师适时强调解分式方程必须检验。那么如何验根呢？教师引导学生归纳出验根的基本方法。

4.例题示范小结，练习巩固提高。

教师给出例题示范，并由学生小结解分式方程的一般步骤和注意事项。通过课堂练习巩固，布置课后作业。

通过以上的导学设计完成分式方程解法教学的第一课。

新课程标准指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”在以分式方程解法教学为专题的校本教研活动中，我们努力实践了教师为主导、学生为主体的新课程理念，在教学中注重了数学与生活实际的联系，数学活动贯穿课堂始终，概念由学生归纳得出，方法由学生探究发现，但教师适时发挥了引导作用，在学生思维受阻时给予启发和点拨。学生在自主探究与合作交流中，对转化这一数学思想有了更深刻的领会，同时在分析解决实际问题过程中增强了应用数学的意识。