渗透数学思想 经历“操作—明晰”过程＊——“代数式的值”教学设计与反思

江苏省徐州高级中学 李 贺 （邮编：221003）

本节课是苏科版教材七年级上册第三章第三节课.学生在学习“代数式的值”这节课之前，已经感受到字母表示数的价值，并且能用代数式表示许多实际问题中的数量关系.《标准》对本节课的要求为“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.”实施建议要求“在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系.”教材在这一节中遵循了“有关知识在学生通过‘操作’有了感受以后再明晰”的设计思路，让学生从自主探索“搭‘小鱼’”的活动中获得数学活动的经验后，再明晰“求代数式的值”的意义.本节课的设计是通过具体动态实例，引导学生感受数量的变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系，尝试根据变量的对应关系作出预测，初步获得函数的感性认识，进而将求代数式的值的意义理解为一个转换过程或算法.“代数式的值”的学习为后面学习整式的运算和求值打下基础，也为后继的方程、不等式、函数的学习打下基础.

1 课前预设：板块式结构

课前预设主要包括目标预设与过程预设.基于课标要求和学情分析，将本节课的学习目标确立为：（1）了解代数式的值的意义，能用具体数值代替代数式中的字母，会计算代数式的值.（2）通过操作活动感受从具体到抽象，由特殊到一般的归纳思想.（3）在数学活动中感受数量变化过程中变量之间的对应关系，感受数量变化及联系.本节课的重点是通过探究符合题意的代数式的过程，理解“求代数式的值”的意义，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值.难点是根据问题情境列出代数式，感受变化的数量及其关系.基于预设目标，设计具有板块式结构的弹性教学过程.

1.1 关于情境创设板块：预设两个情境

【数学实验】 依次呈现用火柴棒搭“小鱼”的图集，学生通过观察，感受其中变化.

观察思考：搭3条“小鱼”需用多少根火柴棒？追问：搭20条“小鱼”用多少根火柴棒？搭100条“小鱼”呢？

【游戏情境】 第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去1报出答案.

【设计意图】 本套教材在“代数式”、“一元一次方程”、“一元一次不等式”、“一次函数”这四章中，都采用了“搭小鱼”的同一个材料，便于学生在对相同材料不断深入的研究中，感悟知识之间实质性的联系，感悟模型思想.“小鱼”条数的突然增大，使得部分学生已经不能用“搭”的方式“数”出火柴棒的根数，这样，问题的解决就从“操作”层面上升到了“思维”层面.通过依次呈现“搭小鱼”的图片，教师提出问题，既给了学生观察的空间，又给了学生思考的空间，让学生从“形”上逐步体会数量的变化规律.设计方案二通过传数游戏，激发学生的学习兴趣与学习的主动性，增加学生代值计算的意识.

1.2 关于探索活动板块：预设两个方案

方案一：基于数学实验

（1）做一做：按上述方式搭“小鱼”，并在下表中记录所用火柴棒的根数.

_“小鱼”条数____1____2____3____________4_5…___火柴棒根数____8___14_____________________20…__

（2）从记录的数据看，所用火柴棒的根数与所搭“小鱼”的个数之间有何关系？追加表格：

_“小鱼”条数____1____2____3 4 …n___火柴棒根数____8___14_______________20…________

（3）搭20条“小鱼”用多少根火柴棒？搭100条“小鱼”呢？

（4）代数式的值的定义.

设计方案二：基于游戏情境

（1）若第一个同学报给第二个同学的数是5，而第四个同学报出的答案35.你说结果对吗？

（2）你是怎样检验的？引导学生列出右图的代数式，

（3）结合（1）（2），给出代数式的值的定义.

【设计意图】 设计方案一填表的过程，既是操作的过程，又是感受数量变化的过程，最后升华出变化中的不变关系8＋6（n－1）.通过“搭小鱼”数学实验，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程，更重要的是让学生感受到解决实际问题时常常需要“求代数式的值”.当然，不同的探索方法还会产生不同的代数式，如6n＋2.鼓励学生多说，多交流，感受归纳的乐趣.待归纳出规律后，再提出“搭20条‘小鱼’用多少根火柴棒？搭100条‘小鱼’呢？搭500条‘小鱼’呢？”，旨在让学生去感受具体数字与n之间的对应关系.设计方案二通过问题（1），引发学生主动去探寻规律，体验代入的乐趣.两个设计方案都是遵循“有关知识在学生通过‘操作’有了感受以后再明晰”的设计思路，先从特殊的数到一般的代数式，再从一般的代数式转化为特殊的数，最后教师给出代数式的值的意义来获得知识.

1.3 关于例题教学板块：预设两个例题

例1 当a＝－2，b＝－3时，求代数式2a2－3ab＋b2的值.

变式：当a＝，b＝－3时，求代数式2a2－3ab＋b2的值.

例2 若x2＋x＝1，则3x2＋3x－5的值为__________.

【设计意图】 例题教学要达到下列目标：明确格式；理解每一步的算理.例1中要给出求代数式值的书写格式，解答不能笼统地说成代数式2a2－3ab＋b2的值是－1，正确的说法是当a＝－2、b＝－3时，代数式2a2－3ab＋b2的值是－1.结合例1及其变式练习，强调书写过程中需要注意的地方：（1）代数式中的乘法运算，当其中的字母用数字替代时，要恢复“×”号；（2）代数式中的字母用负数来替代时，负数要添上括号；（3）代数式有乘方运算，当底数中的字母用分数来替代时，要添上括号.例2是为了渗透“整体代换”的思想方法，感悟“整体代换”的思想方法不同于技能的形成，需要学生在较长的认识过程中，逐步理解和掌握，在“3.4合并同类项”这一节中，学生还会有进一步的认识、理解.

1.4 关于“议一议”活动板块：预设两个填表

（1）填表

x －3_－2_－1__0___1___2___3____2x－1________－3 x__________________________________________

（2）根据所填表格，小组合作讨论下列问题：

①当x为何值时，代数式2x－1的值等于－1？

②随着x的值增大，代数式2x－1、－3x的值怎样变化？

【设计意图】 “议一议”的设置旨在关注学生能否正确求代数式值的同时，引导学生感受：代数式的值随代数式里字母的取值的变化而变化；代数式中的字母所取的值确定，代数式的值也相应确定；不同的代数式表示的规律不同，代数式的值变化趋势也不同.问题①与“已知代数式中字母的取值，求代数式的值”互为逆问题，设计这个问题，目的是让学生感受数量变化过程中变量之间的对应关系，多角度的感受数学模型的价值，为一元一次方程的教学做铺垫.问题②是尝试根据变量的对应关系作出预测，让学生不断获得函数的感性认识.

1.5 关于课堂练习板块：预设3道习题

（1）当x＝2时，求下列代数式的值：

①4x2－4x＋4； ②5x3－2x2＋x－3.

（2）根据所给a、b的值，求代数式a2b－ab2－6的值：

①a＝3、b＝－1； ②a＝－、b＝8.

（3）填表并回答问题：

_____x －3－1____0_____11.5______9___2 2______3_x______________________________________________－2x＋__1_________________________________________

①当x为何值时，代数式－2x＋1的值等于0？

②随着x的值增大，代数式3x、－2x＋1的值怎样变化？

【设计意图】 练习的选取来自课本上的习题，该习题的设置有梯度、有广度，考查了本节课所有知识点的应用.本节课容量较大，未考虑增加练习，只要学生对求代数式的值的意义理解到位了，做到精讲精练就好.学生练习结束后，教师可以根据巡视中学生出现的错误对练习进行总结.

2 课中生成：对话式思考

这里仅就情境创设、探索活动和议一议三个活动的教学片段展示课中生成.

2.1 情境创设

教师：同学们，我们可以按照以下的方式用火柴棒搭出1条“小鱼”.那么，搭这样的1条“小鱼”需用多少根火柴棒？

学生：8根.

教师：搭2条“小鱼”需用多少根火柴棒？（给学生以思考的空间，待学生回答出结果，再出示图片）

学生：14根.

教师：搭3条“小鱼”需用多少根火柴棒？

学生：20根.

教师：搭20条“小鱼”需用多少根火柴棒？搭100条“小鱼”呢？

2.2 探索活动

教师：如何解决这个问题？（找规律）我们可用表格记录所用火柴棒的根数：（学生填表）

“小鱼”条数____1____2____3______________45…__火柴棒根数____8___14____________________20…_

教师：根据表格中的数据，所用火柴棒的根数与所搭小鱼的个数之间有何关系？

学生1：多搭一条小鱼，就多6根火柴棒！

学生2：从第二条小鱼开始，每多搭一条小鱼，就多6根火柴棒.

教师：为什么？

学生：后面的“小鱼鱼尾”就是前面“小鱼的鱼头”.

教师：根据我们找到的这个规律，搭4条、5条“小鱼”又分别需要多少根火柴棒？

学生：8＋6×（4－1）＝26（根），8＋6×（5－1）＝32（根）.

教师：搭20条、100条“小鱼”呢？

学生：8＋6×（20－1）＝122（根），8＋6×（100－1）＝602（根）.

教师：你能用列代数式的方法表示出“小鱼”条数与所需要的火柴棒根数之间的这种规律吗？

学生1：设搭的“小鱼”条数为n，则需要的火柴棒的根数为8＋6（n－1）.

教师：那么，你能利用这个代数式分别求出搭20条和100条“小鱼”所需要的火柴棒的根数吗？搭500条呢“说说你的方法”.

学生：只需要将8＋6（n－1）中的n分别换成20、100和500，再计算出结果就行了.

教师：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果叫做代数式的值.

教师：从搭“小鱼”的过程我们可以发现，一个代数式的值有多少个？为什么？

学生：无数个，因为代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的.

教师：对，这里体现了字母与数字之间的“对应”关系.

2.3 “议一议”活动

教师：请同学们先完成下面这个表格，然后思考下面2个问题，并将你填表的结果与思考的结论在你的学习小组中交流.

x －3__－2__－1___0____1____2_______3 2x－1____________________________________________－3x_____________________________________________

①当x为何值时，代数式2x－1的值等于－1？

②随着x的值增大，代数式2x－1、－3x的值怎样变化？

学生1：当x＝0时，代数式2x－1的值等于－1.

学生2：随着x的值增大，代数式2x－1的值也增大；代数式－3x的值在减小.

教师：代数式2x－1的值随着x的增大而增大；代数式－3x的值随着x的增大而减小.代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化.代数式中的字母所取的值确定，代数式的值也确定；不同的代数式表示的规律不同，代数式的值变化趋势也不同.

3 课后反思：诊断式感悟

数学教学是数学思维活动的教学，要借助现实情境，帮助学生建构自己的基本活动经验.本节课是沿着“有关知识在学生通过‘操作’有了感受以后再明晰”的设计思路中展开的，旨在让学生通过先操作再明晰的活动中感受变化的数量及其关系，感悟函数思想.通过对本节教学过程的诊断式感悟，本节课的教学应帮助学生明晰如下数学思想：

（1）进一步感受字母表示数的思想：字母表示数是代数的基本特征，也是代数式产生的根本，它能将一些基本的数量关系简明地表示出来，而且能给运算带来方便.求代数式的值就是反过来把代数式中的字母用数替换，再按它的运算关系算出结果，通过求代数式的值可以更好地感受到字母表示数的意义.如本节课的“探索活动”.

（2）感受变化（函数）思想：代数式是确定的，但代数式中的字母的值是可以变化的，只有当代数式中的字母的值确定时，代数式的值才能确定.所以，代数式的值是随字母的值的变化而变化的，即代数式的值是一个变化的量.如本节课“议一议”的设计.

（3）感受整体（换元）思想：整体思想就是将某个代数式看成一个整体，从大处着眼，从整体入手，突出对问题整体结构的分析和变形，从整体上把握问题的内容和解题方略.如本节课例2.

（4）感受归纳思想：求代数式的值的问题中有些没有直接给出代数式，而是只给出一些有规律的数、式子或图形，让我们去求很大数值时的对应值，就是需要我们去根据具体的数、式子或图形归纳出它的规律，并用代数式表示，然后再代入求值，本节课就是用这样的实例引入的.