关于丢番图方程x3－1＝13py2的整数解

管训贵，杜先存

（1.泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300；2.红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

方程

是一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研究过.柯召、孙琦［1－2］证明了当D＞2，D 无平方因子且不含6k＋1型的素因子时，方程（1）无非平凡解；但当D 含6k＋1型的素因子时，方程（1）的非平凡解的求解较为困难.罗明［3］给出了方程x3±1＝14y2的所有解，罗明、黄勇庆［4］给出了方程x3－1＝26y2的所有解，韩云娜［5］给出了方程x3－1＝38y2的所有解.

引理1［6］20设p 是一个奇素数，则丢番图方程4x4－py2＝1 除开p＝3，x＝y＝1 和p＝7，x＝2，y＝3外，无其他的正整数解.

引理2［6］260设p 是一个奇素数，则丢番图方程x4－py2＝1除开p＝5，x＝3，y＝4和p＝29，x＝99，y＝1 820外，无其他的正整数解.

引理3［6］69丢番图方程x2－3y4＝1仅有正整数解x＝2，y＝1和x＝7，y＝2.

本文利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质证明了如下定理：

证明 因为gcd（x－1，x2＋x＋1）＝1或3，故方程（2）给出以下8种可能的分解.

以下讨论这8种情况所给的方程（2）的整数解.

对于情形Ⅰ：解第二式，得x＝0，－1，均不适合第一式，故该情形下方程（2）无整数解.

因为u2≡0，1，4（mod8），利用同余的性质可知情形Ⅱ、情形Ⅲ、情形Ⅳ不成立.

对于情形Ⅴ：将第一式代入第二式得（2v）2－3（26pu2＋1）2＝1，故有

2＋是Pell方程X2－3Y2＝1的基本解，因此有26pu2＋1＝±yn（n∈Z），即26pu2＝±yn－1.又因为y－n＝－yn，所以只需考虑

若n≡0（mod2），则yn≡0（mod2），此时式（3）不成立；若n≡3（mod4），则yn≡7（mod8），由式（3）知2u2≡6（mod8），即u2≡3（mod4），这也不可能；所以必有n≡1（mod4）.令n＝4k＋1（k∈Z），容易验证下列各式成立：

将n＝4k＋1及式（5）～式（7）代入式（3）得，26pu2＝y4k＋1－1＝2x2k＋1y2k，即

又因为gcd（x2k＋1，y2k）＝gcd（2x2k＋3y2k，y2k）＝gcd（2x2k，y2k）＝gcd（2，y2k）＝2，所以下列情形之一成立：

由式（9）得4a4－3＝1.根据引理1知，a2＝1，此时，x2k＋1＝2，则k＝0，于是方程（2）的整数解（x，y）＝（1，0）.

由式（10）的第二式得xkyk＝b2，考虑到gcd（xk，yk）＝1，有xk＝s2，yk＝t2，故（s2）2－3t4＝1，根据引理3知，s2＝1，此时，xk＝1，则k＝0，但由式（10）的第一式知，x1≠26pa2，所以方程（2）无整数解.

由式（11）的第二式得xkyk＝pb2，考虑到gcd（xk，yk）＝1，有

由引理2知，方程（15）仅有整数解（s，t）＝（±1，0），此时，y2k＝0，则k＝0.但由式（11）的第一式知，x1≠26a2，所以方程（2）无整数解.

若式（14）成立，则

由引理3知，方程（16）仅有整数解（p，s，t）＝（7，±1，±2）和（2，±1，±1），但p≡1（mod12），不可能.

由式（12）的第二式得xkyk＝13b2，仿照式（11）的讨论知，不可能.故该情形下方程（2）仅有整数解（x，y）＝（1，0）.

对于情形Ⅵ：将第一式代入第二式得3（2u2＋1）2－13p（2v）2＝－1，故 有3（2u2＋1）2≡－1（mod13），解得u2≡7，5（mod13）.但 模13的Legendre符号（）＝）＝－1，故该情形下方程（2）无整数解.

对于情形Ⅶ：将第一式代入第二式得3（26u2＋1）2＋1＝4pv2，则有pv2≡1（mod13），但（）＝－1，故该情形下方程（2）无整数解.对于情形Ⅷ：由第二式得

因为方程X2－39Y2＝－3有一个结合类解，其基本解为6＋，而Pell方程U2－39V2＝1的基本解为25＋4，故方程（17）的全部整数解为

但Un为奇数，所以式（18）不成立.故该情形下方程（2）无整数解.

综上，丢番图方程（2）仅有整数解（x，y）＝（1，0）.

［1］柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±1＝Dy2［J］.中国科学，1981，24（12）：1453－1457.（Ke Zhao，Sun Qi.On the Diophantine Equation x3±1＝Dy2［J］.Science in China，1981，24（12）：1453－1457.）

［2］柯召，孙琦.关于丢番图方程x3±1＝3Dy2［J］.四川大学学报：自然科学版，1981，18（2）：1－6.（Ke Zhao，Sun Qi.On the Diophantine Equation x3±1＝3Dy2［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science，1981，18（2）：1－6.）

［3］罗明.关于不定方程x3±1＝14y2［J］.重庆交通学院学报：自然科学版，1995，41（3）：112－115.（Luo Ming.On the Diophantine Equation x3±1＝14y2［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University：Natural Science，1995，41（3）：112－115.）

［4］罗明，黄勇庆.关于不定方程x3－1＝26y2［J］.西南大学学报：自然科学版，2007，29（6）：5－7.（Luo Ming，Huang Yongqing.On the Diophantine Equation x3－1＝26y2［J］.Journal of Southwest University：Natural Science，2007，29（6）：5－7.）

［5］韩云娜.关于Diophantine方程x3－1＝38y2［J］.科学技术与工程，2010，10（1）：169－171.（Han Yunna.On the Diophantine Equation x3－1＝38y2［J］.Science Technology and Engineering，2010，10（1）：169－171.）

［6］曹珍富.丢番图方程引论［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989.（Cao Zhenfu.Introduction to Diophantine Equations［M］.Harbin：Harbin Institute of Technology Press，1989.）