(n,d)-平坦模与(n,d)-余挠模

汉 巍，李蕊彤

（1.兰州商学院陇桥学院 大学数学教学部，甘肃 兰州 730101；2.兰州市西固区兰化四校，甘肃 兰州 730060）

本文所涉及的环皆为有单位元的结合环，所有模皆为酉模.所涉及的其它专业名词和术语均来自于[1]与[2].

设…→P1→P0→M→0是R-模M的一个投射分解，且K0=M,K1=ker(P1→M),当i≥2时，ki=ker(Pi-1→Pi-2).第n个核kn(n≥0)称为M的第n次合冲.对偶地，通过M的内射分解可以定义M的n次上合冲.rD(R)及wD分别表示环R的右整体维数和弱整体维数.pd(M),fd(M)及id(M)分别表示模M的投射维数、平坦及内射维数.

设R是一个环，n为非负整数，根据Costa(1994),Chen and Ding(1996)及 Xue(1999),称一个左R-模P为n-表示(或P有有限n表示)，即存在一个左R-模正合列

其中每个Fi皆为有限生成、自由的左R模.明显的，当m≥n时，每个m-表示模是n-表示模.R叫做右n-凝聚环(Costa.1994)若每个n-表示右R-模是 (n+1)-表示.容易看出R是右0-凝聚环（1-凝聚环）当且仅当R是右Noetherian（凝聚），及每个n-凝聚环是m-凝聚环（m≥n）.根据Costa(1994)及Zhou(2004)R称为左(n,d)-环若每个n-1表示的左R模，其投射维数最大为d,其中n,d,皆为非负整数.R称为左弱(n,d)-环若每个n-表示的左R模，其平坦维数最大为d,其中n,d皆为非负整数.若R是左(n,d)-环则R为左弱(n,d)-环.

设C是一个右R-模类且M是任意右R-模.当F∈C时，同态φ:M→F称为M的一个C-予包络（Enochs,1981）是指对于 F'∈C，任意同态 f:M→F',存在同态 g:F→F'使得 gφ=f,而且若 F'=F,f=φ 时,g仅为F的自同态，则称C-予包络φ为M的C-包络.

给定一个右R-模类 L,L⊥={C|Ext1R(L,C)=0,坌L∈L},其称为L的右正交类.⊥L={C|Ext1R(C,L)=0,坌L∈L},其称为L的左正交类.根据Enochs and Jenda(2000，Definition 7.1.6),对于任意 C∈C,若单射α:M→C有coker(α)∈⊥C，则其称为M的一个特殊C-予包络，对偶地，可以定义特殊的C-予覆盖.

一个右R-模类对 (F,C)称为一个余挠理论(Enochs and Jenda 2000).若 F⊥C=C及⊥C=F.一个余挠理论(F,C)称为完全的.若每个右R-模有一个特殊的C-予包络,每个右R-模有一个特殊的F-予覆盖.

设n、d为两个给定的非负整数.由Zhou(2004)可知一个右R-模M称为 (n,d)-平坦是指于任意n-表示R-模Q,有TorRd+1(Q,M)=0.在第二部分,介绍了(n,d)-余挠的定义.一个右R-模M称为(n,d)-余挠是指对于任意(n,d)-平坦R-模N,有Ext1R(N,M).在讨论了其两者的基本性质后，本文证明了(Fn,0,Cn,0)是一个余挠理论，其中Fn,0为所有(n,0)-平坦模构成的类，Cn,0为所有(n,0)-余挠模构成的类.

本文第三部分运用第二部分的结论对n-凝聚环进行了刻画，得到了如下结果∶R为一个右n-凝聚环当且仅当每一个(n,0)-余挠右R-模是(n+1,0)-余挠.

定义和一般结论

设M是一个右R-模，n、d为两个给定的非负整数.由Zhou(2004)M称为(n,d)-平坦模是指于任意n-表示R-模Q，有TorRd+1(Q,M)=0.显然，当m≤n时，每个(m,d)-平坦右R-模是(n,d)-平坦模.M是(0,0)-平坦当且仅当M是平坦；M是(1,d)-平坦当且仅当fd(M)≤d.M是(1,0)-平坦当且仅当M是1-平坦(Chen and Ding 1996).

定义2.1 设n、d为两个给定的非负整数，一个右R-模M称为 (n,d)-余挠是指对于任意(n,d)-平坦R-模N,有Ext1R(N,M)=0.

注记2.2 明显地，(0,0)-余挠模是余挠模.取定d，当m

性质2.3 设{Mi}I是一个右R-模族，则

(1)茌IMi是(n,d)-平坦当且仅当每个Mi是(n,d)-平坦.

(2)∏IMi是(n,d)-余挠当且仅当每个Mi是(m,d)-余挠.

证明 (1)由Zhou(2004)Proposition2.2(1).

(2)由 Ext1R(F,∏IMi)；∏IExt1R(F,Mi)可得.

性质2.4 设M是一个(n,d)-余挠模，则对于任意(n,d)-平坦R-模F,i>0有Ext1R(F,M).

证明 作F的投射分解，则有0→K→Pi-1→Pi-2→…→P1→P0→F→0.可见 K平坦.则 Ext1R(M,K).由平坦为(n,d)-平坦.所以Ext1R(M,K)=0,可得ExtiR(F,M)=0.

性质2.5 设0→A→B→C→0是一个短正合列.

(1)若C是(n,d)-平坦，B为(n+1,d)-平坦，则A为(n+1,d)-平坦.

(2)若A是(n+1,d)-余挠，B为(n,d)-余挠，则C为(n,d)-余挠.

证明 (1)取n+1-表示模P，用-茚P作用在0→A→B→C→0上.由长序列引理可得…→TorRd+2(C,P)→TorRd+1(A,P)→TorRd+1(B,P)→…

下证TorRd+2(C,P)=0.

存在正合列0→K→P0→P→0，则K为n-表示.用C茚-作用其上，由长序列引理可得∶…→TorRd+2(C,P0)→TorRd+1(C,P)→TorRd+1(C,K)→…，可见TorRd+1(A,P)=0，由此A为(n+1,d)-平坦.

(2)设M为(n,d)-平坦模，用hom(M,-)作用0→A→B→C→0上，由长序列引理可得…→Ext1R(M,B)→Ext1R(M,C)→Ext2R(M,A)…，下证 Ext2R(M,A)=0

存在正合列)→K→P→M→0，由M为(n,d)-平坦模，P为投射模，可得其为为平坦，则为(n+1,d)-平坦模，则由上K为(n+1,d)-平坦模.用hom(M,-)作用其上，由长序列引理得…→Ext1R(K,A)→Ext2R(M,A)→Ext2R(P,A)…，可得 Ext1R(M,C)=0,则 C为(n,d)-余挠.

性质2.6 以下对于环R及n0,dm成立.

(1)(n,d)-平坦模的第m次合冲为(n,d-m)-平坦.

(2)(n,d)-余挠模的第m次上合冲为(n,d+m)-余挠.

证明 (1)对M作投射分解0→Km→Pm-1→…→P1→P0→M→0，设Q为n-表示模，由维数转移可得TorRd+1(M,Q)；TorRd-m+1(M,Rm)=0，所以 Km；(n,d-m)-平坦.(2)先证m=1的情况.设N为(n,d+1)-平坦，存在正合列0→K→P→N→0可见K为(n,d)-平坦.设M为(n,d)-余挠，存在正合列0→M→L→C→0，其中L为内射模.用hom(N,-)作用上述正合列由长序列引理可得…→Ext1R(K,M)→Ext2R(N,M)→Ext2R(P,M)→…，下证Ext2R(N,M)=0.

用hom(-,M)作用0→K→P→N→0上，由长序列引理可见…→Ext1R(K,M)→Ext2R(N,M)→Ext2R(P,M)→…，可得Ext1R(N,C)=0，所以C为(n,d+1)-余挠.即(n,d)-余挠模的第1次上合冲为(n,d+1)-余挠.则结论由归纳可得.

性质2.7 以下对n-凝聚环成立.

(1)对于任意m≤d，每个(n,m)-平坦模都是(n,d)-平坦模，且每个(n,d)-余挠模都是(n,m)-余挠.

(2)若M是一个(n,d)-余挠模，则ExtRj+m+1(N,M)=0，其中j≥0；m≥0,N为任意(n,m+d)-平坦模.

(3)一个右R-模M是(n,d)-平坦模当且仅当存在正合列 0→Fd→…→F1→F0→M→0，其中 Fi为(n,0)-平坦模，i=0,1,…,d.

证明 (1)设M是(n,m)-平坦，N是n-表示模.则由R为n-凝聚环可知N的第d-m次合冲也是n-表示的.则由维数转移法可见TorRm+1(M,N)；TorRm+1(M,Kd-m)，可得M是(n,d)-平坦的，因此每个(n,d)-余挠模都是(n,m)-余挠.

(2)对j作归纳.当j=0时，即证明M是一个(n,d)-余挠，则ExtRm+1(N,M)=0，其中N为任意(n,m+d)-平坦模.由性质2.6可见N的第m次合冲为(n,d)-平坦.则 ExtR1(Kd,M)；ExtRm+1(N,M)=0，则 j=0成立.下证j=1时.已知存在正合列0→K→P→N→0.则由R为n-凝聚环可见，N为(n,m+d+1)-平坦.所以K是(n,m+d)-平坦.则 ExtRm+2(N,M)；ExtRm+1(K,M)=0（由 j=0的情况可得）.则结论由归纳可得.

(3)圯取M的投射分解.可见其第d次合冲为(n,0)-平坦，而每个Fi皆为投射，故为平坦，则其为(n,0)-平坦.结论成立.

坩将0→Fd→…→F1→F0→M→0打断可得0→Fd→Fd-1→0.设P为n-表示模，用茚P作用上述正合列由长序列引理可得…→Tor2R(Fd-1,P)→Tor2R(Kd-1,P)→Tor1R(Fd,P)→…由 Fd-1为(n,0)-平坦，则由(1)可知Fd-1为(n,1)-平坦，所以Tor2R(Fd-1,P)=0.由Fd为(n,0)-平坦可见Tor1R(Fd,P)=0.由此可见Tor2R(Kd-1,P)=0，有维数转移法可见Tor2R(Kd-1,M)；TorRd+1(M,P)=0.则M是(n,m)-平坦.

性质2.8 设R为环，则(Fn,0,Cn,0)是一个余挠理论.

证明 只需证任意F∈⊥Cn,0，F为(n,0)-平坦.

任取n-表示模Q，下证Q*为(n,0)-余挠.任取(n,0)-平坦 M，则 Ext1R(M,Q*)；(Tor1R(Q,M))*.由 M为(n,0)-平坦，可得 Tor1R(Q,M)=0,则 Ext1R(M,Q*)=0,故Q*为(n,0)-余挠.

由 Q*为(n,0)-余挠，可得 Ext1R(F,Q*)，故 Ext1R(F,Q*)；(ExtR1(Q,F))*，故 Tor1R(Q,F)=0，证毕.

3 主要结果

根据Mao and Ding(2004)Theorem4.1可知:R是一个右n-凝聚环当且仅当每个(n,0)-投射右R-模是(n+1,0)-投射.相似地，以下定理考虑(n,0)-余挠模与(n+1,0)-余挠模的关系对n-凝聚环进行刻画.

定理3.1 以下对环R及n≥1等价

(1)R为n-凝聚环.

(2)每个(n+1,0)-平坦右R-模是(n,0)-平坦.

(3)每个(m,0)-平坦右R-模是(n,0)-平坦，其中m≥0.

(4)每个(n,0)-余挠右R-模是(n+1,0)-余挠.

(5)对于一个短正合列0→A→B→C→0若B,C为(n,0)-平坦，则A为(n,0)-平坦.

证明 (1)圯(3)圯(2)显然.(4)圯(2)由性质 2.6可得.

(5)圯(1)由 Mao and Ding(2006)Theorem4.1可知要证R为n-凝聚环，只需证对于0→A→B→C→0，若A,B为(n,0)-内射，则C为(n,0)-内射即可.取正合列0→A→B→C→0，其中A,B为(n,0)-内射，则 0→C*→B*→A*→0成立.由 A,B为(n,0)-内射，根据Zhou(2004)Proposition2.3可知A*,B*为(n,0)-平坦.由(5)可知C*为(n,0)-平坦，故C为(n,0)-内射.所以R为n-凝聚环.

(2)圯(5)由性质2.5(1)可知由于B是(n+1,0)-平坦，则A是(n+1,0)-平坦，则由(2)A是(n,0)-平坦.

推论3.2 以下对环R及n≥1等价

(1)R为右凝聚环.

(2)每个(2,0)-平坦右R-模是(1,0)-平坦.

(3)每个(1,0)-余挠右R-模是(2,0)-余挠.

(4)对于一个短正合列0→A→B→C→0若B,C为(1,0)-平坦，则A为(1,0)-平坦.

〔1〕Anderson,F.W.,Fuller,K.R.(1992)Rings and Categories of Modules.2nd ed.New York:Spring-Verlag.

〔2〕佟文廷.同调代数引论.北京：高等教育出版社，1998.

〔3〕Enochs,E.E.,Jenda,O.M.G.(2000)Relative Homological Algebra.Berlin-New York:W alter de Gruyter.

〔4〕Dexu Zhou(2004)On Coherent R ings and Rings Comm.Algebre.32(2004):2425-2441.

〔5〕Mao,L.X.,Ding,N.Q.(2006)Relative projective modules and Relative injective modules Comm.Algebre.34(2006):2403-2418.

〔6〕Chen,J.,Ding,N.(1996)On coherent rings Comm.Algebre.24(1996):3211-3216.

〔7〕D.L.Costa(1994)Parameterizing fam ilies of non-noetherian rings Comm.Algebre.22(1994):3997-4011.