解题教学——想说爱你不容易

☉浙江省杭州市余杭高级中学 曹凤山（特级教师）

笔者曾从学生“学”的角度，对数学解题的感受、认识等做过专题调查，调查报告《数学解题——想说爱你不容易——关于高中生数学解题的调查分析》发表于《中学数学教学参考》2005年第5期，后被中国人大《高中数学教与学》（原《中学数学教与学》）转载、被知网等收录，被不少同行参考、引用.本文换一个角度，从教师“教”的角度看，解题教学——想说爱你不容易.

“中学数学课程的主要目的之一是发展学生的解题能力”（波利亚），从现实需要看，解题教学的重要性毋须赘言.对于解题教学，虽有众多大家、名师诸多成功的实践与经典研究，但如何搞好解题教学仍然没有公式可循.一千个读者就有一千个哈姆雷特！一千个数学老师就有一千个解题教学的模式.

这里简录以解题教学为主的一节课，通过具体的案例和课堂教学环节，就解题教学中一些问题谈谈自己的思考与实践，以作引玉之砖.为便于表达对解题教学的一些认识，分成几个段落.

例题 （2012年浙江高考理科第17题）设a∈R，若x>0时，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，则a=_____.

一、选好题才有好效果

课堂例题就像磨刀石，只有好的磨刀石才能更快、更好地磨出锋利的刀刃.本文简录的是高三第一轮复习接近尾声的一节课，笔者以“三个二次”为核心，选择了两道2012年的高考题（浙江省理科第17题、北京理科第14题），其中第一题学生充分参与，老师详尽分析，第二题做课上反馈演练.不同教学阶段有不同的选题考虑，这里主要考虑了以下几个方面：

1.体现中学数学的核心知识，重心在思维.不在细枝末节上做文章，解题过程中突出知识的系统性、网络化、组织良好，突出提升思维能力的主题.

2.具有一定挑战性.试题新颖，两题都没有套路，解题过程蕴含着丰富的数学思想方法，而思想方法是知识转化为能力的桥梁，是高三复习过程中提升学生思维能力的必选项、着力点.

3.适合的就是最好的.适合学生的知识储备，适合学生的解题基础，适合学生的解题需要，题不在难，有意则灵.

4.以质取胜，体现通性通法.题不在多，有法则行，不追求一节课做题的数量，以高质量的试题实现“一题多解”、“多题一解”.法不在巧，变化则灵，凸显通性通法的重要作用，体现思维的高度参与.

5.完整体现解题的全过程，有效检验、提升学生的解题技能.学生学有所思、所悟，解透一题通解一类，对解题有更深的理解，对解题程序有更熟练的操作，特别是强化学生比较薄弱的方面，如审题、目标意识以及反思能力.

二、练熟解题程序，体验解题成功与失败历程

解题教学一定要有学生充分参与的过程，思路的产生不能玩“魔术”，要让学生体验.课堂生成与预设要相辅相成，要结合具体情境，通过适时的有针对性的启发、引导，适度的归纳、概括，帮助学生体验“审题——制订计划——实施——反思”的过程；落实学生先行，教师断后的教学模式，引导、调动学生的“正能量”参与解题，充分暴露、展示不同层次的思维模式、不同的思维过程，引导学生对解题的关键点、基本的数学思想方法的运用等做必要的归纳、反思，让学生体验审题对思路的决定作用，反思对模式积累的催化作用，注重由特殊案例提升到解题经验，改变解题教学“掐头、去尾、烧中段”的做法，改良为“虎头、豹尾、将军肚”的解题教学模式.

三、渗透共性的引导，启发问题个性、解法的形成发现

出示题目，学生自己读题（不干扰学生自己读题，不帮助学生读题.本题题干相对短小，学生用时不多）.适时给出提示语，给学生做出反应、思考的时间.

师：这是什么问题？求什么？你能猜测到结果是什么形式吗？（目的：引导学生确定问题范畴，调动相关知识，强调目标意识、问题意识，进入问题情境）

生众：三次不等式，也有学生说“三个二次”，求参数；结果应该是一个（或者两个）常数.

师：用你的语言如何具体表述这个问题？你能联想到什么？有现成的方法吗？（目的：不仅强调审题的重要性，还要给出审题可以操作的方法.心理学研究表明，问题的表述对怎样解决问题有极大的影响.对审题跟进提醒，引导学生从文字、符号、图形等多角度审题，通过观察、对比、分析、判断，联想、调动所学知识，引导学生深入理解问题情境，对解题过程做出合理的预测，初步酝酿、设计从已知到目标的可能途径，诱导好“念头”的出现）

学生自己独立思考、探究，动手解题.巡视发现，因为是上一年的高考试题，有学生已经知道答案，但是，详细的解题方法、策略，深层次的思考还没有，解题方法不完整，还有部分学生找不到思路.

生1：我是根据实数运算的符号法则，降次，转化为一个一次、一个二次不等式，分以下两种情况：

师：生1同学注意到了关系式的符号，运用转化思想，把高次化低次、不等式转化成不等式组，再通过分离参数转化为求最值的问题，思路很流畅，可是解不出，问题出在哪儿呢？（审题表面化，考虑了问题的转化，模仿套路的痕迹比较明显，但是，对题目理解上出现偏差）

回到原点，再次读题，同学们对条件的形式、含义和生1同学的理解一致吗？（目的：引导学生再次审题，从条件的形式、代数意义、几何意义等方面读题，养成“慢审、快做”的习惯，优秀的解题者一半时间审题，一半时间做题，但有些学生可能“下笔千言，离题万里”.以上提示语问法不同、角度各异，但基本上都指向审题、启发解题思路）

生2：生1的理解不对.x＞0时均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，意思不一定是x＞0时两个因式的值一直是正数或者是负数，只要两个因式同号.下面求解还没有写好.

师：对关系式的理解不一样，哪个是正确的？

全体：后一个！

师：对，后一个，注意关键词，若x＞0时均有……，读对题是解对题的必要条件！解给出的问题而不是你认为的问题！不然肯定是“出师未捷身先死”啊！审题，就要让试题自己讲出“真实的情况”，继续！

生3：我没有看成两个因式乘积，我理解的是函数值符号问题，就是两个函数在区间（0，+∞）的每一点上函数值符号一致，这样必须有相同的零点.

师：打断一下，怎么出现的函数？不是不等式问题吗？（让思维过程看得见，充分暴露思维过程是学生学会思维，领悟数学思维的必然途径，特别是在一个转折点、关键点上）

生2：因为……因为……每个不等式都对应一个函数，不是可以转化吗？

师：很好，从不同的角度去推敲！不等式转化为函数问题，继续！

师：好！分解问题、数形结合是重要的解题思想，从不同角度理解条件是审题的重要形式、解题的突破口之一，也是找到“好念头”的捷径.

答案出来了，有学生表示还可以优化.

图1

教室内一片赞赏之声！

师：很好！问题的求解要像生2同学一样力求完善、直观，函数、方程、不等式联动，同时充分发挥了图形的优势，数形结合，分类讨论，让我们看到了数学思想方法的威力！

图2

师：很好，改变条件的形式，换个角度理解问题，避开了分类讨论.

图3

生5：老师，还可以再更简洁，只要再深入挖掘“个性”！

同学们的兴趣再次被激发，怎么再挖掘“个性”呢？

教室内一片掌声！

不过，有学生提出，保证f（1）≥0，f（2）≥0就能保证x＞0时均有f（x）≥0吗？逻辑上明显有缺陷！

师：好，根据题型特征我们可以选择“个性化”的解题方法，思维灵活，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，解客观题不妨试试特殊值法，当然也要注意逻辑的严密性.

不过也有同学提出为什么恰好取x=2呢？

生6：开始老师不就是让我们猜测结果是什么形式吗？因为结果是求a的值，只有一个未知数，只要建立一个方程就可以了.

师：真有才！充分考虑目标的意义，对解题的方向会起到很好的启发作用，不能仅仅把目标当成未知数，它也是已知条件之一，是试题的“个性”之一.当然，为什么只取到2呢，要靠一点运气，不过，我们试验一般会取比较特殊的数，比如0，1，2等，再说了，我们是天之骄子一定会有好运气的，只要想得到，一定做得到！

我们发现，只要换个角度问题就可能得到解决，往往就是没有找到合适的角度.再次读这道题，a=1时显然不成立，它明显的特征是一个三次不等式，或者说三次函数问题，我们在学习导数内容时反复接触过三次函数以及它的图像、性质，能不能直接通过三次函数的视角求解呢？我们猜想三次函数图像会有什么特点？

图4

四、适时引导反思、归纳，让学生积累个体成功经验

师：相当漂亮！对问题理解的透彻，解起来就得心应手！上面已经给出了不少好的解法，同学们也许还有其他想法，时间关系，暂告一段落，课下继续探讨！反思一下我们这道题的求解历程，从不懂到懂，从不会到会，从复杂到简单，我们经历了什么？对我们以后解题有什么借鉴意义？（引导学生做好解题反思，而不仅仅是找到答案，这也是解题与解题教学不同之处.解题关心结果，而解题教学关心解题的全过程，只要反思审题操作性的方法、解题突破口的发现、解法优劣及原因等）

学生七嘴八舌：审题、从不同角度看条件、改变条件的结构形式、画个图，把待求纳入已知考虑、找到它的“个性”、数形结合、转化与化归、分类讨论等.

师：同学们的总结综合起来就很全面了！我们通过这道题的求解，再次体验到，知识要熟练、组织良好，无知便无能；审题要全面、深入，注意对已知条件（包括题型、待求、待证）从不同角度、不同形式的理解，充分把握其“个性”；改变问题的形式、意义、结构就可能意味着一种解法的出现，要注意捕捉这时冒出的一些“好念头”；我们也会体验到，对于一些综合性、非常规问题，数学思想方法的自觉运用绝对功不可没，如数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等.基础题靠知识（扎实），中档题靠思想（灵活），高档题靠能力（素质）.同时，从这道试题也可以看出高考试题的特点，知识与能力综合考查，体现了“多考一点想，少考一点算”的命题理念，需要我们在解题过程中真切体会.（小结不一定都要放在下课铃响之前，要适时、合理地给出概括，有背景、有案例，学生更容易理解，更容易纳入自己的经验范畴）

五、强化变式练习，巩固成果

下面再给出一道题，再一次体验如何成功解题！

练习 （2012年北京高考理科第14题）已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，则m的取值范围是______.

选题的思考：本题和例题有异曲同工之妙，对学生熟练两个基本函数性质，熟练基本思想方法的运用，巩固上面例题中的一些思路、形成解题经验大有裨益.

学生经过思考，速度明显比例题加快.

生8：目标求m的取值范围，就是抛物线f（x）=m（x-2m）（x+m+3）开口方向与对应的根满足的条件（m=0明显不成立），“数”转化为“形”，等价于，对于任意的x，对应的点至少有一个在x轴下方，在（-∞，-4）上，有图像在x轴上方，有图像在x轴下方.

图5

师：太给力了！由于时间关系，对其他解法课下再继续探索.

通过这两道高考题，相信每个同学对解题都有自己的感悟，也会发现自己在哪些方面还需要加强，希望同学们再通过以下三道课下练习题认真反思、总结.

选择课下练习题的思考：解题是学会的，不是教会的，必须在游泳中学会游泳，特别是突出思维，体现思想方法运用的问题，学生必须有自己的体验，感悟，有操作程序，能设计已知到目标的合理途径，面对高考“活而不难，巧而不怪”的特点，必须在合适的情境下选择高质量、符合学生实际的问题.选题知识上有一定综合性，试题题目不追求绝对难度，主要是知识的综合应用、灵活应用；体现基本数学思想方法的运用，这是学生解题的一块“短板”，当知识的积累达到一定程度，学生解题能力提高的加速剂就是思想方法，它是知识转化为能力的桥梁，特别是重要的数学思想如转化与化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等，数学思想方法的运用到复习阶段必须给学生明确揭示，让学生在运用中体验、感悟.

1.（2012年北京高考文第14题）已知f（x）=m（x-2m）·（x+m+3），g（x）=2x-2.若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是_________.

2.（2008年江西高考理科第12题改编）已知函数f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是_______.

3.（2011年江苏高考第19题）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x）和g（x）的导函数.若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致.

（1）设a＞0，若f（x）和g（x）在区间［-1，+∞）上的单调性一致，求实数b的取值范围；

1.［美］波利亚，著.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

2.罗增儒，著.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2012.

3.［英］S.Ian Robertson，著.问题解决心理学［M］.张奇，等，译.北京：中国轻工业出版社，2004.