于拐角处寻“另一村”

☉湖北省武汉市第十六中学 卢胜光

在生活中经常经过建筑的走廊的“拐角”处来回搬运一些物品，看似十分简单的事情，却隐含着颇有意义的数学背景.下面我们就把它设计成一些数学问题进行一些探讨.

问题1：某厂房内有一个水平直角型走廊，如图1所示，两过道的宽度分别为3m、2m，有一根长5m的金属棒（粗细忽略不计）能否水平通过直角走道？

分析与解答：不失一般性，设直角型走道的宽分别为a、b，如图1，以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，问题转化为：求过点P（a，b）的直线被两坐标轴所截线段AB长的最小值.

图1

所以5m长的金属棒可以水平通过直角走廊.

问题2：某建筑物内有一水平直角型走廊如图2所示，两过道的宽度均为2m，有一个水平截面为矩形的设备的宽为1m，长为5m，问该设备能否水平经过该过道？

图2

分析与解答：我们还是来讨论问题的一般性，设过道的宽度均为λ m，矩形长AB=am，宽BC=bm（这里b＜λ＜a），以直线OB、OA分别为x轴、y轴建立坐标系，问题转化为：求以M（λ，λ）点为圆心，半径为b的圆的切线被两坐标轴的正半轴所截线段AB长的最小值.

因为AB与圆（x-λ）2+（y-λ）2=b2相切，由圆心（λ，λ）到直线AB距离等于半径，得

因为b＜λ，当λ∈R+时，-λt2+4bt-2λ＜0，

问题3：设病床的长和宽分别为p，q（规定），病房走廊宽度为l，拐角处成直角，如图3.为了保证病人能躺在病床上进入手术室，宽度l最窄应是多少？说明理由.

图3

再设t=sinα+cosα.

分析与解答：如图4，以∠AOB的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系.

图4

所以长为10m的竹杆可平行通过该“拐角”走廊.

上述几个问题，将实际背景融入到了高中数学内容中，反映了数学的应用价值，是开展数学建模的好素材.若能结合教学内容进行适当的整合，在实际应用中渗透，将有利于激发学生学习数学的兴趣，促进学生形成和发展数学应用意识.