阅读中感悟 引导中生成 探究中提升——“阅读·引导·提炼·探究”在高中数学教学中的实践与认识

☉江苏省南通市小海中学

江苏省南通市曾荣名师工作室 曾 荣（特级教师）

荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说过：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷的美丽”背后的数学本质［1］.笔者在长期的课堂教学实践中，尝试以阅读、探究等方式激发学生进行积极主动的思考，提升学生的学习能力，初步形成了“阅读·引导·提炼·探究”的教学模式.本文结合课堂教学实践阐述对该教学模式的认识.

一、“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的实践

（一）“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的教学案例

为了能让读者对“阅读·引导·提炼·探究”教学模式有整体认识，我们先来看一个具体的教学案例.

【案例】《数系的扩充》的教学过程设计［2］

1.自主阅读，提出问题

【阅读材料1】我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系.在人类数的发展过程中，数集从自然数集扩充到实数集大致经历了以下过程，如图1所示：

图1

问题1：阅读以上材料，结合社会生活发展的需要思考数系的扩充过程，并在空格内填入适当的数集.

问题2：卡尔丹的解释在实数集范围内能成立吗？为什么？

2.引导交流，数学活动

活动1：从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充.你能结合数系的扩充过程总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？

活动2：在我们的数学学习中，是否还存在与阅读材料1相类似的认知冲突呢？

活动3：为了使数学家卡尔丹的解释变得合理，你认为需要引入具有怎样特征的数？

3.自主提炼，数学建构

（1）数系的扩充过程（如图2）.

图2

（2）复数的有关概念.

①虚数单位的引入：规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

②复数的定义：

形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

全体复数组成的集合叫复数集，通常用C表示，即C={a+bi|a，b∈R}.

③复数的分类：

复数z=a+bi（a，b∈R），当b=0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数（特别地，当a=0时，z为纯虚数）.

（3）复数相等的充要条件.

如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等.

即：a+bi=c+di⇔a=c且b=d.（a，b，c，d∈R）.

4.实践探究，数学运用

（1）初步运用.

例1 指出下列复数的实部与虚部：

例2 实数m分别取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是：

①实数？②虚数？③纯虚数？④6+2i？

例3 已知复数z1=（x+y）+（x-2y）i，复数z2=（2x-5）+（3x+y）i，若z1=z2，求实数x，y的值.

（2）变式演练.

练习：设z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，当m取何实数时，

①z1=0？②z1≠z2？

（3）深入探究.

下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？

①若a∈R，则a2≥0；若z∈C，则z2≥0.

②若a，b∈R，a2+b2=0，则a=b=0；若z1，z2∈C，z12+z22=0，则z1=z2=0.

③实数可以用数轴上的点来表示；复数可以用数轴上的点来表示.

5.回顾反思总结提升

（1）知识结构（如图3）：

图3

（2）探究途径：阅读、类比、猜想、化归.

（3）探究拓展：

你能在今天所学知识基础上进一步研究复数的运算及复数的几何意义吗？

6.课后作业（略）

（二）“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的操作流程

从上述案例可看出“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的基本流程如图4［3］所示：

图4

二、“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的理性认识

（一）自主阅读，在阅读中感悟

数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言，是描述科学的语言.前苏联数学教育学家斯托利亚尔认为“数学教学也是数学语言的教学”.从语言学习的角度讲，数学学习离不开数学阅读［4］.新课程教材编写者为了培养学生的阅读能力，在教科书许多章节后都安排了集知识性、科学性、趣味性、教育性于一体的“阅读材料”.数学教师应充分利用好教材资源，或是根据需要编写一些与所授内容相匹配的阅读材料，让学生进行阅读.通过阅读思考，感悟数学的发现之美、和谐之美、本真之美.

1.在阅读中思考，体验数学的发现之美

数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.事实上，教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”.在这“冰冷的美丽”背后隐藏的是发现数学定理时的原始形态，需要教师以合适的方法进行揭示.教师搜集整合有关背景材料，进一步加工成学生能读、乐读的阅读材料，让学生在阅读中思考、在阅读中发现，这无疑是一种有效的教学方式.

2.在阅读中迁移，感悟数学的和谐之美

数学学习注重培养学生“举一反三”的能力.这种能力很大程度上表现为一种类比迁移的能力.类比，是指由两个对象具有某些相同的性质，推出它们的其他性质也可能相同的思考方法.类比既是一种思想方法，也是一种教学方法.著名教育家波利亚曾形象地说过“类比是一个伟大的领路人”.教师在课堂教学中合理运用阅读材料，创设迁移类比情境，寻根溯源，引导学生去比较、去发现，将有利于学生实现学习方式的转变，从而提高课堂学习效率.

3.在阅读中回归，感悟数学的本真之美

设置阅读材料，不是为了替代教材，而是为了更好地诠释教材，通过阅读材料渗透与教材知识相关的思想、方法，通过数学思想方法引领学生的学习，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.为此，教师在编写、运用阅读材料时，应重视回归，回归思想、回归方法、回归教材，让学生体验数学的本真之美.

（二）引导交流，在引导中生成

在学生自主阅读的基础上，教师可以组织学生进行交流活动，围绕阅读材料中提出的问题相互评价，相互补充，相互答疑，及时解决交流过程中出现或提出的问题.教师应根据学生交流活动的开展情况进行相机引导.

著名特级教师李庾南老师认为，相机引导即教师运用点拨、解惑、提示、释疑等方法发挥教师的引导作用.如创设合适的情境，生成课题，激发研究兴趣，明确研究内容和研究方法；根据学生学习中出现的问题，或进行启发性的描述，使学生得到仿效和借鉴，或对有关问题的前景进行生动的描述，使学生打开眼界，拓宽思路，或列举一些矛盾现象，选编一些容易发生错误的习题，让学生深入思考，总结经验教训等.通过教师引导，使学生学习有内驱力、有内容、有方法，使议论有序、有激情、有见地、有深度，最终使课堂学习达到预期目标.引导是教师在课堂教学中发挥主体作用的重要标志，正确地发挥教师对学生的引导是自主学习、合作学习取得预期效果的保证.常用的引导方法有示范性引导、例证性引导、展望性引导、逻辑性引导、反驳性引导、诱惑性引导、探究性引导等［5］.

（三）自主提炼，在提炼中建构

通过学生的自主阅读、独立思考、合作交流以及教师的相机引导，学生对本节课所学知识产生的背景、发展的主线有了一定的了解，但理解还不够深入，细节研究还不够充分，表达也不够规范.此时，教师应鼓励学生自主提炼，进行数学建构活动.对于概念教学，教师应让学生尝试自己给概念下定义，并不断修正概念的表达方式.同时提炼概念的关键词，围绕关键词将概念的研究进一步深入；对于习题教学，教师在与学生合作解答的基础上让学生自主提炼解题的流程、方法、思想，以达到举一反三的目的；对于单元复习课，应通过回顾、梳理，让学生自主提炼本单元的知识结构，以达到整体建构的目的.

（四）实践探究，在探究中提升

欧洲教育界流行着我们的先哲——孔子的三句话：If you tell me and I shall forget（如果你讲给我听，我将会忘记）；If you show me and I shall remember（如果你做给我看，我将会记住）；If you involve me and I shall understand（如果你带我一起做，我将会理解），并将其演化为探究式教学的哲学指导和思想依据之一［6］.数学探究式教学是指教师在数学教学过程中，为学生提供充分的自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，引导学生自主地参与教学，促进学生加深对知识的体验，帮助学生逐步形成研究数学的积极态度，掌握研究数学的基本方法，发展数学研究能力的一种教学方式［7］.

1.探究活动应贯穿数学教学的始终

很多人常将数学探究理解为新知的运用，是利用新知解难题，数学探究的过程就是难题解决的过程.实则不然，数学探究活动并不仅仅停留在数学运用层面，“阅读·引导·提炼·探究”教学模式的各个环节都可能伴随探究活动的发生.例如，在阅读过程中，学生采取主动式阅读的方法去归纳、综合、概括、发现、探索，实际上就是一次极具价值的探究活动.在提炼阶段，数学概念本身也是在探究活动中逐渐生成、廓清和发展的，与科学探究有着“天生而必然”的联系，探究过程就是实现概念意义建构最适宜的学习情境.

2.探究活动应重视探究方法的养成

探究活动应重视以数学方法论为指导，教给学生掌握发现和探究问题的方法.数学常用的探究方法有归纳、演绎探究，比较、类比探究，观察、实践探究，假设、猜想探究，证明、反驳探究，直觉思维探究，逆向思维探究，弱抽象探究等.通过经常性的探究活动，帮助学生形成科学的探究意识和探究方法［8］.

3.探究活动应重视意志品质的培养

在重视学生学习结果的同时，更应注重学生的探究过程以及学生在探究过程中的感受和体验.著名数学教育家弗赖登塔尔指出：从教学认识过程的任务来看，其根本目的不在于仅仅获得和验证真知，更主要的是为了在一定知识经验之上构建学生主体的新的认知活动结构和实践行为能力，学生主体在认知过程中的建构活动本身即是一种创造的过程.教师要根据教学目标，按照学生的认知结构，围绕教学内容设计出阶梯式的问题系列，从而创设一定的思维环境，把学生的思维带到最近发展区内，激发学生的内驱力，使学生尽快进入学习状态.通过营造这一种氛围，使学生积极主动地、自由地去思考、想象、探索，从而解决问题或发现规律，并获得一种积极的情感体验.通过问题解决，对学生进行认知开发，促进学生能力的发展和素质的提高，并促进智力结构与非智力结构（动机、兴趣、信念、意志等）同步和谐发展.

“阅读·引导·提炼·探究”教学模式相对其他教学模式而言，更注重阅读活动、探究活动的开展，有利于学生自主学习能力和探究能力的培养.但作为一种固定的模式，却也存在操作机械、融合度欠缺等问题.能否更好地将阅读、引导、提炼、探究融合为一个整体，使其从一种教学模式发展成为一种教学范式，这将是一个值得长期研究的课题.

1.张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考［J］.高等数学研究，2006（2）.

2.曾荣.基于数学史渗透的教学设计：数系的扩充［J］.高中数学教与学（人大复印资料），2012（7）.

3.曾荣.高中数学“阅读·引导·提炼·探究”教学模式探析［J］.数学教学研究，2011（7）.

4.曾荣.例谈课堂阅读材料编写的原则［J］.中国数学教育，2011（12）.

5.李庾南.数学自学·议论·引导教学法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

6.陆真.新课程实施背景下对科学探究的再认识与思考［J］.课程·教材·教法，2005（9）.

7.曾荣.数学探究式教学：培养主动发展的人［J］.数学教学通讯，2010（7）.