追寻高考数学试题中的多元文化元素

☉江苏省宜兴中学 张海强 吴华平

《2013年高考数学科考试大纲（新课标）》在“个性品质要求”中指出：个性品质要求是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学价值.这一要求如何在兼具选拔与导向功能的高考中落到实处呢？回眸历年高考试题，笔者发现多元的数学文化元素在高考试题中的渗透是实现这一考查要求的主要途径.下面即跟随笔者的脚步去追寻高考数学试题中的多元文化元素，领略数学文化在激烈的考试竞争中给我们带来的力量、传承、影响、情怀和温暖.

一、数学史料中的文化元素

毕达哥拉斯学派对自然数可谓情有独钟，对其作了多方面、系统的和深入的考察.他们发现了亲和数：如果每个数是另一个数的真因数之和，即两个数是亲和的，如284和220.

他们研究了“形数”，其中包括三角形数，正方形数，五边形数等，这些数都被看成是某些几何图形中点的数目，许多关于形数的有趣定理能以纯几何的方法来证明.2012年湖北省高考文科第17题即是以此为背景编拟的.

试题引用：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

图1

如图1，将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）

毕达哥拉斯学派还研究完全数——等于它的真因数之和的数，如6=1+2+3、28=1+2+4+7+14.而回文数的研究则可以看成毕达哥拉斯学派精神的延续，2012年湖北省理科第13题即考查了回文数.

试题引用：回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有______个.

二、数学题材中的文化元素

1.摆线

图2

2.阿波罗尼斯圆

3.费尔马点

费尔马被誉为“业余数学家之王”，他与笛卡尔分享创立解析几何的荣誉，同时也是微积分的杰出先驱者；是现代数论的奠基者；与帕斯卡、惠更斯一起被称为概率论的创始人.他提出的费尔马大定理被喻为“会下金蛋的鹅”.它的证明持续了300多年.

费尔马点问题最早是由费尔马在一封写给意大利数学家托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的.托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费尔马-托里拆利-斯坦纳问题.

费尔马点：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.具体位置分两种情况：

（1）若△ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.

（2）若三角形有一内角不小于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

2008年江苏高考第17题即为求△APB的费尔马点.

图3

试题引用：如图3，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

三、数学史籍中的文化元素

《九章算术》是中国在古代第一部数学专著，堪与西方的《几何原本》相媲美，被尊称为“算经之首”.其内容包括方田、粟米、衰分、少广、商工、均输、盈不足、方程、勾股等九章，故名《九章算术》.2012年湖北高考理科第10题即来源于《九章算术》的少广章.

四、数学名题中的文化元素

斐波那契，意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数列，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲，其代表作为《算盘书》、《几何实践》.

斐波纳契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…，斐波纳契数列也可由如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N*）.在现代物理、准晶体结构、化学、自然界等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果.2012年上海高考文科14题和2012年江西高考理科第6题均以斐波那契数列为基础加工设计而成.

试题引用2： 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ）.

A.28 B.76 C.123 D.199

五、数学人物中的文化元素

1.狄利克莱

狄利克莱（Dirichlet，1805-1859），德国数学家.他是解析数论的创始人之一，他在数论方面关于费尔马大定理，先后给出了n=5，n=14时无整数解的证明.他著有《数论讲义》，对高斯的《算术研究》作出了清楚的解释并有自己的独创，提出了著名的狄利克莱定理.

A.D（x）的值域为{0，1} B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数 D.D（x）不是单调函数

2.柯西

柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789-1857），法国享有盛誉的数学大师.他在纯数学和应用数学的功底相当深厚，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.他一生著述丰富，发表论文800篇以上，几乎涉及当时所有的数学分支，是著名的多产数学家之一，被认为在数量上仅次于欧拉的人，其中以《分析教程》和《关于定积分理论的报告》最为著名.特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.

1.易南轩，王芝平.多元视角下的数学文化［M］.北京：科学出版社，2007.

2.张顺燕.数学的源与流［M］.北京：高等教育出版社，2003.