线性代数教学中两个问题的几何解释

李丽

（安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030）

线性代数教学中两个问题的几何解释

李丽

（安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030）

解析几何除自身的知识体系之外，还为微积分，线性代数等多门课程中许多抽象的问题提供了形象的几何解释.本文就两个具体的线性代数问题，进一步说明在线性代数教学中渗透几何直观的必要性.

解析几何;线性代数;线性相关;施密特正交化

微积分、线性代数、概率论与数理统计，是高等院校大部分专业必修的公共基础课.线性代数是研究线性空间及其上的线性变换的学科.它广泛应用于微分方程、概率统计、离散数学、现代控制理论等数学分支，它的知识已经渗透到自然科学的其它学科、工程技术、经济与社会科学领域.由于该课程具有高度的抽象性和逻辑性，学生在学习该课程时往往很难深刻理解线性代数中抽象的概念和结论，这是由于在实际教学中，教师往往重理论而轻实践，剥离了概念、原理和范例的几何背景与现实意义，导致教学内容过于抽象，较难理解，也不利于与其它课程及学生自身专业的衔接，进而造成了学生学不会，用不了的尴尬局面.

实际上线性代数与几何紧密相关，线性代数中许多问题都有形象的几何解释，在线性代数教学中有效的融合几何背景，可以帮助学生更好的理解线性代数中较为抽象的问题.

在许多教材和文献中我们都可以看到一些线性代数问题的几何解释.如行列式是大部分线性代数教材中首先介绍的，如果只是机械的介绍二、三阶行列式乃至n阶行列式计算，学生在学习中往往会问为什么行列式要这样定义，对于他们理解和应用行列式都是非常不利的.此时我们可以借助平面两个向量的有向面积，空间三个向量的有向体积，以及n维平行多面体的有向体积来理解行列式的定义，这样不仅可以帮助他们理解行列式的由来，还可以激发学习线性代数的兴趣；再比如线性代数中n维向量空间中基本上所有的内容：向量的内积、模长、夹角，向量空间的基，维数，向量的坐标等都可以从三维欧式空间中找到几何直观.下面根据自身的教学经验，就线性代数中两个学生在学习时普遍反映比较抽象的问题详细的给予几何解释，进一步说明线性代数教学中渗透几何解释的重要性.

1 线性相关与线性无关

线性代数中线性相关与线性无关的定义如下：

定义给定向量组A：α1，α2，…,αs，如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks，使

则称向量组A线性相关,否则称为线性无关，即当且仅当k1=k2=…=ks=0时，(1)式成立,向量组α1，α2，…,αs线性无关.

线性相关、线性无关的定义给出之后，接着又给出了若干判断线性相关的定理与推理，如：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.

学生每次学到这里就开始混乱，一方面是因为结论较多，难以一下子就记下来，另一方面是对概念的理解不够透彻.如果结合几何背景来理解定义和判定定理就可以达到事半功倍的效果.在解析几何中，也有线性相关和线性无关的定义，并有着形象的几何解释.

两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面，可以用来理解线性相关这个抽象的定义.三维欧式空间中任何四个或四个以上向量总是线性相关的，可以用来理解向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关.

2 施密特正交化

当向量空间中的基取做标准正交基时，可以通过向量的内积运算快速求出某个向量在此基下的坐标，因此在给出向量空间的基时常常取标准正交基.在实对称矩阵的对角化问题上，我们需要求正交矩阵使得实对称矩阵对角化.这两方面的问题都需要对向量组正交化，而用到的方法即为施密特正交化，具体过程如下：

设α1，…,αr是向量空间V的一个基,

在此处的教学中，对学生的要求是记忆并应用公式，但学生不理解这个公式是怎么来的，此时可以以三个向量为例，利用几何背景来形象的理解此公式：（2）—（5）式是解析几何中将仿射标架变为直角标架的过程：

线性代数与解析几何的联系远远不止于此，解析几何除了可以为线性代数中抽象问题提供几何直观外，线性代数也为解析几何提供了代数工具，两者相互渗透，因此教学中充分重视两者的结合教学是非常必要的.

〔1〕吕林根，许子道．解析几何[M].北京：高等教育出版社,2001.

〔2〕吴赣昌．线性代数[M].北京：中国人民大学出版社,1999.

〔3〕建华，蔡传仁．几何直观在线性代数教学中的应用[J]．工科数学，2002，(18)1：87—90.

〔4〕许定亮．在线性代数教学中融入几何解释[J]．常州工学院学报，2006，(19)2：72—75.

O151.2

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1673-260X（2013）11-0003-02