基于最小二乘法的平面抛物线轮廓度的误差评定

王海洋，雷贤卿，崔静伟

（河南科技大学 机电工程学院，洛阳 471003）

0 引言

在工程应用当中，广泛涉及到平面线轮廓如渐开线、椭圆、抛物线、摆线和萁舌线的轮廓度测量、识别和误差评定[1]。如在模式识别和计算机视觉中，图形（图像）数据的模型拟合和匹配是一项基本工作。CAD中在理论和实际应用中经常遇到二次曲线的拟合问题[2]。在径流式叶轮的设计和制造过程中，抛物线型叶片以其良好的气动性能、强度及工艺性被普遍采用[3]。在汽车制造业的深孔加工中抛物线型麻花钻以其排屑流畅、刚性好、使用寿命长代替了传统的麻花钻[4]。在数控系统加工零件过程中，抛物线轮廓的插补拟合算法的研究对提高拥有抛物线轮廓零件的精度有着很高的实用价值[5]。因此研究抛物线轮廓度误差评价方法对保证抛物线型叶片及其他抛物线型零件的加工质量和精度有着重要的意义。

关于抛物线的轮廓度误差的评定，国家标准尚未给出明确的定义和特定的评定算法求解抛物线轮廓度误差，近年来国内外学者专门对抛物线的研究较少，比较有代表性的成果分为几何距离拟合和代数距离拟合；几何距离拟合由H.Späth在1996提出的用正交距离最小二乘法拟合抛物线[6]和Sung Joon Ahn在H.Späth的基础上对椭圆、抛物线等二次曲线用正交距离的最小二乘法进行拟合[7]；在代数距离拟合中，刘海香对二次曲线的最小二乘法拟合进行了阐述和比较，指出在二次曲线拟合中抛物型的曲线较难拟合，抛物型曲线的曲率比较大，拟合出来的误差曲线理想程度较差[2]。这些拟合方法对于抛物线误差的评定都有一定的效果和借鉴作用。

本文通过平面任意位置的抛物线方程，抛物线法线方程和抛物线本身的性质，利用最小二乘原理和约束条件实现对平面任意位置抛物线轮廓度误差的评定。

1 最小二乘抛物线拟合

平面任意位置抛物线的表达式 F ( x ,y)用平面一般二次曲线方程表示较为合适。设平面抛物线方程为：

设Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)为抛物线上的N个测量点，根据最小二乘原理拟合的目标函数为：

为使得F为最小，使：

由此可得矩阵方程：

解方程（4）会得出0解，为了得出A、B、C、D、E和F的值，需要对方程加限制条件。根据一般二次曲线的平面解析几何知识，二元二次方程为抛物线时， 令H=A+C，则H都是在坐标轴的平移和旋转变换之下的变量[9]，在这里我们令A+C=1带入到方程（4）中，便可以解出A、B、C、D、E和F的值，方程(1)中的六个系数与抛物线的位置参数(θ,xc,yc)及形状参数p存在以下关系[7]：

由方程组（6）可以得到用最小二乘法拟合出的抛物线的四个参数。

2 计算各测量点到最小二乘抛物线的法向距离

图1 平面抛物线及测量点与最小二乘抛物线关系图

2.1 计算法向距离

如图1所示，我们定义点 ),(ii iYXM 为过抛物线外一点 ),x(ii iyW 的抛物线法线与拟合抛物线的交点，由于交点 ),(ii iYXM 既在法线上又在最小二乘抛物线[8]上，则点 MXi,Yi)满足方程组（7）：

表1 测量数据（mm）

求解非线性方程组（7）求出各个满足条件的Mi( Xi,Yi)(i = 1 ,2,3...N)的值并带入式（8）计算各个测量点到抛物线的法向距离 d ( i)。

2.2 判断测量点 W i位于最小二乘抛物线的内外侧

通过将测量点到抛物线的代数距离的正负来判断测量点位于拟合曲线的内测还是外侧。

将测量点 Wi( xi,yi)的值带入到拟合曲线F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F中。

当 F ( x ,y)＞0,则测量点 Wi( xi,yi)在抛物线的外侧； F ( x ,y)＜0,则测量点 Wi( xi,yi)在抛物线的内侧。

抛物线轮廓度误差是指实际被测轮廓线对其理想轮廓线的变动量。则每一个测量点Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)到拟合最小二乘抛物线的法相距离为：

当测量点位于最小二乘抛物线外侧时， d( i)取正值；当测量点位于最小二乘抛物线内侧时， d( i)取负值。

3 抛物线的误差

抛物线轮廓度公差带是与理想抛物线等距的两个抛物线等距线之间的区域。也即理想抛物线外侧测量点的最小法向距离中的最大值与抛物线内侧测量点的最小法向距离的最小值之间的距离：

4 实例验证

为了检验算法的正确性和可靠性，用计算机模拟发生具有不同几何位置的抛物线数据，用本算法对其进行形状误差评定，本文采用matlab软件编程计算，由于没有已有的参考数据进行比较，所以在一组标准抛物线中加入测量误差δ=±0.05m的数据进行仿真验证，测量数据处理结果如表2所示。

表2 数据处理结果

5 结论

本文结合最小二乘原理，通过利用抛物线方程系数限制条件得到平面任意位置抛物线的拟合方程，并通过抛物线方程及抛物线法线方程特点，找到测量点沿法线方向到最小二乘抛物线的距离，实现对平面任意位置抛物线的最小二乘误差评定；本文方法适用于平面二次曲线并且无需进行坐标变换。

[1] 李秀明,石朝耀.基于方程的椭圆轮廓度的评定[J].北京工业大学学报,2009,(35):1303-1307.

[2] 刘海香.平面上散乱数据点的二次曲线拟合[J].计算机辅助设计与图形学学报,2004,16(11):1594-1598.

[3] 龚本正.径流式叶轮的设计方法[J].华中工学院学报,1979:226-245.

[4] 张淑荣.抛物线麻花钻的设计原理[J].工具技术,2012,(5):80-81.

[5] 刘海涛.基于Matlab的抛物线等间距拟合法的误差分析[J].机械设计与制造,2010,4:221-222.

[6] H.Späth. Least-squares orthogonal distances fitting of parabolas,Computer.State.1996:261-269.

[7] Sung Joon Ahn. Least-squares orthogonal distances fitting of circle,sphere,ellipse,hyperbola,and parabola,Pattern Recognition,2001,34:2283-2303.

[8] 王宇华.椭圆轮廓的评定方法及其计算机模拟[J].佛山大学学报,1992,10 (6):27-31.

[9] 丘维声.解析几何[M].北京:北京大学出版社,1996:161-168.