网格几何性质对矩阵条件数影响的研究

郭淼

摘 要：在求解偏微分方程的过程中，数值解的精度与所采用的数值解法有关。而数值解法的计算性能对于网格的几何形状有很强的依赖性。本文选用有限体积法求解典型二阶线性椭圆型方程，探索所得刚度矩阵的条件数与所选结构网格几何性质之间的关系。所得结果能够为方程组的求解以及非结构网格的研究提供指导与依据。

关键词：有限体积法；条件数；网格几何性质

0 引言

在传统上，不同的领域总是被分开独立研究，从而使得各个领域的独立性越来越大。在网格领域，用几何度量作为检验网格质量的标准是众所周知的。有限体积法（Finite Volume Method，简称FVM），具有有限元方法的网格剖分灵活性，能逼近复杂的几何区域，而且具有有限差分法在格式构造上的多样性，得到迅速的发展和广泛的应用如在[1，2]中。本文对刚度矩阵条件数与衡量网格几何性质的参数之间的关系进行了理论分析。所得成果能够帮助网格的生成与优化以及为线性系统中求解方程提供新的理解与依据。采用一次元FVM离散格式，，给出数值算例验证理论正确性与合理性，以及对所得结论的进一步分析。

1 二阶线性椭圆问题

考虑有界域ΩR2上的泊松方程：

-?u=f， & in Ωu=0， & on ?Ω （1.1）

?Ω 为有界域Ω的边界，记作Γ，u=u（x）为所求未知量。根据一次元有限体积法（见[3]），得到如下格式

i=1t14Sqiupi-up0pi+1p0·pipi+1+upi+1-up0p0pi·pipi+1=f，ψp0

（1.2）

将其组装成总体刚度矩阵，以此求解刚度矩阵条件数为研究所用。

2 网格几何性质与刚度矩阵条件数

由简单的推导可知，对于任一三角形单元t，有t=h2sin2θ/4以及成立，在均匀的三角网格上可得条件数的估计范围 c1h2sin2（2θ）≤CondK≤c2h2sin22θ。其中h为均匀网格中任一三角形单元t的对角线长度，θ与π/2-θ为三角形单元的两个锐角。c1、c2c1、c2为与h与θ无关的正常量，其中h2与sin-1（2θ）成正比。

3 数值算例与分析

采用上述有限体积格式考虑如下问题：

（3.1）

Ω是一块面积为1的方形区域， 表示方形区域的南北边界，表示方形区域的东西边界。该问题的精确解为.根据前文有限体积法格式在不同网格上计算得出的数值结果以及分析如下文所示。

3.1 在二维均匀三角形网格上

表1为在8192个节点的结构网格上，不同三角形单元锐角的网格上所得数据可以得出总体刚度矩阵的条件数与sin-1（2θ）成正比，最大特征值与sin-1（2θ）也是成正比。对于二维问题，当网格总面积不变时，其最小特征值变化很小。当趋近于0或者时，最大特征值与条件数是增加的，当=即sin（2θ）时，最大特征值与条件数取到最小。表明当网格为正则结构网格时，所得数值结果最佳。

如图3所示，为sin-1（2θ）为横坐标，最大特征值max（λ）与条件数Cond（K）为纵坐标。其中虚线为sin-1（2θ）与max（λ）×104的关系，实线为sin-1（2θ）与Cond（K）之间的关系。接近线性的图形很好地验证了理论推理的正确性。

图3.1sin-1（2θ）与max（λ）104、Cond（K）之间的关系

如图3.2所示在正则结构网格上（锐角θ=π/4），针对不同格规的网模所得数据，如表2所示，当网格横坐标纵方向节点数增加一倍时，最大特征值变化很小，最小特征值缩小为原来四倍左右，即条件数增加为原来数据的四倍，所得结果也是满足之前所作分析。

4 结论

本文采用一次元有限体积法求解典型二阶线性椭圆型方程，通过数值算例探讨了刚度矩阵条件数与结构网格几何性质之间的关系，给出了对于均匀三角形网格，在选取网格的时候应该避免出现较小角的理论分析，当网格为正则结构网格时，所得数值结果最为理想。后续工作将集中在通过大量数值算例在结构网格研究的基础上，探索非结构网格的几何性质对刚度矩阵条件数的影响。

参考文献

[1] Q.Du， D. Wang and L. Y. Zhu， On mesh geometry and stiffness matrix conditioning for general finite element spaces. SIAM J. NUMER. ANAL. Vol 47， No.2， pp. 1421-1444.2009.

[2] I. Fried， Bounds on the spectral and maximum norms of the finite element stiffness， flexibilityand mass matrices， Int. J. Solids Structures， 9 （1973）， pp. 1013-1034.

[3] I. Fried， Numerical Solution of Differential Equations， Academic Press， New York， 1979

[4] J. Shewchuk， What is a Good Linear Finite Element？ Interpolation， Conditioning， Anisotropyand Quality Measures， Tech. report， Department of Computer Science， University of California， Berkeley， CA， 2003.