在研究性学习中优化和完善学生的数学认知结构

摘 要：数学认知结构是挖掘和提炼数学观念的重要来源，是影响学生分析问题能力的关键因素。构建良好的数学认知结构是课堂教学的基本任务，促使学生形成良好的数学认知结构是数学教育永恒的主题。在数学研究性学习中，要采用适当的教学策略，优化和完善学生的数学认知结构。

关键词：研究性学习；数学知识结构；数学认知结构；问题情境；探究；体验

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）05-0053-03

数学研究性学习是学生在教师的指导下，在数学领域中，通过自主探究的学习活动，在已有知识与经验的基础上，经过同化、组合和研究获得新的知识、能力和意识，发展思维的一种学习方式。它是对传统的接受式学习的一种改革，是培养创新精神与实践能力的新教育观念在教学领域的体现。数学研究性学习打破了课堂教学的封闭状态，把学生置于开放、多元的学习环境中，给学生提供更多获取知识的方式与渠道，使学生汲取更多新的信息。同时，通过对知识的探究与运用，可以有效地解决对知识整体感知问题，建立起个性化的知识结构。因此，构建学生良好的数学认知结构就成为数学研究性学习不可或缺的一个重要组成部分。

认知心理学认为，各种知识都是对于按照一定的关系和一定的模式构成的事物结构的认识，因此，每门学科就是与一种“事物结构”相应的知识结构。人们在掌握某门学科的知识时，总要通过感知、记忆、理解、推理等一系列的认知活动，在这个认知活动中，人们就会形成一定的认知模式，即认知结构[1]。有的学生解决数学问题能力强，学习效果好，不是因为他具有的知识多，而是他对已有的知识组织得好。因此，教师在课堂教学时，不仅要把课本知识讲清楚，更要把这些结构严谨的数学知识转化成学生头脑中的数学认知结构。只有构建良好的数学认知结构，才有利于学生数学思维能力的发展，提高解决数学问题的能力。

数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切联系，又有严格区别。两者的联系在于学生的数学认知结构是由教材和课堂中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的基础和依据。它们的区别在于数学知识结构是数学知识本身的逻辑体系结构，是客观存在的。而数学认知结构则是数学知识结构与学生认知结构相结合的产物，是学生头脑中的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的直觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。它包含三种主要成分：数学知识和数学经验系统；数学认知活动操作系统；数学元认知系统。其关系图如下：

学生的数学认知结构有其固有的特点，这些特点是：⑴数学认知结构是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物；⑵数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织；⑶数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识；⑷每一个学生的认知结构各有特点，学生的心理素质存在差异，决定了每个学生的认知方式和认知水平也有明显差异，因而他们的认知结构必然要具有自己的个性特点；⑸数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的、不断发展和完善的动态组织；⑹从功能上来说，学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识 ；又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题[2]。良好的数学认知结构可以使学生：能够迅速地吸收新知识，能够灵活运用知识，能够产生、创造新知识[3]。

既然数学认知结构是从数学知识结构转化而来的，所以系统、全面的数学知识是建立良好完善的数学认知结构的基础，也是数学认知结构中一个稳定而清晰的固定点。良好的数学认知结构不是简单的数学知识仓库，只堆放着许多零散的孤立的知识，而应该是一个有机的整体，知识之间有紧密的内在联系，它们互相渗透、互相蕴含、相互依存，并且按照一定的规律联系在一起，形成一个完整的知识网络。比如，对于周期性、单调性、根、不等式等看似不相干的知识点，良好的认知结构会选择函数这个大的概念来统领这些小概念，而不是将一个个概念孤立地存储在数学结构中。这就需要在数学学习过程中，不断对知识进行加工、改造、组织，形成一种主次分明、以主干知识为骨架、条理清晰的知识网络，这种网络结构具有较强的吸收和再生功能。

数学教学的中心任务就是促使学生建构良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新知能力和知识结构更新能力。因此，良好的数学知识结构必是数学知识体系中各个知识点的合理搭配和有机组合。如果把数学知识体系看做是一部“机器”，那么各个数学知识点可以看做是这部“机器”的一个个“零件”，教师的任务不仅是让学生掌握、理解每个“零件”的结构和特征，还必须培养学生学会并且熟练地将各个“零件”组装成“机器”。数学知识之间存在纵向和横向的有机联系，这些联系的交汇点往往是高考命题的“热点”。因此，在数学教学中要注意加强各知识间的联系与结合，明确课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。另一方面，数学认知结构是在学习主体主动认识、深入加工的基础上形成的，因此，主体认识的状态是建立良好数学认知结构的关键。在教学实践中，首先是突出核心知识的教学，建立全面系统的数学知识结构，形成良好数学认知结构的初步框架。只有建立比较全面的数学知识结构，才能转化为完整的数学认知结构。数学知识结构的残缺，将导致认知结构基本成分的不完备。其次，要强化数学思想方法的教学。数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。要发展学生良好的数学认知结构，就必须要突出数学思想方法的教学，帮助学生建构思想方法层次上的数学观念[4]。在数学认知结构中，数学思想、方法起着决定战略方向的作用。

数学认知结构由知识结构转化而来，但这种转化不是自发的，它必须在教学活动中通过新旧知识的相互作用，通过对已有认知结构的组织和再组织才能实现。因此，教师在教学活动和学生研究性学习中，要按照认知结构的标准，提升学生的数学认知结构，就应该强化以下几个方面：

1.保持主动探究兴趣。通过课堂教学，激发学生学习新知识的兴趣，主动地进行认知结构的重新组合，优化学生原有的数学认知结构。在课堂教学中，教师要积极主动地创设数学问题情境，向学生提供一些现实的、有趣的、富有挑战性的数学学习内容。这些知识来源于学生的生活经验，符合学生的身心发展规律，成为学生主动从事观察、猜测、实验、合作交流等数学活动的主要素材。让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主尝试探索，唤起学生解决问题的欲望，激发学生的探究兴趣，进而培养学生的问题意识和解决问题的能力。比如，通过充分挖掘数学的内在美感因素，唤起学生的情感意识；还可以使数学问题生活化，把“身边的数学”引入课堂，激发学生学习数学的兴趣。

中学数学课程中的许多知识是符合学生的实际发展水平的，学生完全可以依靠自己的能力独立完成知识再发现的过程，教师只要提供背景问题后，就应该放手让学生进行独立探索，不应做过多过细的指导，以防学生产生依赖思想，使学生成为机械的被动接受的机器。

2.体验数学活动过程。建构主义学习理论认为，世界是客观存在的，但对世界的理解和赋予意义却是自己决定的，学习并非是简单地从不知到知的过程，而主要是学习者在原有的认知结构基础上，通过对被感知事物全面、多方位体验而主动建构意义的过程。因此，对抽象的数学的体验就显得尤为重要。体验性学习作为一种以学习者为中心的、有效的学习方式，新课标教材有其鲜明的特征。其中有两条是强调学习者是学习的主体，突出了学生主动学习的重要性和学习主人的地位，强调学生以兴趣、需要、能力、经验为中介来实施课程。研究性学习关注的重点是学生的学习过程，通过延长或深化学习过程，相对于简约化的课堂知识学习，它更强调学习过程中深刻的、充实的、探究的经历和体验，体验丰富而完整的学习过程，从而优化学生的数学认知结构。

体验性学习是指学习者亲自参与信息的整理和知识的建构，亲自经历知识的生成过程，这是一种高效率的学习方式。在教学中，要使学生体验性学习，教师首先就要建立学生是学习主体的新型教学观，教学要为学生的学习服务，还给学生体验的权利。教师要树立“学生是主体的意识才是体验教学的起点”的理念，从而保证在实施体验教学的过程中“不越位”、 “不缺位”、“要到位”。

3.创立合作学习模式。建构主义者认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构起自己的知识的过程。每个学生都在以自己的经验、背景为基础，建构起属于自己的数学知识结构。而学生由于知识背景的不同，看问题往往是肤浅的、片面的。要使学生超越自己的认识，看到那些与自己不同的理解，认识到问题的不同侧面，一方面需要教师的适度指导，另一方面，还需要加强学生之间的合作学习，以弥补师生交流的不足。这种合作学习关系可以小组为单位，对同一学习任务做出探索，学生之间的交流、争论、意见综合，有助于学习者建构起对知识的更深层次的、全面的认知结构。而且，在共同学习过程中，由于交流的需要，学生对问题的认识、解题思路通过语言外显化了，从而可以更好地进行思维监控，促进学生元认知能力的提高。

研究性学习立足于对学生学习需要、动机和兴趣的强化，鼓励个性化的学习方式，同时，通过小组学习，促使学生在与他人共同学习、分享经验的过程中，养成合作与共享的个性品质。合作学习方式是学生交流与表达的一个平台，它既有利于增强学生的语言表达能力，减少心理压力，又有利于改善思维习惯，提高自主创新能力。

4.强化独立思考能力。创新能力的起点是独立思考，独立思考是有所发现、有所突破、有所创新的前提。没有经过自己的独立思考，就不可能很好地消化所学知识，也不可能真正深入理解知识，从而无法融会贯通、灵活运用，也就无法构建好自己的数学认知结构。通过独立思考，不断追求新知，发现、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造过程。独立思考是在强烈的求新、创造意识之下改组已有经验获取新颖知识的一种非常复杂的心理智能活动，它是发现、突破、创新的前提，培养学生的独立思考能力是中学数学教育的目标之一。那么，让学生在哪些方面思考，又如何培养他们的独立思考能力呢？一是对知识形成的背景、过程及作用思考；二是对解题时的策略作思考；三是对解题后的回顾作思考。

研究性学习是对知识的批判性考察，是在问题解决的过程中获得对知识的理解与应用，因此，知识学习能够启发学生的思考。不仅如此，由于确立了学生在学习中的主体地位，各类探究活动的展开都以学生为主体，教师居于辅导的地位，研究性学习因而可以增进学生的独立思考能力。

5.增强学生应用意识。数学课程要注重从生活走向数学的理念，即充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活。从生活走向数学的实施策略有：⑴研究生活中的数学。选择研究生活中的数学问题作为切入点，从激发学生学习数学的兴趣开始，将他们引入数学知识的殿堂；⑵研究数学需要的生活。一个数学知识如果能到生活中寻找到可供学生攀登的生活阶梯，则知识的接受与理解的难度就会降低；⑶在生活中加深对数学的理解。由生活走向数学的关键在于学生对经历的生活形成有利于建构数学知识的表象——思维加工对象，把生活世界引向符号世界。这样才可以促使学生运用数学的思维方式去解决日常生活中的问题，使得学生对知识的理解更深刻全面，构建的数学认知结构更完善。

数学本身就来自人类对自然、社会及人类活动的认识。人类再用它来理解自然与社会，用它来解决自然与社会的一些问题。因此，以现实生活中的素材为载体，提出一个具有丰富的社会背景的抽象数学问题，让学生在探究过程中获取知识。引导学生通过抽象、提炼，把现实生活现象或问题转化成数学符号语言，进而改变学生的学习方式。

参考文献：

[1]管 鹏.形成良好数学认知结构的认识心理原则[J].教育管理与实践，1998，（2）.

[2]哈 玲，杨爱民.数学认知结构与数学概念的学习[J].文山学院学报，2010，（12）.

[3]刘卓雄.数学认知结构数学学习过程与数学教学[J].宁德师专学报，1998，（9）.

[4]何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略[J].数学教育学报，2002，（2）.