勾股定理及其逆定理考点聚焦

洪飞

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。这就是著名的勾股定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理。勾股定理及其逆定理是中考重点考查内容，现举例说明，希望能给同学们带来帮助。

一、求高度

例1 某工人拿一个2.5 m长的梯子，一头放在离墙1.5 m处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图1）。请问：这个分线盒离地有多高？

分析 图中△ABC是直角三角形，AC=1.5，AB=2.5，根据勾股定理可求出BC的长。

解 在直角三角形ABC中，因为AB2=AC2+BC2，所以2.52=1.52+BC2。由BC>0，得BC=2。所以分线盒离地面2 m。

点评 在具体的情景中发掘出隐含的直角三角形，是解答这一类问题的关键。

二、判断三角形的形状

例2 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+a-b=0，则△ABC的形状为__________________。

分析 已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得a2+b2=c2，且a=b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形。

解 因为+a-b=0，

所以c2-a2-b2=0且a-b=0，所以a2+b2=c2且a=b，

则△ABC为等腰直角三角形。

点评 熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解答本题的关键。

三、求周长

例3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m。现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。

分析 此题如有图形将变得很简单，按图形解答即可。但本题没有图形，所以需要讨论几种可能的情况。

解 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有：AB=10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：

（1）如图2，当AB=AD=10时，可求得CD=CB=6，则△ABD的周长为32 m。

（2）如图3，当AB=BD=10时，可求CD=4，由勾股定理得：AD=4，得△ABD的周长为（20+4）m。

（3）如图4，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：x=，得△ABD的周长为 m。

点评 本题求周长时要注意分类讨论，分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，可以培养思维的条理性、缜密性、灵活性，在解题中同学们要做到不重不漏。

四、求面积

例4 如图5所示，有这样一块地，∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，求这块地的面积。

分析 连接AC，构造新的△ABC与Rt△ADC，借助相关线段的长度判断△ABC为直角三角形，进而求解图形面积。

解 连接AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2，即AC2=122+92，所以AC=15。

在△ABC中，有AC2+BC2=152+362=392，

即AC2+BC2=AB2，所以△ABC为直角三角形。

所以S=S△ABC -S△ADC=×15×36-×12×9=216（m2）

所以这块地的面积为216 m2。

点评 本题是勾股定理及其逆定理的综合运用，解题时要注意区分勾股定理及其逆定理。

五、在实际生活中的应用

例5 如图6，一架2.5 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7 m。如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯足B将外移多少m？

分析 要求梯足B将外移多少m，即要求BE的长。由于BE=EC-BC，而BC=0.7 m，所以只要求EC的长。又EC是直角△DCE的一条直角边，DE=AB=2.5 m，根据勾股定理，应先求出DC的长。

解 由∠ACB=90°得，AC2+BC2=AB2。

因为BC=0.7，AB=2.5，所以AC2+0.72=2.52，解得AC=2.4。

所以DC=AC-AD=2.4-0.4=2。

因为∠DCE=90°，所以DC2+EC2=DE2。

因为DC=2，DE=AB=2.5，所以22+EC2=2.52，解得EC=1.5。

所以BE=EC-BC=1.5-0.7=0.8。

所以梯足B将外移0.8 m。

点评 梯子和竖直的墙与地面组成的三角形是直角三角形，则图中有两个直角三角形，即Rt△ABC和Rt△CDE，且这两个直角三角形的斜边长都为梯子的长。

例6 如图7，某风景区有2个景点A、B，为了方便游客，风景区管理处决定在相距2 km的A、B两景点之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A点的北偏东60°方向、B点的西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7 km的小水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414。）

分析 要判断小水潭会不会影响公路的修筑，只要判断点C到AB的距离是否大于0.7 km？如果大于0.7 km，那么就不会影响公路的修筑；否则，就会影响。

解 过C作CD⊥AB于点D，设CD=x km。

因为∠CDA=90°，∠EAC=60°，

所以∠CAD=90°-∠EAC=30°。

所以AC=2CD=2x，AD==x。

因为∠CDB=90°，∠FBC=45°，所以∠CBD=90°-∠FBC=45°。

所以BD=CD=x。

因为AD+BD=AB，所以x+x=2，解得x=≈0.732。

因为0.732>0.7，所以小水潭不会影响公路的修筑。

点评 解答本题要认真审题，弄明白小水潭在什么情况下会影响公路的修筑。另外，要注意根据AD+BD=AB这个相等关系构造关于x的方程。