重构让数学学习向更深处拓展

赵红婷

国际数学委员会副主席安提卡指出：“研究表明，数学学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。”显然，从认知角度分析，学生的数学学习必然要经历一个建构、解构、再重新建构的过程。在此过程中，“重构”的作用极为独特，它是认知活动中起承转合的重要一环，也是凸显思维深刻性的有力保障。我们认为，就数学课堂教学实践而言，重构主要体现在以下几个方面。

一、重塑原有观念

南京大学郑毓信教授说：“应强调的是，所说的‘重组或‘重构往往意味着用一种新的观点去看待一件熟悉的事物。”在教学中，教师要正视学生的数学现实，引领其积极思考，及时调整、重塑学生的原有观念。

例如，教学苏教版六年级上册“倒数”一课时，导入的过程中笔者问：“什么是倒数？”在这样的问题下，有学生回答：“倒数就是倒过来的数。”笔者进一步追问：“大家想一想，■的倒数是几？”学生能够答出：“是■。”“■和■互为倒数”的结论很自然地得出了。为了进一步引导学生思考，笔者给出0.8和0.15两个小数，设疑：“小数有没有倒数？”学生先是沉思，一会有学生说有办法，笔者没有让这部分学生作答，而是反过来询问没有能够找到方法的学生问其出现了什么困难，再进一步问：“这两个数有没有办法化成分数……”经过笔者这样一点拨，学生很自然地想到可以先化分数，再得出了0.8、0.15的倒数。最后，笔者又出示8和18两个整数，这时学生很顺利地联想到它们的倒数是存在的。先抛出“什么是倒数？”这个问题，使学生脑海中原有的观念受到冲击，再进一步引导学生进行讨论和交流，学生就能够自主建构正确的倒数概念。

从教学中可以看出学生原始的对倒数的认识，尽管模糊而不准确，却弥足珍贵，“重构”的重要价值被教师的有效教学充分显现。学生经历此过程后，他们的观念得以有效地更新，思考问题也更为深入。

二、重组认知结构

皮亚杰说过：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是开放的……”显然，学生的认知结构处于不断地完善中，随着有效认知活动的开展，学生的认知结构将逐渐拓展形成体系。

例如，笔者在和学生一起探究苏教版四年级上册的“复式统计表”时，笔者拿出了四张分别统计四个班的男女生人数的单式统计表后，借助于一个游戏设置了问题情境：“从表中，我们可以看出哪个班的女生最少？这4个班级男生一共有多少人？”在教学中笔者发现，学生能够很顺利地回答第一个问题，而对第二个问题，学生往往会被卡住，笔者顿时感受到单式统计表存在着较大的局限性，引发认知冲突，新的需要得以生成。为了形成新的认知平衡，学生自然要寻求方法，最终思维集中到将单式统计表合并这个点上。接着笔者鼓励学生重组几张单式统计表，经过师生的互动探究活动，一张完整的复式统计表最终得以完工，问题的答案也浮出水面。在这个过程中，学生重组了有关统计表的知识结构。

从学生的认知结构来看，开放性是主要特点，新的知识对原有认知不断地构成冲击，认知平衡被一次次打破，认知结构需要不断地重组和完善，而这一过程也驱使学生的数学学习变得更为有效。

三、重建概念联系

从概念建构角度说，所谓重构，就是概念的重新安排或者概念间关系的重组，并最终形成新的概念联系。学生是否具有对概念的联结能力，是体现其思维深刻性的重要方面。

例如，笔者和学生一起学习苏教版五年级上册的“小数除以整数”一课时，学生说出算式12÷5后，教师就让学生尝试列竖式。反馈时，教师重点放在研讨 “余下的2要添0再除”这一环节。教师先问：“这里为什么要添上0？”学生阐述了小数的性质，并说明了商定位的规则和意义。教师追问：“为什么以前除到有余数就可直接得出答案，而现在却要继续除下去？”有学生说，这样继续除下去结果更精确。在对比和辨析中，学生完成概念的习得。这样处理，既突出了小数除法的存在价值，又沟通了小数除法与整数除法的联系。

概念网络处于不断的变化和重建之中，有了丰富的概念网络支撑，学生的数学学习会显得更灵活和深入。

四、重排错误密码

在数学学习活动中，学生有时会出现某些偏差，这种偏差，对学生数学学习的“重构”起着抑制作用。教师要善于发现学生认识中的“错误密码”，洞察其深层原因，巧妙地予以重排。

例如，笔者在和学生一起学习苏教版三年级上册的“认识周长”一课时，笔者借助于一道练习题进行导入：设置两个图形（边长为4厘米的正方形和长5厘米、宽2厘米的长方形），让学生先自主求解其周长。接着，笔者将这两个图形进行重组，拼成了一个组合图形，引导学生猜一猜组合图形的周长为多少。很多学生在最开始都错误地认为周长为30厘米。面对学生的错误，笔者要求学生想办法验证自己的猜想。教学实践中笔者发现，在寻求验证方法的过程中，有学生得出：“周长不是30厘米，是26厘米。”再进一步交流的过程中，学生还能得到更为简洁的方式。

诚然，学生的直觉猜测，有时会导致各种各样的错误出现。在师生共同矫正错误的过程中，学生经历了激烈的观念冲突，重排了错误密码，其思维必然于盘旋中走向深刻。

总之，在经历了认知重构过程后，学生思考问题会更具理性，他们对概念的理解会更透彻，学生思维的深刻性得到加强，其认知结构也能得到深度拓展，最终，学生的数学学习得以向更深处发展。

[本文系南通市教育科学“十二五”规划课题“小学数学顺应主体发展的课堂实践与研究” 课题研究成果]