绘图数学：小学数学解题策略的“奇葩”

吴广和

[摘 要] 本文从绘图数学的内涵、教学的现状、价值追求和教学策略等方面初步阐述绘图数学，旨在引领学生利用绘图来掌握“数理”、理解题意和分析数量关系，寻求解决问题的策略，追寻绘图数学引领下的数学课堂.

[关键词] 绘图数学；数学教学；思考实践

引子：“鸡兔同笼问题”的画图

解答

去年，我参加了一节数学公开课的听评，教师在课堂中出示了一道鸡兔同笼问题：

草场上有鸡和兔共10只，共有腿32条，问鸡和兔各多少只？

如图1，先画出10个头，再分别画上两条腿，表示10只鸡，然后，从第一只鸡上多加两条腿，那它就变成一只兔，当第六只加完两条腿，就共计32条腿，这样数一下，四条腿的兔共6只，两条腿的鸡共4只.

多么深刻的发现，这是我从教多年听到的最为新颖求异的解题方法——学生用画图的方式得出了答案. 这样的解题方法多形象、多巧妙啊！学生运用形象的图画，展示了思维过程，把“数”与“形”完美地结合起来，学生在绘图的过程中感悟了数形结合和分类的数学思想，拓展了思维深度.

诠释：绘图数学的内涵

绘图数学就是把问题呈现的信息通过图画的方式表示出来，通过直观形象的符号信息展示寻找问题答案的一种基本的解决问题的策略. 我们把这种用绘图的方法理清思路、展示思维策略的过程称为“绘图数学”. 绘图的形式是多样的，除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图、集合图、统计图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图等.

绘图数学通过画图把抽象问题具体化、直观化，使学生理解题意，从而搜寻到解题的途径. 它具有直观性、易懂性、趣味性等特点. 因此，让学生掌握绘图数学这种策略在数学教学中极其重要. 在解決问题的教学中，教师要重视引导学生运用绘图的方法分析数量关系进而解决问题，体会绘图数学的作用和价值，鼓励学生用不同的图形解决问题，体会绘图数学的多样性，鼓励学生在解决实际问题中运用绘图数学领悟思想、提升数学素养.

调查：绘图数学现状及原因分析

笔者曾以绘图数学为主题做过问卷调查，调查结果显示，大多数数学教师认为绘图数学有助于学生的数学学习，但在实际的教学中有80%的教师认为碰到一定难度的数学问题，自己会运用绘图来讲解，但解决问题时对学生进行绘图指导的只有20%. 在为什么不对学生进行绘图指导的回答中，主要分为四类：怕影响教学进度，占53%；没有时间考虑，占16%；没有意识到，占24%；其他，占7%.

另外，绘图数学中的图，除了大家熟悉的线段图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图、统计图等. 笔者对苏教版小学数学教材中的绘图数学进行了收集、分类，整理后如表1.

通过对这些调查数据和实际知识结构的分析，我们不难发现：绘图数学在数学教学中被忽视，主要是教师课前准备不充分和应试教育压力造成的，这使得教师在茫然和懒惰中失去一次次成功的机会，细细想来，主要有以下几点：

（一）教师在绘图数学思想上的“忽”

一些数学教师在数学教学中，由于对学生的认知特征不熟悉，在解决问题时往往以自己的思考习惯来对学生进行解决问题的指导，没有对自己的教学方式是否有助于学生的发展进行有效的反思. 他们大多数运用语言来分析问题中的数量关系，让学生在头脑中自行建构图形，进行抽象思考，造成学生解决问题时忽略对绘图的正确运用，这种情况占53%左右.

（二）教师在绘图数学认知上的“偏”

教师教学的急功近利思想比较浓郁，只是片面地、一味地追求学生的分数，而数学试卷中解决问题时对绘图的要求几乎没有. 且教师忽视儿童数学思维能力的发展，就造成了教师只注重解题的结果，而忽视解题过程的现象. “不管是黑猫、白猫，只要抓住老鼠的就是好猫”，这句话也成为大多数数学教师的理念坚持，即只要学生的数学考试成绩上来了，那么学生的解题过程就显得无关紧要了，这说明数学教师对绘图数学的意义和价值的认识有偏差，不够全面.

（三）教师在绘图数学运用上的“懒”

一些数学教师在教学数学时，站在了自己的认知角度上进行讲解，默认头脑中已经有用于解题的图形，且为了节省时间，所以不在讲解时画图，这就造成学生解决问题时忽略对绘图的正确运用.

（四）教师在绘图数学技能上的“缺”

绘图数学中的图，除了大家熟悉的线段图，还包括一些图形表征，如实物图、示意图、统计图等. 有的教师自身的绘图能力就比较缺乏，再加上他们在教学中的运用很少，因此，他们的绘图数学教学经验积累很少. 没有自身充分的教学经验积累基础，想对学生进行有效的绘图数学教学就有一定的难度. 正如俗话说的“要想给学生一碗水，教师必须有一桶水. ”

思考：绘图数学的价值追求

《数学课程标准》（2011版）提出教师教学要使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验. 图形不仅直观、简洁、利于思考，而且信息量大，概括性强，同时，图形还有助于记忆. 因此，图形是帮助人类思考的极好工具. 斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图象，那么就整体地把握了问题. ”绘图数学在理解概念、解决问题以及空间与图形等各个领域都具有重要的运用价值.

（一）顺应小学生认知水平的发展

小学生对抽象数学知识的接受能力和理解能力比较弱，当理解困难时，如果在纸上画一画，借助图形的直观作用，就能引发联想，化抽象为直观；能揭示概念本质，变复杂为简单；能呈现数量关系，化隐性为显性，让学生在形象思维中解决问题.

（二）切合小学生学习过程的需要

根据学生的认知规律，学习都会经历一个从“外化”到“内化”的过程. 而学生在画图的过程中，要经过读题、明确问题、寻找条件，把文字转化成图画，从而发现数量关系，这是把绘图转成思维的过程，这一系列绘图活动完整地搭建了从“外化”到“内化”的过程，从而建构了知识体系.

（三）激发小学生学习数学的兴趣

在数学教学中，如果教师能运用绘图数学，使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口，学生就会觉得数学学习不难，数学学习对他们来说，就会变得有趣而充满成就感. 从这个意义上讲，绘图能力的强弱也反映了教师教学能力的高低.

绘图数学贯穿于整个小学数学解决问题的教学中，所以教师应根据学生的实际需要、知识经验、思维发展水平，逐步培养学生运用绘图解决问题的能力.

践行：绘图数学，小学数学解题策略的“金钥匙”

《数学课程标准》（2011版）提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出，要使学生面对实际问题时能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略. 绘图是众多解题策略中最基本的，也是一个很重要的策略，那么，我们应如何引导学生学习绘图数学呢？

（一）绘图数学，彰显数学学习的策略

1. 在数轴中体验策略

学生在学习数学的过程中总会遇到一些难以理解的知识点，这就需要教师适时、恰当地运用一些策略帮助学生解决实际问题. 教师在数学教学中，由于教学内容不同，采用的教学策略、方法会有所不同，但不管怎样，绘图在众多的教学策略中有其独特的作用.

案例1 平移和旋转（笔者公开课）

从A点平移到B点移动了几格？

平移时，数移动的格数是这节课教学的难点，学生在数移动的格数时，往往容易数点不数格，造成解题错误. 为了让学生掌握这一难点，在教学时，笔者引用了数轴让学生在自主数格数的过程中感悟数移动格数的方法.

教学结果表明，笔者引用数轴的教学方法效果很棒，学生都能掌握平移数格数应数两点相距的格数这一难点. 因此，在教学中让学生感受到绘图数学的好处，认识到学习绘图数学的必要性，能形成学习的内驱力，促使学生在学习中自觉地想到使用绘图数学去为学习的需要服务.

2. 在示意图中体验策略

小学生的数学学习，正处在从形象思维向抽象思维过渡的阶段. 单纯的文字表述的问题比较抽象，常常致使他们读不懂题意，理不清问题中的数量关系，因而无法解决问题. 根据他们的思维特点，教师在教学时，应借助绘图把抽象的数学问题形象化、具体化，使他们读懂题意、理解题意，理清解决问题的思路，找到解决问题的关键，从而提高解决问题的能力.

案例2 正方形周长计算

笔者在教学“长方形和正方形的周长”这一内容时，向学生呈现了这么一道题：把两个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是多少厘米？

学生想都不想就脱口而出“40厘米”， 我再问：“都同意吗？”除了个别学生不响应以外，都说同意. 没回答的学生虽然感到有一点疑问，但又说不出究竟错在哪儿. 的确，三年级学生光凭想象来回答这个问題，确实存在一定的困难.

看到学生陷入困惑，我引导学生绘图. 不一会儿，只听见有人叫：“不是40厘米”“不是40厘米”“边少了，周长不一样了”……响应的学生越来越多，刚才的疑问也在绘图的过程中解决了.

绘图是解决问题时经常使用的策略，这个策略能直观地显示题意，能有条理地表示数量，便于发现数量之间的关系，从而形成解题的思路. 因此，课堂教学中，教师要有运用它的自觉性，提高学生解决数学问题的能力，形成良好的思维习惯，增进学生的思考力与理解力，以及表达能力.

（二）绘图数学，蕴涵数学“数理”的渗透

爱因斯坦也指出：科学的“方法背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来都不过是笨拙的工具.” 小学生受年龄特征和思维特点的影响，使得数学思想在教学中的渗透有一定的难度，而绘图由于其形象鲜明地展示了数学本身，显示了数形结合的理念，因此，在小学数学教学课堂中，运用绘图这把钥匙可以开启数学思想的渗透之门，对学生数学思维的整体提高有很好的促进作用.

1. 在“绘图”中感悟“数理”

约翰·冯·诺依曼曾经指出“每当一门数学学科到了退化的地步，唯一的数学药方就是为重获青春而返本求源：重新注入直接来自经验的思想.”生活中的一些经验也蕴涵着一定的数学绘图，这些经验能够很直观地展示数学思想，所以在数学教学中运用这些图形，有利于学生更直观地感悟数学理论.

学生在教师的动画演示过程中，感悟到了圆出于方的道理，教师引领学生领悟其中蕴涵的数学思想——极限思想. 这种引用生活中的日常经验，运用绘图来感悟思想的方法，不仅能激发学生的探究兴趣，还能让学生把这种极限的数学思想深入骨髓.

2. 在“绘图” 中建构 “数理”

数学中量的关系和变化都是以符号来表示的，知识的建构最终在符号操作的层次上完成. 小学生的思维处于从具体形象思维为主向抽象思维为主的过渡阶段，绘图恰是从此岸到达彼岸的“诺亚方舟”.

案例4 这是数学教学中的一道题目：有一段木头，不知它的长度，用一根绳子来量，绳子多1.5米，如果将绳子对折后再来量，绳子又差0.4米，这根绳子长多少米？学生光读题目，理解有困难，教师引领学生通过绘图来理解，就变得比较容易理解了.

这道题目一开始读起来，无从下手，而根据题目绘出图后，学生的思维一下子便敞亮起来，问题就迎刃而解了——（1.5+0.4）×2=3.8（米）. 绘图是问题解决与学生思维的桥梁，学生在绘图中理清问题中的数量关系，使“数”“形”能够很好地结合起来，有利于学生感悟数学思想.

（三）绘图数学，启迪儿童思维的创新

任何一种解决问题的策略都需要经历解决问题的过程，只有学生思维的深度参与才可以使策略的形成过程成为策略并储存在学生头脑中，学生由此获得的体验才是深刻的. 因此，在教学时，教师要让学生动手实践、自主探索，为学生的探索活动提供足够的时间和空间，使他们发挥各自的创造潜能，灵活、有效地解决实际问题.

1. 在图形中寻到“原生点”

小学生思维的创新性是一种心智技能活动，是内在的隐性活动. 在数学教学中，教师要寻找学生思维的原生点，以培养学生空间想象的思维能力为目的，实现思维能力的创新.

案例5 求梯形的面积

在一个等腰直角三角形中，沿两腰中点减去一个三角形，剩下一个上底长0.8米，下底长1.4米的梯形（图6的阴影部分），求这个梯形的面积.

本案例中，教师通过引导学生画图，引发学生的深度思考——梯形的高怎么计算. 学生在动手绘图的过程中，领悟了数学解题的思维方法，找到了创新思维的原生点，从而顺利地解决了难题，培养了运用创新思维解决实际问题的能力.

2. 在数学图形中理解“抽象”

小学生的思维正处在从形象思维向抽象思维转化的过渡阶段，学生的数学理解必须实现直观感知与数学抽象知识的深度融合，这样的数学理解才有助于学生对数学知识的迁移与运用.

首先，让学生看图7，理解空白部分应该是，计算的结果可以转化为用单位“1”直接减去空白部分的大小，使计算简洁，即1-=.

计算本应该通过通分，按同分母分数计算法则进行计算，但借助示意图能更加直观地计算出结果，同时也可以拓展到，，…，把这些通分很难解决的问题转化成一些简单的问题. 而学生通过看图也可以清楚地看出计算的方法：用单位“1”直接减去空白部分的大小. 本来很复杂、很抽象的计算方法，通过绘图，学生不仅能轻松地理解方法，还能增强认识的深度.

结语：绘图数学，师生智慧的共生

我国著名数学家华罗庚曾说：“数无形时不直观，形无数时难入微. ” 绘图数学教学符合教育学、心理学的原理和儿童的年龄特征，关注儿童的兴趣和经验，反映了数学知识的形成过程，努力为儿童的数学积淀生动活泼、主动求和的材料与环境，为学生的数学素养打下好的基础. 教师引领学生生发一种对绘图数学的钟爱，对数学绘图的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课题的价值所在. 让我们一起来追寻绘图数学引领下的数学课堂，让教师和学生的智慧在绘图数学中碰撞出绚烂的火花.