2013年高考平面向量考情播报

王丽

一、考题特点

特点一：考小题，重在于基础.

有关平面向量的小题，其考查的重点在于基础知识.其中，平面向量数量积、加减运算是考查的重点，向量共线，向量垂直，向量的模，坐标运算等内容的试题都突出了对平面向量基础知识的考查.

特点二：考大题，与其他知识结合.

考查平面向量的大题，经常与三角、圆锥曲线、函数结合，与三角函数相结合的试题难度不大，属中档题，与圆锥曲线、函数相结合的试题，属中等偏难，主要考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的理解，掌握和应用情况.

特点三：考方法，常体现数形结合的思想方法.

向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，体现了数形结合的思想.

二、考点展示

1.考查向量的概念、向量的基本定理

有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以填空题为主，考查的难度属中档类型.

例1（2013年高考广东文）设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a=λb+μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc；

上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是.

解析：本题主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易得①是对的；利用平面向量的基本定理，易得②是对的；以a的终点为圆心作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|，所以④是假命题.综上，填2.

2.考查向量的运算

命题形式主要以填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合.

例2（2013年高考安徽文）若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a，b夹角的余弦值为.

解析：等式平方得：|a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4a·b，则|a|2=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|cosθ，即0=4|b|2+4·3|b|2cosθ，

得cosθ=-113.

点评：本题主要考查向量模，向量数量积的运算，向量最基本的化简.

例3（2013年高考新课标Ⅰ卷）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=.

解析：因为c=ta+（1-t）b，所以c·b=ta·b+（1-t）b·b，

又b·c=0，且单位向量a，b的夹角为60°，则t12+（1-t）=0，解得t=2.

点评：本题考查向量的数量积运算，考查同学们的基本运算能力.

3.平面向量在平面几何中的应用

例4（2013年高考江苏卷）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=112AB，BE=213BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.

解析：DE=DB+BE=112AB+213BC

=112AB+213（BA+AC）=-116AB+213AC

=λ1AB+λ2AC，

所以，λ1=-116，λ2=213，λ1+λ2=112.

例5（2013年高考福建文）在四边形ABCD中，AC=（1，2），BD=（-4，2），则该四边形的面积为.

解析：本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长.因为AC·BD=1×（-4）+2×2=0，所以AC⊥BC，所以四边形的面积为|AC|·|BD|12=12+22·（-4）2+2212=5，故填5.

例6（2013年高考重庆理）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP|<112，则|OA|的取值范围是.

解析：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）.

由|OB1|=|OB2|=1得（x-a）2+y2=1

x2+（y-b）2=1，则（x-a）2=1-y2

（y-b）2=1-x2.

又由|OP|<112，得（x-a）2+（y-b）2<114，则1-x2+1-y2<114，即x2+y2>714 ①

又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，则y2≤1.

同理由x2+（y-b）2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2 ②

由①②知714

而|OA|=x2+y2，所以712<|OA|≤2.

点评：本题主要是考查同学们转化与计算过程中易出现的错误，如将不等式的方向搞错，会得出错误结果.

4.平面向量与其它知识的综合

平面向量与解析几何的综合问题由来已久，多是以解析几何为载体，向量作为条件融入题设条件中.向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，其解题策略就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，沟通点与点之间的坐标关系.三种题型都可涉及.

例7（2013年高考北京文）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1），若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为.

解析：由题设条件得，AB=（2，1），AC=（1，2），则AP=λAB+μAC=（2λ+μ，λ+2μ），

设P（x，y），则AP=（x-1，y+1），所以x-1=2λ+μ

y+1=λ+2μ，即μ=2y-x+313

λ=2x-y-313，

因为1≤λ≤2，0≤μ≤1，所以0≤2y-x+313≤1，1≤2x-y-313≤2，即x-2y-3≤0

x-2y≥0

2x-y-6≥0

2x-y-9≤0，

画出平面区域，如图所示，|CD|=5，E到直线x-2y-3=0的距离为315，故四边形BDCE的面积为3.

点评：本题考查了两条直线的位置关系、点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算、线性规划问题.

例8（2013年高考陕西理）已知向量a=（cosx，-112），b=（3sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=a·b.

（1）求f（x）的最小正周期.（2）求f（x）在[0，π12]上的最大值和最小值.

解析：（1）f（x）=a·b=cosx·3sinx-112cos2x=312sin2x-112cos2x=sin（2x-π16）.

最小正周期T=2π12=π.所以f（x）=sin（2x-π16）最小正周期为π.

（2）当x∈[0，π12]时，（2x-π16）∈[-π16，5π16]，由标准函数y=sinx在[-π16，5π16]上的图象知，

f（x）=sin（2x-π16）∈[f（-π16），f（π12）]=[-112，1].

所以，f（x）在[0，π12]上的最大值和最小值分别为1，-112.

点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查同学们的基本运算能力.