三角函数解题误区“晒一晒”

徐彩娥

三角函数内容看似简单，却暗藏杀机，稍不留意，就会犯这样或那样的错误.那么，有关三角函数问题有哪些误区需重点防范呢？本文给同学们“晒一晒”！

误区一、忽视角的范围

例1已知sinθ·cosθ=118且π14<θ<π12，则cosθ-sinθ的值为.

错解：∵（cosθ-sinθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×118=314，

∴cosθ-sinθ=±312，故填“±312”.

剖析：联想cosθ±sinθ与sinθcosθ的关系式：（cosθ±sinθ）2=1±2sinθcosθ可知，欲求cosθ-sinθ的值，不妨先求（cosθ-sinθ）2的值，思路没错，但应注意到当π14<θ<π12时，sinθ>cosθ，故cosθ-sinθ<0.

正解：（cosθ-sinθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×118=314，

而π14<θ<π12，∴cosθ-sinθ<0，

∴cosθ-sinθ=-314=-312，故应填“-312”.

误区警示：当三角函数求值问题出现多解时，必须注意检验！审视角的取值范围，谨防出现“增解”.

误区二、忽视三角函数的定义域

例2求函数f（x）=sinxcosx11+sinx+cosx的递增区间.

错解：设t=sinx+cosx，t∈[-2，2]，则sinxcosx=t2-112，于是

f（x）=t2-112（1+t）=t-112=sinx+cosx-112

=212sin（x+π14）-112.

由2kπ-π12≤x+π14≤2kπ+π12，解得函数f（x）的递增区间为[2kπ-3π14，2kπ+π14]（k∈Z）.

剖析：上述解法忽略了函数的定义域，题目中分母不能为零.

正解：设t=sinx+cosx，t∈[-2，1）∪（-1，2]，则sinxcosx=t2-112，于是

f（x）=t2-112（1+t）=t-112=sinx+cosx-112

=212sin（x+π14）-112.

由2kπ-π12≤x+π14≤2kπ+π12（k∈Z）解得2kπ-3π14≤x≤2kπ+π14（k∈Z），

又1+sinx+cosx≠02sin（x+π14）≠-1x≠2kπ-π12且x≠2kπ-π.

所以函数f（x）的递增区间为[2kπ-3π14，2kπ-π12）和（2kπ-π12，2kπ+π14]（k∈Z）.

误区警示：“函数问题，定义域优先考虑”.有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被我们忽略考虑而造成错解，为了防止错解，在对三角函数式实施三角恒等变化前，我们必须先确定定义域.

误区三、忽视三角函数的有界性

例3若关于x的方程2cos2（π+x）-sinx+a=0有实根，求实数a的取值范围.

错解：原方程变形为：2cos2x-sinx+a=0，

即2-2sin2x-sinx+a=0，

令sinx=t，则原等式即为2-2t2-t+a=0，

a=2t2+t-2=2（t+114）2-1718≥-1718，

所以a的取值范围是[-1718，+∞）.

剖析：利用换元法转化为二次函数问题，没错！但必须注意换元后自变量的取值范围.令sinx=t后，t的取值范围取决于sinx的值域，即[-1，1]，不能默认为是实数R.

正解：原方程变形为：2cos2x-sinx+a=0，

即2-2sin2x-sinx+a=0，

令sinx=t，则原等式即为2-2t2-t+a=0（-1≤t≤1），

∴当t=-114时，amin=-1718；当sinx=1时，amax=1.

∴a的取值范围是[-1718，1].

误区警示：当三角换元时，必须注意正弦函数和余弦函数的“有界性”！

误区四、忽视三角函数的单调性

例4已知α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，求α+β.

错解：∵α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，故sinα=2515，sinβ=310110，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=2515·10110+515·310110=212.

由α、β∈（0，π12）知α+β∈（0，π），∴α+β=π14或α+β=3π14.

剖析：由于正弦值为212的角在（0，π）上不唯一，才造成两解.正确解法应是取余弦，因余弦函数在（0，π）中是单调的，这样才不会扩大解集.

正解：∵α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，故sinα=2515，sinβ=310110，

又∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=515·10110-2515·310110=-212，

由α+β∈（0，π），且余弦函数在区间（0，π）递减知α+β=3π14.

误区警示：当三角函数中的未知数前面的系数是负数时，应先“化负为正”后再确定单调区间；而依据三角函数值求角，必须注意三角函数的单调性，否则往往出现给人以答案不唯一的错觉.

误区五、忽视隐含条件

例5若sinα=515，sinβ=10110，且α，β均为锐角，求α+β的值.

错解：∵α为锐角，∴cosα=1-sin2α=2515.

又β为锐角，∴cosβ=1-sin2β=310110.

且sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=212，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α+β<180°，故α+β=45°或135°.

剖析：错解没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制.事实上，仅由sin（α+β）=212，0°<α+β<180°而得到α+β=45°或135°是正确的，但题设中sinα=515<112，sinβ=10110<112，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α+β<60°，故上述结论是错误的，为了避免这个错误，可选择求α+β的余弦值.

正解：∵α为锐角，∴cosα=1-sin2α=2515.

又β为锐角，∴cosβ=1-sin2β=310110.

且cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=212，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α+β<180°，故α+β=45°.

误区警示：当题中给出角的范围时，我们根据三角函数的有关性质，将所给角的范围进一步缩小，这样可以防止“增解”的出现.

误区六、忽视三角形的有关性质

例6在△ABC中，已知∠C=15°，b=22，a=2，求∠A.

错解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°，

即c2=4+8-2×2×22×6+214=8-43.

∴c=6-2.

又由正弦定理，得sinA=asinC1c=112.而0°<∠A<180°，∴∠A=30°或∠A=150°.