用链式图理解隐函数存在定理

刘亚婷 黄激珊

摘 要： 链式图是我们在求多元复合函数的导数时最常用的一种图形，用链式图我们可以把复合函数中的因变量和自变量的函数关系明朗化，从而更好地求出复合函数的导数.然而，作为链试图的应用，我们还可以用它来理解隐函数存在定理，通过画出链式图帮助学生更深刻地理解隐函数存在定理中的求导公式，使学生接受起来轻松自如.

关键词： 链式图 隐函数 存在定理

函数分为显函数和隐函数，例如：y=cosx+2x+3，像这种把因变量放在等号的一端，而把自变量和常数放在等号的另一端的函数关系式，就称为显函数.例如：x+y-1=0，像这种把因变量和自变量全放在等号的一端，而另一端为常数的函数关系式，就称为隐函数.我们在对隐函数求导时，常常把隐函数化为显函数之后再求导，但在实际问题中，将隐函数化为显函数是有困难的，甚至是不可能的.因此我们将介绍一种方法，不管隐函数能否化为显函数，都可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.在对多元复合函数求导时，常常用链式图表示出多元复合函数的函数关系，即可轻松求出所需的导数，同样也可以将隐函数看成是多元复合函数，利用链式图更轻松地理解隐函数的求导公式.

隐函数存在定理1：设函数F（x，y）在点P（x，y）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x，y）=0，F（x，y）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x，y）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y=f（x），并且有=-.

在此定理中，由于方程F（x，y）=0所确定的函数为y=f（x），因此可用链式图表示出F（x，y）的函数关系，即：

从此图可知，在函数F（x，y）中，含有两个变量x，y，需求偏导，而在y=f（x）中，只含有一个变量x，需求全导.因此将方程的两边同时对x求导得F+F=0，因为F连续，且F（x，y）≠0，所以存在（x，y）的一个邻域，在这个域邻内F≠0，从而有=-.

例1：设siny+e-xy=0，求.

解：设F（x，y）=siny+e-xy，则F=e-y，F=cosy-2xy，从而当F≠0时，=-=.

隐函数存在定理可以推广到多元函数的情形，一个二元方程F（x，y）=0可以确定一个一元隐函数y=f（x），那么一个三元方程F（x，y，z）=0就可以确定一个二元隐函数z=f（x，y），从而有如下定理：

隐函数存在定理2：设函数F（x，y，z）在点P（x，y，z）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x，y，z）=0，F（x，y，z）≠0，则方程F（x，y，z）=0在点（x，y，z）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f（x，y），它满足条件z=f（x，y），并且有=-，=-.

在此定理中，由于方程F（x，y，z）=0所确定的函数为z=f（x，y），故可用链式图表示出F（x，y，z）的函数关系，即：

由此图可知，在函数F（x，y，z）中含有三个变量x，y，z，需求偏导，在z=f（x，y）中也含有两个变量x，y，同样求偏导，因此将方程F（x，y，z）=0的两边同时对x求导得：F+F=0，F+F=0，因为F连续，且F（x，y，z）≠0，所以存在点（x，y，z）的一个邻域，在这个邻域内F≠0，于是有=-，=-.

例2：求由方程e-2z+e=0所确定的偏导数，.

解：令F（x，y，z）=e-2z+e，则F=-2+e，F=-ye，F=-xe从而=-=，=-=.

隐函数存在定理，可以推广到方程组的情形，即含有四个未知元的两个方程构成的方程组F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0可以确定两个二元函数u=u（x，y），v=v（x，y），从而有如下定理：

隐函数存在定理3：设F（x，y，u，v），G（x，y，u，v）在点P（x，y，u，v）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0，且偏导数所组成的函数行列式（雅可比式）J==

在点P（x，y，u，v）不等于零，则方程组F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0在点（x，y，u，v）的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u（x，y），v=v（x，y），它们满足条件u=u（x，y），v=v（x，y），并有

=-=-，=-=-，=-=-，=-=-.

在此定理中，由于方程组F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0所确定的两个二元函数为u=u（x，y），v=（x，y），故可用链式图表示出它们的函数关系，即：

由图可知：函数F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）中均含有四个变量x，y，u，v，需求偏导，u，v中也含有两个变量x，y，同样求偏导.于是将方程组F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0中的两个方程的两边同時对x求导得：

=0解这个关于，的线性方程组，由定理知在点（x，y，u，v）的某一邻域内，系数行列式J=

G≠0于是可解得，，即：=-，=-.

同理：将方程组F（x，y，u，v）=0

G（x，y，u，v）=0中的两个方程的两边同时对y求导，再解关于，的线性方程组得：

=-，=-.

例3：求由方程组x+y+z=0

+z=1所确定的函数的导数，.

解：由所给方程可知，此方程组确定了两个一元隐函数x=x（z）和y=z（z），将所给方程组中的两个方程两边分别对z求导得：

此方程组是关于，的一个线性方程组，当J=1 1

x y=y-x≠0时，==，==.

参考文献：

[1]高等数学.同济大学第六版.高等教育出版社.

[2]郭运瑞，彭跃非.高等数学.人民出版社.