超图建模法及其在车辆传动系统中的应用*

唐正华，闫清东，冷韶华，刘 毅

(1.北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081;2.装甲兵学院模拟训练中心，蚌埠 233050;3.山东经贸职业学院，潍坊 261011;4.装甲兵学院装甲装备教研室，蚌埠 233050)

前言

随着技术的发展，坦克装甲车辆动力传动系统结构也日益复杂与多样，经历了定轴齿轮传动向行星传动、液力传动和液力机械传动等形式演变［1］。传动系统的复杂性给其设计与分析带来了困难;因建模复杂，目前RecurDyn、Adams和CFX等商业软件都难以有效解决多工程领域的混合问题［2］;键合图理论将多种物理参量统一为势变量、流变量、广义动量和广义位移4种广义变量，隐藏了机液电等不同能域之间的差异;然而，在传动系统存在功率循环时，键的方向无法确定，增加了动力传动系统的键合图模型构建的复杂性［3］。超图理论［4］是有效解决此种未确定功率流向的方法之一。

超图是图论的一个分支，作为最一般的离散结构，超图非常适合对庞大复杂系统进行拓扑描述。随着大规模集成电路和计算机技术的高速发展，超图在信息科学、生命科学和工程技术等领域的应用越来越广泛。本文中基于超图理论，构建车辆传动系统转速转矩超图模型，运用深度优先搜索算法［5］，自动获得传动系统的挡位信息，为设计计算提供了有效的手段，提高了分析与设计效率。

1 典型部件的超图模型

超图是有序三元组(V，E，Φ)的数学表示，其中V为顶点集，E为边集，Φ为E到V中元素有序对或无序对簇的函数，称为关联函数［6］。V中的元素为顶点，E中元素为边。关于顶点集V，存在边e=(v1，v2，…，vi)，vi∈V，若 i=1，即边 e只含有1 个顶点，这样的边称为自环边;若i=2，即含2个顶点的称为普通边;若i≥3，即含3个和3个以上顶点的边，称为多元边。自环边、普通边和多元边统称为边。边的图形表示如图1所示。

基于超图理论的建模方法是:研究某一类事物和它们之间的某种联系时，若用顶点表示某一类的若干事物，用边表示它们之间的联系，并将联系的具体形式——关联函数作为属性赋给边，即可把研究对象抽象为由一组点和连接这些点的一组边所构成的超图。属性用［·］表示。

车辆传动系统由各个传动部件组成，构建传动部件的超图模型是建立传动系统超图模型的基础。传动部件的超图模型具体构建规则如下:(1)部件组成元件映射为顶点，元件间的连接关系映射为边;(2)赋予顶点所映射元件的转速与转矩属性，赋予边映射关系所对应的数学模型;(3)基于运动学和动力学，分别构建转速与转矩超图模型;(4)针对控制元件，构建其不同控制状态下的转速与转矩超图模型。

以基本行星排为例，行星排由太阳轮t、齿圈q和行星架j 3个元件组成，它们之间存在的转速和转矩关系式如下:

式中:nt、nq、nj和 Tt、Tq、Tj分别为太阳轮、齿圈、行星架的转速与转矩;k为行星排的特性参数。

构建的转速超图模型如图2所示。转速超图模型中，太阳轮、齿圈和行星架映射为顶点 vt、vq、vj，式(1)转速关系式映射为三元边(vt，vq，vj)。将3元件的转速附加到超图模型的顶点属性上，如顶点vj的转速属性是 vj［n］，其值为 nj。边(vt，vq，vj)转速属性是(vt，vq，vj)［n］，其值是 nt+knq－ (1+k)nj，满足式(1)的关系。

构建的转矩超图模型如图3所示。太阳轮、齿圈和行星架间的转矩关系式(式(2))映射为边(vj，vq)和边(vj，vt)，且有这样的属性:(vj，vq)［T］=kTj+(1+k)Tq，(vj，vt)［T］=Tj+(1+k)Tt。

离合器、制动器、定轴齿轮对、行星排和液力变矩器等典型部件，在车辆传动系统中极为常见，它们之间通过机械或液力等形式完成能量传递或转换。典型部件的超图模型如表1所示，限于篇幅，表中未标明顶点和边的属性。

2 传动系统的超图模型

将传动系统的各个组成部件模块化，建立部件超图模型，并将部件间的物理连接映射为超图模型的边，构建传动系统的超图模型。其具体构建规则如下:(1)基于运动学和动力学，分别构建传动系统的转速与转矩超图模型;(2)因传动系统存在控制件，须针对不同的控制状态建立相应的转速与转矩超图模型;(3)建立传动系统组成部件的转速超图模型，将连接两个部件的只具连接关系的轴(或忽略轴的柔性和惯量)映射为转速超图模型的边;(4)建立传动系统组成部件的转矩超图模型，将连接两个及以上部件间的只具连接关系的轴(忽略轴的柔性和惯量)映射为转矩超图模型的多元边，若定轴齿轮对存在惰轮，则对惰轮构建自环边;(5)将传动系统的输入与输出映射为超图模型的源点与目标点，若传动系统不存在动力输入或动力输出部件，则通过引入虚顶点来描述假想的动力输入输出元件，将动力输入和输出关系映射为边，构建完整的转速与转矩超图模型。

注:(1)其他6种基本行星排和普通行星排类似，其差别只反映在数学模型上，而转速与转矩超图模型的拓扑形式不变;(2)数学模型中的“－”表示对应工作状态的该部件各端口间不存在转速或转矩关系式;(3)定轴齿轮对在作为传动组件时，其构成元件未全部与其他组件或元件有连接关系(如存在惰轮)的情况下，其转矩会增加一条转矩为0的关系式，相应地转矩超图模型也发生改变。

以图4所示某定轴变速器为例，分别建立其转速与转矩超图模型。该变速系统由输入锥齿轮副1，齿轮副2、3、4、5 和离合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3等通过轴I、II、III构成单输入双输出系统。

空挡(即离合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3 都处于分离状态)时的转速超图模型如图5所示。其中标号11、12分别表示构成锥齿轮副1的两个齿轮，用CL、CL表示CL离合器的主被动边，其余类推。为了更清楚地描述传动系统的输入输出，引入虚顶点I、O1和O2，分别表示系统的输入、左侧和右侧输出。顶点I是超图模型的源点，顶点O1、O2是超图模型的目标点。

从图中可以看出，28个顶点构成了顶点集，25条边构成了边集。系统分析时，一个顶点表示一个自由度，一条边表示一个约束，则该系统的自由度为28－25=3。当已知系统输入时，即增加了自环边(vI)，相当于增加了一个约束，系统的自由度降为2。此时通过对控制件离合器的操纵组合，增加两条边，使得顶点集与边集所含元素个数相等，即可将系统自由度降为0，即得到该系统的某一个挡位。例如结合离合器CL与C1，即可实现该变速系统的一个挡位，该挡位用(CL，C1)表示。

忽略连接传动部件间轴的柔性和惯量，构建挡位(CL，C1)下的转矩超图模型，如图6所示。

从图中得知，共有28个顶点和26条边，在已知系统输入，即增加自环边(vI)时，通过转矩超图模型，经过拓扑运算，可以构造出转矩平衡方程组，即可解得系统输出O1与O2的转矩之和。这表明该系统在挡位(CL，C1)下存在功率分配情况，受两侧负载影响。同理，可分析其他挡位下的转速转矩情况。转矩超图模型配合转速超图模型，可自动列出传动系统运动学和动力学平衡方程组，进行传动系统性能的分析与计算。

3 挡位自动分析

基于传动系统空挡下的转速超图模型，运用深度优先搜索算法，通过操纵控制元件，搜索源点I到目标点O的通路，即可得到该传动系统的一个挡位，其算法流程图如图7所示。

图5所示的转速超图模型中，因目标点O1与O2连通，只须找出源点I与目标点O1的通路即可得到挡位信息。搜索结果如下，该变速器可能实现的挡位数为 9，分别为:(CL，C1)，(CL，C2)，(CL，C3)，(CH，C1)，(CH，C2)，(CH，C3)，(CR，C1)，(CR，C2)，(CR，C3)。该方法得到的结果与其他传动设计计算得到的相一致［7］，表明该方法是可行的。

在已知传动系统组成部件的特性参数时，如齿轮齿数或速比，可由搜索路径P构成转速平衡联立方程组，求解得出各个挡位下传动系统的传动比。设计时可根据设计要求和车辆行驶性能要求，选取全部或部分挡位作为最终设计挡位。

4 结论

(1)基于超图理论，构建了典型部件和传动系统的转速与转矩超图模型，该模型为设计传动系统和计算机辅助分析传动系统的性能提供了有效的解决方案。

(2)运用深度优先搜索算法，对传动系统转速超图模型的搜索运算，实现了传动系统挡位自动分析，获得了各挡位的传动比等信息，为设计分析人员提供了快速的分析手段。

［1］ 闫清东，张连第，赵毓芹，等．坦克构造与设计(下册)［M］．北京:北京理工大学出版社，2007:94－98．

［2］ 杨世文．面向对象的综合传动装置建模与动态仿真研究［D］．北京:北京理工大学，2003:4－9．

［3］ 武亚敏．车辆传动系统的动力学键合图建模及仿真研究［D］．北京:北京理工大学，2003:9－17．

［4］ Berge C．Graphs and Hypergraphs［M］．New York:North Holland Publishing Company，1973:389 －413．

［5］ 王树禾．图论及其算法［M］．合肥:中国科技大学出版社，1990:92－100．

［6］ 王建方．超图的理论基础［M］．北京:高等教育出版社，2006．

［7］ 闫清东，李慎龙，姚寿文．基于图论的行星变速机构分析方法［J］．吉林大学学报(工学版)，2010，40(4):1029 －1033．